2022年平面向量教案习题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载平面对量一.向量的有关概念1.向量 :既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模也就为用来表示向量的有向线段的长度.2.向量的表示方法:字母表示法:如 a、b、c、等.几何表示法: 用一条有向线段表示向量. 如 ab 、 cd 等.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坐标表示法: 在平面直角坐标系中、 设向量 oa 的起点 o 为在坐标原点 、 终点 a 坐标为x、 y 、 就x、 y 称为 oa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的坐标 、 记为 oa =x、 y .精品学习资料精选学

2、习资料 - - - 欢迎下载3. 相等向量 :长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移、平移前后的向量相等.两向量 a 与 b 相等 、记为 ab .注:向量不能比较大小、由于方向没有大小.4. 零向量 :长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个、其方向为任意的.5. 单位向量 :长度等于1 个单位的向量 .单位向量有很多个、每一个方向都有一个单位向量.6. 共线向量 : 方向相同或相反的非零向量、叫共线向量 . 任一组共线向量都可以移到同始终线上.规定 : 0 与任一向量共线.注: 共线向量又称为平行向量.7. 相反向量 : 长度相等且方向相反的向量.二.向量的运算一运算定义向量的加减法,实

3、数与向量的乘积,两个向量的数量积、这些运算的定义都为“自然的 ”,它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍为向量,两个向量数量积运算结果为数量；讨论这些运算 、发觉它们有很好地运算性质、这些运算性质为我们用向量讨论问题奠定了基础、向量的确为一个好工具.特殊为向量可以用坐标表示、且可以用坐标来运算 、向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形.符号.坐标语言；主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加 法 与精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载减法oa + ob = ocoboa = aboa + ab = ob记 oa =x1、

4、y1、 ob =x1、y2就 oaob=x1+x2、y1+y2 oboa=（ x2-x1、y2 -y1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载实 数 与向 量 的乘积ab = a r记 a = x、y就 a = x、 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两 个 向量 的 数a bab cos a、b记 ax1、 y1、bx2、 y2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载量积就 a · b =x1x2+y1y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二运算律加

5、法： abba 交换律 ; abcabc 结合律 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载实数与向量的乘积：abab ; aaa; a) a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两个向量的数量积: a · b = b · a ; a · b = a · b = a · b ; a + b · c = a ·c + b · c注：依据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满意实数多项式乘积的运算法就,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,22例如 a &

6、#177; b 2 = a2 abb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三运算性质及重要结论（1）平面对量基本定理: 假如e1 、 e2 为同一平面内两个不共线的向量、 那么对于这个平面内任一向量a 、 有且只有一对精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载实数1、2 、 使 a1 e12 e2,称1 e12 e2为 e1、 e2的线性组合；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中e1 、e2 叫做表示这一平面内全部向量的基底;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学

7、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1 、e2的方向分解为两个向量的和、 并且这种分解为唯独的.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这说明假如aee 且 a' e' e 、 那么.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 1221 12 21122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当基底e1、 e2为两个相互垂直的单位向量时、 就建立了平面直角坐标系、 因此平面对量基本定理实际上为平面对精品学习资料精选学习资料 -

8、- - 欢迎下载量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即如 ax,y,就 oa =（ x、y）；当向量起点不在原点时,向量 ab 坐标为终点坐标减去起点坐标,即如 a（ x1、y1）, b（ x2、y2）,就 ab =x2-x1、y2 -y1（ 2）两个向量平行的充要条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载符号语言：a / bab b0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坐标语言为：设非零向量ax1、 y1 、bx2 、 y2、就 a bx1 、y1= x2、y2 ,精品学习资料

9、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x2即y1y2、或 x1y2-x2 y1=0、 在这里 、实数 为唯独存在的、当 a 与 b 同向时 、 >0；当 a 与 b 异向时 、 <0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| |=| a | b |、 的大小由a 及 b 的大小确定；因此、当 a 、 b 确定时, 的符号与大小就确精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定了 .这就为实数乘向量中 的几何意义；（ 3）两个向量数量积的重要性质：精品学习资料精选学习资料 - - -

10、 欢迎下载22 a| a |即| a |2a求线段的长度;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cosab ab求角度 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以上结论可以从向量角度 有效地分析有关垂直.长度.角度等问题、由此可以看到向量学问的重要价值.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注 :两向量a 、 b 的数量积运算结果为一个数ab cos其中a、b、这个数的大小与两个向量的长度及其精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载夹角的余弦有关.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 b cos叫做向量b 在 a 方向上的投影（如图）.精品学习资料精选

11、学习资料 - - - 欢迎下载数量积的几何意义为数量积a b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如p1 x1、 y1 、p2 x2 、 y2 、 就 p1p2= x2x1、 y2y1 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载典型例题一.平面对量的实际背景与基本概念例题 1.如图 1,设 o 为正六边形的中心,分别写出图中与oa . ob . oc 相等的向量；bacof精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.平面对量的线性运算例题 2.如图,在平行四边形abcd 中,

12、aba , adb ,d图 1e d你能用 a, b 表示向量ac , db 吗？cab变式 1： 如图,在五边形abcde 中, aba , bcb ,cdc , ead ,试用 a ,b , c , d 表示向量 ce 和 de .decab变式 2： 如图,在平行四边形abcd 中,如, oaa , obbdc就以下各表述为正确的为（）oaba oaobabb ocodabc cda + bd bca + b变式 3： 已知 oa =a, ob =b、oc =c、 od =d、 且四边形abcd 为平行四边形,就（）a.a+b+c+d=0b.a b+c d=0c.a+b c d=0d.a

13、b c+d=0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 4： 在四边形abcd 中,如 ab1cd ,就此四边形为2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 平行四边形b菱形c梯形d 矩形例题 3 如图,已知任意两个非零向量a .b ,试作 oaa + b, oba + 2b,baoca + 3b,你能判定a .b .c 三点之间的位置关系吗？为什么？变式 1： 已知 oaa + 2b, ob2a + 4b, oc3a + 6b其中 a .b 为两个任意非零向量 ,证明： a .b.c 三点共线证明：aboboaa + 2 b, acocoa2a + 4 b,ac2 ab所以

14、, a .b.c 三点共线例题 4.已知四边形abcd ,点 e.f .g.h 分别为 ab. bc.cd .da 的中点,求证：efhg变式 1： 已知任意四边形abcd 的边 ad 和 bc 的中点分别为e.f ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：abdc2ef .dc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ef三.平面对量的基本定理及坐标表示ab例题 5.已知 a = 4 ,2 , b = 6 , y,且 a / b ,求y 变式 1： 与向量 a = 12 , 5 平行的单位向量为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载125a , -b12 , -5

15、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13131313精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载125c,1313或12 , -5 1313d125,1313或12 , -5 1313精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 2： 已知 a1、2 , bx、1,当 a+2b 与 2a b 共线时,x 值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11a 1b 2cd 32四.平面对量的数量积例题 6.已知 |a| 6,|b| 4 且 a 与 b 的夹角为 60,求a + 2b· a3 b 变式 1： 已知向量a 和 b 的夹角为60°, | a

16、 | 3, | b | 4,就（ 2a b）· a 等于（a ） 15（ b ）12（ c） 6（ d） 3变式 2： 在 abc中,已知 | ab |=4 , | ac |=1 ,s abc=3 ,就 ab · ac 等于（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 2b.2c.± 2d. ± 4例题 7.已知 a 1 ,2, b 2 , 3, c 2 , 5,试判定abc 的外形,并给出证明综合练习：一.挑选题（每道题3 分,共 36 分）1.以下物理量不为向量的为a 速度b质量c加速度d 位移2.将向量a , b 的起点放在一起,就从a

17、的终点到b 的终点的向量为 a a + bb a bc b ad 03.已知 a 3 、 4 、 b 5 、 7 、就aba （ 8, 3） b（ 8 , 3 ） c（ 8,3 ）d （ 8, 3） 4.已知 p 1、2、q5、 4、就线段 pq 的中点坐标为a （ 3, 3）b（ 3,3）c（ 2, 1）d （ 2, 1） 5.化简 mnmpqnpq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2 mnb 2 pnc 2 mqd 2 np精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.已知a6、 b5、a 、 b60就 ab精品学习资料精选

18、学习资料 - - - 欢迎下载a 30b 20c 15d 107.已知a1、 2、b3、5、 就 ab 的值为a 13b 7c 7d 118.与向量（ 3、5）垂直的向量为a （ 3, 5）b （ 3, 5）c（ 3, 5） d（ 3, 5） 9.在平行四边形abcd中,点 a-1、-2、b3、-1、c3、1、就点 d 坐标为（）a （ 7, 2）b （ 1, 0）c（7, 2）d（ 1, 0）且 ab ,就 x=a1、 3、bx、1、10.已知/精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 3b113c3d 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

19、 - 欢迎下载a11.已知b1、5 、 ab5、3 、 就a、 b 的坐标正确选项（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a a2、1 、 b3、4b a1、2 、 b 4、3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2、1 、 bc3、4d a1、2 、 b7、8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12.已知 a =1、 2、b =1、x、 如 a b 、就 x 等于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a 21b.2c. 2d. 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.填空题（每小格2 分,共 18 分）1.假如 a3b0、就 a 与 b 的关系为.2.已知 a =（ 1, 2）, b =（ 3, y ）：（1）如 a / b就 y=.（ 2）如 ab 就 y=.3.已知