八年级数学暑假专题因式分解技巧和方法湘教版知识精讲

1、八年级数学暑假专题因式分解技巧和方法湘教版【本讲教育信息 】一. 教学内容：暑假专题因式分解技巧和方法教学目标1. 灵活掌握教材所介绍的二种方法：提公因式法和公式法。2. 熟练运用提公因式法和公因式法的同时，再介绍并掌握其它的因式分解的方法，从而提高解题能力。二. 重点、难点：重点：因式分解的方法和技巧。难点：因式分解方法的灵活运用。三. 因式分解的技巧：1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。（1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式a2b2（a b） （ab

2、） 。（2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。（3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。四. 因式分解的方法：（一）提公因式法方法介绍： 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1. 分解因式： xx yxy32分析： 此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。解：原式x xxyy2（二

3、）应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。例 2. 分解因式：xyxy222分析： 此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。解：原式xyxyxyxy22xyxyxyxyyxy2232例 3. 分解因式： aabb2244分析： 此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。解：原式ab22（三）分组分解法方法介绍： 分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的

4、思路：1. 按公因式分组：例 4. 分解因式： mmnmpnp2分析： 此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2 项有公因式m，第 3、4 项有公因式p，可将它们分别分为一组。解：原式mmnmpnp2m mnp mnmn mp2. 按系数特点分组：例 5. aaa3222分析： 由观察发现，由系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。解：原式aaa3222aaaaaaaa222221211或原式aaa3222a aaaaaaa222121121123. 按字母次数特点分组：例 6. 分解因式： 44222aba

5、b分析： 此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。解：原式44222abab222 2222ababababab4. 按公式特点分组：例 7. 分解因式： 9222xxyy分析： 此题可将第2、3、4 项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。解：原式9222xxyy3333322xyxyxyxyxy5. 拆项分组：例 8. 分解因式： xyxy22243分析： 为了便于运用乘法公式，可将 - 3 拆成 - 4 1，再适当分组， 达到因式分解的目的。解：原式xxyy222144xyxyxyxyxyxyxy121212121213226. 添项分组：例 9.

6、分解因式： xx51分析：根据题目特点可添上项后，再分组，就能运用公式分解。xx22解：原式xxxx5221xxxxxxxxxxxxxxxxxx2322222223211111111117. 换元分组：例 10. 分解因式：xyxy xyxy2212分析： 观察代数式中的xy，xy 可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。解：设，xymxyn，则原式mn mn2212mmnmnnnmmnnmnmnmnmnxyxyxyxyx yyyxyx222222222222224212221211111111118. 按主元分组：例 11. 分解因式： xaxaaxa322221211分析： 题中的多项式是关

7、于x 的三项式排列的，按其结构分解有一定的难度，可考虑换个角度，选定a 为主元，即整理为关于a 的多项式。解：原式xaxx axxx12212232xax xaxxxxaaxxxaaxxxaxxaxax121111211211111122222222（四）利用特殊值法方法介绍：比如说将2 或 10 这些特殊值代入字母，比如说x，求出一个数p，然后将数p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因式写成2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即可得因式分解的式子。例 12. 分解因式： xxx3292315解： 令 x2，则原式8364615105357将 105

8、分解成 3 个质因数的积，即105357 观察到多项式中最高项的系数为1，而 3、5、7 分别为 x1，x3，x5，在 x2 时的值，则原式（x1） （x3） （ x5）（五）待定系数法方法介绍： 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 13. 分解因式： xxxx432564分析： 观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设xxxx432564xaxb xcxdxac xacbd xadbc xbd22432利用恒等式的性质可得：acacbdadbcbd1564解之得：abcd1124原式xxxx22124（六）十字相

9、乘法：方法介绍：对于mx2pxq 形式的多项式，如果abm，cdq 且 acbd p，则多项式可因式分解为： （axd） （bxc） 。例 14. 分解因式： 71962xx分析： 这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：7213解：原式723xx（七）双十字相乘法：方法介绍： 可将其中的可用十字相乘法的三项放在一起，先分解因式后， 然后再与剩下的项再用十字相乘法。例 15. 分解因式： a abbb6114312分析： 可先将其先去括号后的项6a211ab3b2应用十字相乘法可分为（2a3b） （ 3ab） 。解：原式61134222aabbab23342232

10、 31ababababab（八）巧用换元法：方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的。1. 取相同部分换元例 16. 分解因式：mmmm22535236分析： 若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m25m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。解：设，则mmy25原式yy3236yyyymmmmmmmm22224276575657612. 取部分式子换元例 17. 分解因式：12323xxxx分析： 观察题目特点，可考虑设1xx2y。解：设，则yxx12原式yxx323yyxxxyyxxxyyxxxxxyyxxxyy yxxxy yx

11、xxxxxxx236323332332233334324322212112121113. 取倒数换元例 18. 分解因式： 23532432xxxx解：原式xxxxx22223532xxxxxxxxxx222222131521319设，则yxx1原式xyy22239xyyxxxxxxxxx22222332231323231同学们， 以上我们介绍了八种方法，除了这些方法外，还有求根法、 图像法、 配方法等，因为这些知识将在九年级的学习中将会学到，所以以后将继续介绍这些方法。【模拟试题】（答题时间： 25 分钟）分解下列因式：1. xx36162. xxx32223. 262432xxxx4. x445. axbybxay226. xyxy23107. 31212322xx yxy8. xxxx4326559. xxyyxy222223【试题答案】1. 解： 原式xx3166xxxxxxxxxx1161116172222. 解： 原式x xx2223. 解： 原式2116422xx xxxxxxx2222116设yxx1，则原式xyy22226xyyxxxxxxxxxxxx222222 251222521 25212124. 解： 原式xxx422444xxxxxx222222222225.