点线面之间的位置关系的知识点总结

1、高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系DCAB1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（ 1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2 倍长（如图）（ 2）平面通常用希腊字母 、 、 等表示，如平面、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。3 三个公理：（ 1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A LBL => LA·A LB 公理 1 作用：判断

2、直线是否在平面内（ 2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB符号表示为： A、 B、 C 三点不共线 => 有且只有一个平面 ，· C·使 A 、 B 、 C 。·公理 2 作用：确定一个平面的依据。（ 3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P => =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据P2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 · L1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共 面 直 平行直线：同一平面

3、内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、 b、 c 是三条直线a b。2 公理 4：平行=>a于 cc b强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a' 与 b' 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关， 为简便， 点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0 ， ) ；2 当两条异面直线所成的角是直角时，我们

4、就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（ 1）直线在平面内 有无数个公共点（ 2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（ 3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示aa =Aa2.2. 直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号

5、表示：ab=> aa b平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：abab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（ 1）用定义；（ 2）判定定理；（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行。1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a aab = b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： = aab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3

6、直线、平面垂直的判定及其性质1、定义如果直线L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直，记作L ，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P 叫做垂足。Lp2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角-l- 或 -AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平

7、面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的角） . 一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.锐角（或直 例1在正方体ABCD-AB C D 中 ,O1111是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1 、D1 C1 的中点，则直线OM().A .是 AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于MN.C . 垂直于 MN，但不垂直于AC. D .与 AC、 MN都不

8、垂直 .错解 :B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A. 例 2 如图，已知在空间四边形ABCD中 ,E,F分别是AB,AD 的中点，G,H 分别是BC,CD 上的点, 且BGDHGCHC2 , 求证 : 直线 EG,FH,AC相交于一点 .错解： 证明：E 、F 分别是 AB,AD的中点 ,1EFBD,EF= 2 BD,BGDH12 , GHBD,GH=3BD,又 GCHC四边形 EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点 T,DHHC2 ,F 分别是 AD.AC与 FH交于一点 .直线 EG,FH,AC相交于一点正解： 证明：E 、F 分别是 AB,AD的中点 ,1

9、EF BD,EF= 2 BD,BGDH2 ,又 GCHC1GHBD,GH=3 BD,四边形 EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点 T,EG平面 ABC,FH 平面 ACD,T 面 ABC,且 T面 ACD,又平面 ABC 平面 ACD=AC,TAC ,直线 EG,FH,AC相交于一点T. 例 3在立方体ABCD A1B1C1D1 中，（ 1）找出平面AC的斜线 BD1 在平面 AC内的射影；（ 2）直线 BD1 和直线 AC的位置关系如何？（ 3）直线 BD1 和直线 AC所成的角是多少度？解： (1) 连结 BD, 交 AC于点 ODD1 平面 AC,BD 就是斜线 BD1在平面 AC

10、上的射影 .(2)BD 1 和 AC是异面直线 .(3) 过 O作 BD1 的平行线交 DD1 于点 M，连结 MA、 MC，则 MOA或其补角即为异面直线 AC和 BD1 所成的角 .不难得到 MAMC，而 O为 AC的中点，因此MOAC，即 MOA90°，异面直线BD1 与 AC所成的角为90° . 例 4 a 和 b 为异面直线，则过a 与 b 垂直的平面 ().A 有且只有一个B一个面或无数个C 可能不存在D可能有无数个错解：A.错因：过 a 与 b 垂直的平面条件不清.正解：C. 例 5 在正方体 A1B1C1D1ABCD中， E、 F 分别是棱 AB、BC的中点

11、， O是底面 ABCD的中点求证： EF 垂直平面 BB1O证明 ?： 如图 , 连接 AC、 BD，则 O为 AC和 BD的交点 E、 F 分别是 AB、BC的中点， EF 是 ABC的中位线， EF AC B1B平面 ABCD,AC 平面 ABCD AC B1B，由正方形 ABCD知： AC BO，又 BO与 BB1 是平面 BB1O上的两条相交直线， AC平面 BB1O(线面垂直判定定理 ) AC EF， EF 平面 BB1O 例 6 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 BB1 的中点， O 是底面正方形 ABCD 的中心， 求证： OE 平面 ACD1 分析 ：本题

12、考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明OE平面 ACD1 ，只要在平面 ACD1 内找两条相交直线与OE 垂直证明： 连结 B1D 、 A! D 、BD ，在 B1BD 中， E,O 分别是 B1B 和 DB 的中点， EO B1D B1A1面 AA1D1D ， DA1 为 DB1 在面 AA1D1D 内的射影又 AD1A1D ， AD1 DB1 同理可证B1DD1C 又 ADCD 1D1， AD,D C面ACD，1111 B1D 平面 ACD1 B1D OE ， OE 平面 ACD1 点 ?评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直

13、时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用， 也要注意有时是从数量关系方面找垂直， 即勾股定理或余弦定理的应用 例 7 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 中 , 点 N在 BD上 ,点 M在 B1C上 , 且 CM=DN,求证 :MN平面 AA1B1B.证明：证法一 . 如图 , 作 ME BC,交 BB 于 E, 作 NF AD,交 AB于 F, 连EF 则1EF 平面 AA1B1B.MEBNNF, ME=NFBCBDAD又 MEBC ADNF,MEFN为平行四边形 ,MN EF.MN平面 AAB B.11证法二 . 如图 , 连接并延长CN交 BA 延长线于点 P, 连 B1P, 则 B1

14、P平面 AA1B1B.DNCNNDC NBP,NBNP .CMDNCN又 CM=DN,B1C=BD,MB1NBNP .MN B1P.BP 平面 AABB,MN平面 AA B B.11111证法三 . 如图 , 作 MPBB1, 交 BC于点 P, 连 NP.MP BB1,CMCPMB1PB .BD=B1C,DN=CM,B1MBN .NP CD AB.面 MNP面 AA1B1B.MN平面 AA1B1B.点、线、面之间的位置关系单元测试第 1 题 .下列命题正确的是（）经过三点确定一个平面经过一条直线和一个点确定一个平面四边形确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：第 2 题. 如

15、图，空间四边形 ABCD中， E， F ，G ， H 分别是 AB， BC，CD， DA的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形答案：证明：连接 BD 因为 EH 是 ABD 的中位线，所以EH BD，且EH1BD 2同理，FGBD，且FG1BD2因为EH FG ，且EHFG 所以四边形 EFGH 为平行四边形第 3题.如图，已知长方体ABCDABCD 中， AB2 3， AD2 3， AA2（） BC 和 A C 所成的角是多少度？（） AA 和 BC 所成的角是多少度？答案：（）45t；（）60t第 4题.下列命题中正确的个数是（） 若直线l 上有无数个点不在平面内，则l 若直线l 与平

16、面平行，则l 与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 若直线l 与平面平行，则l 与平面内的任意一条直线都没有公共点A 0 1 2 3答案：第 5 题 .若直线 a 不平行于平面，且 a，则下列结论成立的是（）内的所有直线与a 异面内不存在与 a 平行的直线内存在唯一的直线与a 平行内的直线与 a 都相交答案：第 6题.为答案：第 7题.已知 a ， b ， c 是三条直线，角a b ，且 a 与 c 的夹角为，那么如图， AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 垂直的棱共b 与 c 夹角条答案： 8 条第 8 题 .如果 a ，

17、b 是异面直线，直线c 与 a ， b 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个答案： 2 个第 9 题 .已知两条相交直线a ， b ， a 平面则 b 与的位置关系是答案： b a ，或 b 与 a 相交第 10 题 . 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？答案： 3个，3个第 11 题 . 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM 与 ED 平行 CN 与 BE 是异面直线CN 与BM成角DM 与 BN 垂直60?以上四个命题中，正确命题的序号是（） ， ， ， ， ， ， 答案：第

18、12 题 .下列命题中，正确的个数为（）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形ABCD 的顶点 A 引 CD 的平行线段AE ，则BAE 是异面直线AB 与CD 所成的角；四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形0123答案：第 13题.在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是 BC ，AD 的中点，则 2MN 与 ABCD的大小关系是答案： 2MNAB CD第 14题.已知 a，b 是一对异面直线， 且 a，b 成 70 角，P 为空间一定点， 则在过 P 点的直线中与 a， b 所成的角都为 70 的直线有条答案：

19、4第 15题.已知平面 /，P 是平面 ， 外的一点，过点 P 的直线 m 与平面 ，分别 交 于 A，C 两 点 ， 过 点 P 的 直 线 n 与 平 面 ，分别交于 B，D两点，若PA6， AC9，PD8 ，则BD的长为答案：或24 245第 16题.空间四边形 ABCD 中， E ，F ，G ， H 分别是 AB ， BC ，CD ， DA 的中点，若 ACBDa ， 且 AC 与 BD 所 成 的 角 为 90，则四边形 EFGH的 面 积是答案：1a2 4第17题 .已知正方体ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别为 D1C1 ， C1B1的中点，ACBD， A CEF

20、Q 求证：P1 1（） D， B， F ， E四点共面；（）若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P ， Q ， R 三点共线答案：证明：如图（）EF 是 D1B1C1 的中位线， EF B1D1 在正方体 AC1中， B1D1 BD ， EF BD EF 确定一个平面，即D，B， F ， E四点共面（）正方体 AC1中，设 A1 ACC1 确定的平面为，又设平面 BDEF 为 Q A1C1， Q又Q EF， Q则 Q 是与 的公共点，PQ 又 A1CR， R A1CR， 且 R，则 RPQ 故P，Q， R三点共线第 18 题 .已知下列四个命题： 很平的桌面是一个平面； 一个平面的面

21、积可以是4 m2 ； 平面是矩形或平行四边形； 两个平面叠在一起比一个平面厚其中正确的命题有（） 0个 1个 2个答案：第 19 题 .给出下列命题：和直线 a 都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；3 个有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是（）0123答案：第 20题.直线l1 l 2 ，在l1 上取3 点，l2 上取2 点，由这5 点能确定的平面有（）9个6 个3 个 1个答案：第 21题.三条直线相交于一点，可能确定的平面有（） 1个 2个 3个 1个或 3个答案：第 22题.下列命题中，不正确的是（）一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；两条相交直线上的三个点确定一个平面；两条互相垂直的直线共面与与与与答案：第 23题.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）异面直线相交直线不相交直线不