高考数学二轮专题突破：第11讲-数列求和及其综合应用(含答案)

1、n 1n 13nnæöè øn168 12n2nn*nn nnnn*nn1nn1nn 1 n 1 222222222222n 1*nx第 11 讲数列求和及其综合应用1. 数列 1(12)(124)(122)的前 n 项和为_答案：2n1n2解析：1(12)(124)(122) (22222 )n2(2 1)n2n1n2.12. 在数列a 中，a 2，a a ln 1 ，则 a _n 1 n1 n n答案：2lnn解析：累加可得3. 设等差数列a 的前 n 项和为 S ，则 S ，S S ，S S ，S S 成等差数列类比n n 4 8 4 12 8 1

2、6 12T以上结论有：设等比数列b 的前 n 项积为 T ，则 T ，_，_ 成等比数列n n 4 T12T T答案：T T4 8a4. 已知数列a 满足 a 33，a a 2n，则 的最小值为_.n 1 n1 n n21答案：2解析：a (a a )(a a ) (a a )a 33212(n1)n n n n n 1 n 1 n 2 2 1 1a 33 ìa ü33， n 1，数列í ý在 1n6，nN 时单调减，在 n7，nN 时单调增， n6î þa时， 取最小值n2 ïa 2ï5. 数列a 满足 a 2，

3、a ，b ï ïn 1 n1 a 1 n ïa 1ïn_n1答案：2，nN，则数列b 的通项公式 b n n22a 2 a 1 a 2解析：由条件得 b | | |2| |2b ，且 b 4，所以数列b 是首n1 a 1 2 a 1 n 1 n1a 1n项为 4，公比为 2 的等比数列，则 b 4·2 2 .n6. 设 a ，a ，a 是从1、0、1 这三个整数中取值的数列，若 a a a a1 2 50 1 2 3 50 9，且(a 1) (a 1) (a 1) 107，则 a ，a ，a 中数字 0 的个数为_1 2 50 1 2 50答案

4、：11解析：(a 1) (a 1) (a 1) 107，则 (a a a ) 2(a a a ) 1 2 50 1 2 50 1 2 5050107， a a a 39，故 a ，a ，a 中数字 0 的个数为 503911.1 2 50 1 2 507. 设 S 1234(1) n，则 S S S _n 9 12 21答案：10解析：相邻两项合并得 S ，S ，S .9 12 218. 设数列 a log (n2)，nN ，定义使 a ·a ·a ··a 为整数的实数 k 为中国梦n (n1) 1 2 3 k吉祥数，则在1，2 014内的所有中国梦吉祥

5、数之和为_答案：2 026解析：a ·a ·a ··a log 3·log 4··log (k2)log (k2)，仅当 k2 2 1 2 3 k 2 3 (k1) 2时，上式为中国梦吉祥数9. 如图所示，矩形 A B C D 的一边 A B 在 x 轴上，另两个顶点 C 、D 在函数 f(x)xn n n n n n n n1 (x0)的图象上，若点 B 的坐标为(n，0)(n2，nN*)，矩形 A B C D 的周长记为 a ，则n n n n n na a a _2 3 10æö*è

6、48;nöæ ö æ öøèø èøn nnnaïìní2 nï22 2 22 2 2 2n12222ïïî 1222n 72n 7n252n91 15n5n5n7n*næè答案：2161解析：由 B 的坐标为(n，0)(n2，nN )，得 C 的坐标为 n，n ，故 D 的坐标为 n n n1 1 1 1，n ，故 a 2 n 2 n 4n，故 a a a 4(2310)216.n 2 3 10，当a 为

7、偶数时，10. 已知数列a 满足 a m(m 为正整数)，a 若 a 1，则 mn 1 n1 6î3a 1，当a 为奇数时.n n所有可能的取值为_答案：4，5，32解析：显然，a 为正整数，a 1，故 a 2，a 4，若 a 为奇数，则 43a 1，即 an 6 5 4 3 3 31；若 a 为偶数，则 a 8.若 a 1，则 a 2，a 4，若 a 8，则 a 16，a 5 或 32. 3 3 3 2 1 3 2 111. 设数列a 是公差不为 0 的等差数列，S 为其前 n 项的和，满足：a a a a ，Sn n 2 3 4 5 77.(1) 求数列a 的通项公式及前 n 项

8、的和 S ；n n(2) 设数列b 满足 b 2a ，其前 n 项的和为 T ，当 n 为何值时，有 T 512.n n n n n解：(1) 由a 是公差不为 0 的等差数列，nìïa2a3a4a5，可设 a a (n1)d，则由íïîS77，ì（a1d） （a12d） （a13d） （a14d） ，得í 7×67a d7，2ìï2a1d5d 0， ìïa15，整理，得í 由 d0，解得íïîa13d1， ïîd2

9、，所以 a a (n1)d2n7，n 1n（n1）S na dn 6n.n 1 2(2) 由(1)得 a 2n7，所以 b 2a 2 ，n n nb 2 1又 4(n2)，b 2a ，b 2n11所以b 是首项为 ，公比为 4 的等比数列，n 21（14 ）2 1所以它的前 n 项和 T (4 1)，n 14 3×2于是由 T 512，得 4 3×4 1，n所以 n8 时，有 T 512.n12. 数列a 满足 a 2a 2 1(nN ，n2)，a 27.n n n1 3(1) 求 a ，a 的值；1 21(2) 是否存在一个实数 t，使得 b (a t)(nN )，且数列

10、b 为等差数列？若存在，求n 2 n n出实数 t；若不存在，请说明理由；(3) 求数列a 的前 n 项和 S .n n32*nn1n1nnn 1æönn1è ø2012n 12n 12 3nn2 3 n 1 nnnn22222 22 2222î2 æöæöèøèø33 52 2 2æöæö2è2m1øn222222解：(1) 由 a 27，得 272a 2 1， a 9.3 2 2 92a 2 1， a

11、2.1 1(2) 假设存在实数 t，使得b 为等差数列，则 2b b b (n2 且 nN )n n n1 n11 1 1 2× (a t) (a t) (a t)，2 n 2 n1 2 n1 4a 4a a t，n n1 n1a 2 1 4a 4× 2a 2 1t， t1.n 2 n即存在实数 t1，使得b 为等差数列n3 5 1(3) 由(1)，(2)得 b ，b ， b n ，1 2 2 2 n 21 a n ·2 1(2n1)2 1，nS (3×2 1)(5×2 1)(7×2 1)(2n1)×2 1n35×

12、27×2 (2n1)×2 n， 2S 3×25×2 7×2 (2n1)×2 2n，n12由得 S 32×2 2×2 2×2 2×2 (2n1)×2 n 1 2× (2nn 121)×2 n(12n)×2 n1， S (2n1)×2 n1.n13. 已知数列a 是各项均不为 0 的等差数列，S 为其前 n 项和，且满足 a S ，令 bn n n 2n1 n1 ，数列b 的前 n 项和为 T .a ·a n nn n1(1) 求数列a 的

13、通项公式及数列b 的前 n 项和 T ；n n n(2) 是否存在正整数 m，n(1mn)，使得 T ，T ，T 成等比数列？若存在，求出所有1 m n的 m，n 的值；若不存在，请说明理由解：(1) n1 时，由 a S a ，且 a 0，得 a 1.因为a 是等差数列，所以 a a 1 1 1 1 1 n n 1(n1)d1(n1)d，n（n1） n（n1）S na dn d.n 1 2 2于是由 a S ，n 2n1得1(n1)d 2n1(2n1)(n1)d，即 d n (2d2d )nd 2d12dn (23d)nd1，ìd 2d，ï所以í2d2d 23d

14、， 解得 d2.ïd 2d1d1，1所以 a 2n1，从而 b n n a ·an n11 1æ 1 1 ö （2n1）· （2n1） 2è2n1 2n1ø1 1 1 1 1 1所以 T b b b 1 n 1 2 n1 1 è2n1 2n1ø1211è 2n1øn.2n11 m n æ m ö 1(2) (解法 1)T ，T ，T ，若 T ，T ，T 成等比数列，则 1 3 m 2m1 n 2n1 1 m n 3æ ö è2n1&#

15、248;m n，即 . 4m 4m1 6n3m n 3 2m 4m1 由 ，得 0，4m 4m1 6n3 n m2*2226 6即2m 4m10，所以 1 m1 .2 2又 mN ，且 m1，所以 m2，此时 n12.因此，当且仅当 m2，n12 时，数列T 中的 T ，T ，T 成等比数列n 1 m nn 1 1 m 1(解法 2)因为 ，故 ，即 2m 4m10，6n3 3 6 4m 4m1 66n所以 16 6m1 (以下同上) 2 22cosA sinC22î22k1222ïï3 1æö æöèø

16、 èø222滚动练习(三)1. 设集合 UZ，Ax|x 答案：0，1x20，xZ，则 A_(用列举法表示)Ua c2. ABC 的三个内角A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c，且 ，那 么A_.答案：4a c解析：由正弦定理 ，得 sinAcosA，sinA sinC tanA1， 0A ， A .43. 已知在等差数列a 中，a 3a a 60，则 2a a _n 1 8 15 9 10答案：12解析：由 a 3a a 60，得 5a 35d60，即 a 12，则 2a a a 12.1 8 15 1 8 9 10 84. 若函数 f(x) 3sin (x )(>

17、;0) 的图象的相邻两条对称轴的距离是 2 ，则 _.1答案：22 1解析：由题知周期是 4 ， .4 25. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)x x(x0)，若 f(4a )f(3a)，则实数 a 的取 值范围是_答案：(4，1)ìx1，ï6. 已知变量 x、y 满足条件íxy0，则 zxy 的最大值是_ïx2y90，答案：6解析：本题考查线性规划知识7. 函数 yx (x>0)的图象在点(a ，a )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 a ，k 为正整数，k ka 16，则 a a a _.1 1 3 5答案：218. ABC

18、的三个内角A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，向量 m(ac，b a)，n(ac，b)，若 mn，则C_答案：3a b c 1 1解析： mn， (ac)(ac)b(ba)0， ， cosC ， C2ab 2 2 .3ìax1，1x0，9. 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1上，f(x)íbx2，0x1， îx1其中 a、bR.若 f f ，则 a3b 的值为_答案：10110. 已知函数 f(x) x 4x 3lnx 在 t，t 1 上不是单调函数，则 t 的取值范围是2_答案：(0，1)(2，3)x x2a a ann1a a

19、 a21 22 012（64a ） 2 .当且仅当 a 1， 时取等a 4a 1ë û2èøèøèø24 3 2 2ëûëû6è ø2 2ëûm11. 已知函数 f(x)lnx (mR)在区间1，e上取得最大值 4，则 m_x答案：3e1 m解析：f(x) ，m1 时，f(x)在1，e上单调减，f(1)4，无解；e<m<1，f(x) 在1，m上增，在m，e上减，则 f(m)4，无解；me 时，f(x)在1，e上单调增，f(e

20、)4，m3e.1 1 112. 数列a 满足 a 1，a 1a (a 1)(nN )，且 2，则 a n 1 n1 n n 2 0131 2 2 0124a 的最小值为_17答案：21 1 1 1 1 1 1解析：由题知，a >1， ，所以 ，n a 1 a （a 1） a 1 a a a 1 a 1n1 n n n n n11 1 1 1 1 a 1 3 2，a 1 ，a >1 得 >a 1，a 1 a 1 2 013 32a 2 013 11 2 013 111 é 1 ù 11 7 5 æ 3ö2 013 1 2 ë 6

21、4a û 2 2 1 4 è 2ø1号13. 设函数 f(x)sinxcosx 3cos(x )cosx(xR)(1) 求 f(x)的最小正周期； 3(2) 若函数 yf(x)的图象向右平移 个单位后再向上平移 个单位得到函数 yg(x)的图4 2é ù象，求 yg(x)在 0， 上的最大值41 1 3 æ ö 3解：(1) f(x) sin2x 3cos x sin2x (1cos2x)sin 2x ，2 2 2 3 22 f(x)的最小正周期为 T .2æ ö 3 3 3 æ ö(

22、2) 依题意得 g(x)f x sin2(x ) sin 2x 3，当4 6é ù é ùx 0， 时，2x ， ，4 6 31 æ ö 3 sin 2x ，2 6 22 31 3 3 g(x) ，é ù 3 3 g(x)在 0， 上的最大值为 .4 214. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2 000 万元， 将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公 司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设 第

23、 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 a 万元n(1) 用 d 表示 a 、a ，并写出 a 与 a 的关系式；1 2 n1 n(2) 若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)解：(1) 由题意得 a 2 000(150%)d3 000d，13a a (150%)d a d，2 1 2 13a a (150%)d a d.n1 n 2 n333æöèø2æöè n ø2 22é3æöèø2

24、1æèn1éù3êæöæö 31èø2n33æöèø2éù3êúæöëèø û2 ×1 000m m 1m m3æöèø2m m 13 2xx xèø22æöèøax a a2(2) 由(1)得 a a d a ddn 2 n1 n2 23

25、 3 a d dn1 a dêë31 232öø2æè32öøn2ùúû.n1整理得 a (3 000d)2d úëè2ø ûæöè2øn1(3 0003d)2d.m1由题意，a 4 000，即 (3 0003d)2d4 000， mm2 1 000（3 2 解得 d m 3 21）.1 000（3 2 ）故该企业每年上缴资金 d 的值为m m4 000 万元时，经过 m(m3)年企业的剩余资金为

26、15. 已知函数 f(x)lnxax1，aR 是常数(1) 求函数 yf(x)的图象在点 P(1，f(1)处的切线 l 的方程； (2) 证明函数 yf(x)(x1)的图象在直线 l 的下方；(3) 讨论函数 yf(x)零点的个数1(1) 解：f(x) a，f(1)a1，k f(1)1a，l所以切线 l 的方程为 yf(1)k (x1)，l即 y(1a)x.(2) 证明：令 F(x)f(x)(1a)xlnxx1，x0，则1 1F(x) 1 (1x)，解 F(x)0 得 x1.x(0，1) 1 (1，)F(x) 0F(x)Z最大值因为 F(1)0，所以 x0 且 x1，F(x)0，f(x)(1a

27、)x，即函数 yf(x)(x1)的图象在直线 l 的下方lnx1(3) 解：令 f(x)lnxax10，a .xlnx1 ælnx1ö 1（lnx1） lnx令 g(x) ，g(x) ，x x x x则 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，当 x1 时，g(x)的最大值为 g(1)1.所以若 a1，则 f(x)无零点；若 f(x)有零点，则 a1.若 a1，f(x)lnxax10，由(1)知 f(x)有且仅有一个零点 x1.若 a0，f(x)lnxax1 单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知 f(x)有且仅有一 个零点(或：直线 yax1 与曲线 ylnx 有一个交点)1 1 1 1若 0a1，解 f(x) a0 得 x ，由函数的单调性得知 f(x)在 x 处取最大值，f 1ln 0，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时 f(x)0，即 f(x)在单调递减区间 a