人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：几何证明选讲_20210103224737

1、几何证明选讲知识讲解一、相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2.平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3.相似三角形的判定及性质1）相似三角形的判定定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)预备定理：平行于三角形一边的直线和其

2、他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应_成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似 2）两个直角三角形相似的判定定理：如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似如果

3、两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 3）相似三角形的性质性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于相似比的平方4.直角三角形的射影定理定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项二、直线与圆的位置关系1.圆周角定理圆周角定理：圆

4、上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 2.圆内接四边形的性质与判定定理1）性质定理1：圆的内接四边形的对角互补定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角2）判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆3.三角形的内切圆1）三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫

5、做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2）多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形3）直角三角形内切圆的半径与三边的关系设、分别为中、的对边，面积为，则内切圆半径为，若，则 4.圆的切线的性质及判定定理1）性质性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心2）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线5.弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角6.与圆有关的比例线段1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等如图，弦和

6、交于内一点，则2） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等3） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项如图，在中，是的切线，是的割线，则题意中满足 4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 经典例题一选择题（共2小题）1如图，在abc中，acb=90°，cab=，m为ab的中点将acm沿着cm翻折至a'cm，使得a'mmb，则的取值不可能为（）a9b6c5d3【解答】解：如图所示，把acm继续旋转，一直旋转到平面abc里

7、面，这时a在a“位置，这时amn=9+9=29=a“mn，a“mb=-49=59，此时，a“mb是直线am和bm所成的最小角，592不成立，的取值不可能为9故选：a2如图，在abc中，debc，efcd，若bc=3，de=2，df=1，则ab的长为（）a3b4c4.5d5【解答】解：由debc，efcd得到：aeac=debc=23，所以aeec=2=affd，则af=2，所以ad=af+df=3，由debc得到：adae=debc，即3ab=23，所以ab=4.5故选：c二填空题（共10小题）3如图，abc中，adbc，连接cd交ab于点e，且ae：eb=1：2，过点e作efbc交ac于点f

8、，若sade=1，则saef=23【解答】解：abc中，adbc，连接cd交ab于点e，且ae：eb=1：2，adebce，aebe=12，sadesbce=（aebe）2=14，sade=1，sbce=4，过点e作efbc交ac于点f，aefabc，aeab=13，saefsabc=（aeab）2=19，saefsaef+4+scef=19，efbcad，cefcad，cecd=23，scefscad=（cecd）2=49，scefscef+1+saef=49，联立，得saef=23，scef=43故答案为：234如图，在abc中，b=2，bac的平分线交bc于点d，ad=2，ac=6，则a

9、bc的面积为334【解答】解：设ab=a，bad=，在abc中，b=2，bac的平分线交bc于点d，ad=2，ac=6，&acos=ad=2&acos2=ac=6，整理，得cos2cos=2cos2cos=2cos1cos=33，设cos=x，解方程2x1x=33，解x=32，或x=33，0°90°，x0，cos=32，ab=a=adcos=32×2=62，bc=ac2-ab2=322，abc的面积为s=12×ab×ac=12×62×322=334故答案为：3345如图所示，在四边形abcb'中，ab

10、cab'c，abab'，cosbcb'=34，bc=27，则bcb'外接圆的面积为8【解答】解：由题意，bb2=28+282×27×27×34=14，bb=14，cosbcb'=34，sinbcb'=74，2r=1474=42，r=22，bcb'外接圆的面积为(22)2=8，故答案为86如图，矩形abcd中，对角线ac、bd交于点o，点e是bc上一点，且ab=be，1=15°，则2=30°【解答】解法一：设ab=1，ab=be，abe=90°bae=45°，ae=2ba

11、c=45°+15°=60°在rtbac中，ac=2ab=2oa=12ac=1设2=，则aoe=180°12=180°（15°+）在oae中，由正弦定理可得：aosin=aesinaoe1sin=2sin(15°+)2sin=sin（15°+），展开可得：2sin=6-24cos+6+24sin，化为：tan=33，（0°，180°）=30°解法二：设ab=1，ab=be，abe=90°bae=45°，ae=2bac=45°+15°=60°

12、;又oa=ob，oab是等边三角形be=booeb=eoboeb=12(180°-30°)=75°2=oebaeb=75°45°=30°故答案为：30°7如图，在正方形 abcd中，f是 ad 的中点，bf与 ac交于点 g，则bgc 与四边形 cgfd的面积之比是4：5【解答】解：设afg的面积为a，点f是ad中点，af=fd=12ad=12bc，adbc，afgcbg，safgsbcg=14，sbcg=4a，fggb=afbc=12，safgsabg=12，sabg=2a，则sabc=sbcg+sabg=sacd=6a，

13、s四边形cgfd=sacdsafg=5a，故sbgc：s四边形cgfd=4a：5a=4：5故答案为4：58如图，d、e分别是abc的边ab、ac上的点，debc，且addb=2，那么ade与四边形dbce的面积比是45【解答】解：addb=2，adab=23，又debc，adeabc，相似比是2：3，面积的比是4：9，设ade的面积是4a，则abc的面积是9a，四边形dbce的面积是5a，ade与四边形dbce的面积的比是45故答案为：459在平行四边形abcd的边ab和ad上分别取点e和f，使ae=13ab，af=14ad，连接ef交对角线ac于g，则agac的值是17【解答】解：如图，在a

14、d上取点h，使ah=34ad，连接bh交ac于o，则agao=13，即ag=13ao，又aohcob，所以aoco=ahcb=34，co=43ao，所以agac=agao+co=17故答案为：1710如图，在abc中，ae：eb=1：3，bd：dc=2：1，ad与ce相交于点f，则effc+affd的值为32【解答】解：作egbc交ad于g，则有ae：eb=1：3，即ae：ab=1：4，得eg=14bd=12cd，ef：fc=eg：cd=1：2，作dhab交ce于h，则dh=13be=ae，af：fd=ae：dh=1，effc+affd=12+1=32故答案为3211已知关于x的方程x3+ax

15、2+2bx+c=0的三个实数根分别为一个椭圆、一个抛物线、一个双曲线的离心率，则ba的取值范围是（1，14）【解答】解：由题意，不妨设方程x3+ax2+2bx+c=0的三个实数根为x1=1，0x21，x31；则x3+ax2+2bx+c=（x1）（x2+（a+1）x+2b+a+1），则x2，x3是x2+（a+1）x+2b+a+1=0的两个根；则x2+x3=（a+1），x2x3=2b+a+1；又0x21，x31，x2x3=2b+a+10，（x21）（x31）=2b+2a+30；作&2b+a+10&2b+2a+30表示的平面区域如下，ba的几何意义是点o与阴影内的点a连线的斜率，而直

16、线n的斜率k=1，直线m的斜率k=14；故结合图象可得，1ba14；故答案为：（1，14）12如图，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为12【解答】解：设圆柱的底面直径为d，截面与底面成30°椭圆的短轴长d，即b=12d，椭圆的长轴长2a=dcos30°=233d，即a=33dc=a2-b2=(33d)2-(12d)2=36d则椭圆的离心率e=ca=12故答案为：12三解答题（共5小题）13在abc中，ab=ac，abc的外接圆o的弦ad的延长线交bc的延长线于点e求证：abdaeb【解答】证明：ab=ac，abc=acb，acb与adb

17、所对应的弧为abacb=adb，adb=abc，又bad共用，abdaeb14在abc中，ac=12ab，m为边ab上一点，amc的外接圆交bc边于点n，bn=2am，求证：cm是acb的平分线【解答】证明：连结mn，则bmn=bca，（2分）又mbn=cba，因此mbncba （4分）所以abac=bnmn （6分）又因为ac=12ab，所以bnmn=2，即bn=2mn （8分）又因为bn=2am，所以am=mn，所以acm=bcm，所以cm是acb的平分线 （10分）15如图，圆o的半径为2，ab为圆o的直径，p为ab延长线上一点，过p作圆o的切线，切点为c若pc=23，求bc的长【解答】解：连接oc，因为pc为切线且切点为c，所以occp因为圆o的半径为2，pc=23，所以bo=oc=2，po=oc2+cp2=4，所以coscop=12，所以cop=60°，所以cob为等边三角形，所以bc=bo=216如图，abc中，已知ab=3，bc=6，ac=4，d是边bc上一点，ac与过点a，b，d的圆o相切，求ad的长【解答】证明：过点a，b，d的圆o与ac相切，cad=abc，又acd=bca，acdbca，ad