高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：8.9.1 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含答案

1、淘宝店铺：漫兮教育第九节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题(2)理解数形结合的思想(3)了解圆锥曲线的简单应用2定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题3存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题知识点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线c的位置关系时，通常将直线l的方程axbyc0(a，b不同时为0)代入圆锥曲线c的方程f(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2b

2、xc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则>0直线与圆锥曲线c相交；0直线与圆锥曲线c相切；<0直线与圆锥曲线c相离(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线c相交，且只有一个交点，此时，若c为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若c为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合易误提醒(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点自测练习1若过点(0,

3、1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，则这样的直线有()a1条b2条c3条 d4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)，故选c.答案：c2直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()a相交 b相切c相离 d不确定解析：直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交答案：a知识点二弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线c相交于a，b两点，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2|··|y1y2|&#

4、183;.必备方法遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在椭圆1中，以p(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以p(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px中，以p(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.自测练习3已知椭圆c：1(a>b>0)，f(，0)为其右焦点，过f且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆c的方程为_解析：则由题意得解得椭圆c的方程为1.答案：14已知抛物线yax2的焦点到准线的距离为2，则直线yx1截抛物线所得的弦长等于_解析：由题设p2，a.抛物线方程为yx2，焦点为f(0,1)，准线为y1.直线

5、过焦点f，联立消去x，整理得y26y10，y1y26，所得弦|ab|af|bf|y11y218.答案：8考点一直线与圆锥曲线的位置关系|1(2016·兰州检测)若直线mxny4和圆o：x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()a至多一个b2c1 d0解析：直线mxny4和圆o：x2y24没有交点，>2，m2n2<4.<1m2<1，点(m，n)在椭圆1的内部，过点(m，n)的直线与椭圆1的交点有2个，故选b.答案：b2若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()a. b.c. d.解析：由得(1k2)x24k

6、x100.设直线与双曲线右支交于不同的两点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则解得<k<1.答案：d考点二弦长问题|已知f1，f2是椭圆1(a>b>0)的两个焦点，o为坐标原点，点p在椭圆上，且·0，o是以f1f2为直径的圆，直线l：ykxm与o相切，并且与椭圆交于不同的两点a，b.(1)求椭圆的标准方程；(2)当·，且满足时，求弦长|ab|的取值范围解(1)依题意，可知pf1f1f2，c1，1，a2b2c2，解得a22，b21，c21.椭圆的方程为y21.(2)直线l：ykxm与o：x2y21相切，则1，即m2k21，由得(12k2)x24kmx

7、2m220，直线l与椭圆交于不同的两点a，b.设a(x1，y1)，b(x2，y2)>0k2>0k0，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，·x1x2y1y2，k21，|ab|2设uk4k2，则u2，|ab|22，u，|ab|(u)在上单调递增，|ab|.解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用已知抛物线y28x的焦点为f，直线yk(x2)与此抛物线相交于p，q两点，则()a.b1c2 d4解析：设p(x1，y1)，

8、q(x2，y2)，由题意可知，|pf|x12，|qf|x22，则，联立直线与抛物线方程消去y得，k2x2(4k28)x4k20，可知x1x24，故.故选a.答案：a考点三中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点归纳起来常见的探究角度有：1由中点弦确定直线方程2由中点弦确定曲线方程3由中点弦解决对称问题探究一由中点弦确定直线方程1已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_解析：设直线l与椭圆相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.答案：x2y80探究二由

9、中点弦确定曲线方程2过点m(2，2p)作抛物线x22py(p>0)的两条切线，切点分别为a，b，若线段ab的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为_解析：设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，依题意得，y，切线ma的方程是yy1(xx1)，即yx.又点m(2，2p)位于直线ma上，于是有2p×2，即x4x14p20；同理有x4x24p20，因此x1，x2是方程x24x4p20的两根，则x1x24，x1x24p2.由线段ab的中点的纵坐标是6得，y1y212，即12，12，解得p1或p2.答案：x22y或x24y探究三由中点弦解决对称问题3已知双曲线1(a，b>0)上的一点到双

10、曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线yax2上的两点a(x1，y1)，b(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则m的值为()a.b.c2 d3解析：由双曲线的定义知2a4，得a2，所以抛物线的方程为y2x2.因为点a(x1，y1)，b(x2，y2)在抛物线y2x2上，所以y12x，y22x，两式相减得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设x1<x2，又a，b关于直线yxm对称，所以1，故x1x2，而x1x2，解得x11，x2，设a(x1，y1)，b(x2，y2)的中点为m(x0，y0)，则x0，y0，因为中点m在直线yxm上，所以m，解得m，选a.答案：a对于中点弦问题，

11、常用的解题方法是平方差法其解题步骤为设点：即设出弦的两端点坐标代入：即代入圆锥曲线方程作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】(2016·台州模拟)设椭圆c：1(a>b>0)的一个顶点与抛物线c：x24y的焦点重合，f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e，过椭圆右焦点f2的直线l与椭圆c交于m，n两点(1)求椭圆c的方程；(2)若·2，求直线l的方程；(3)若ab是椭圆c经过原点o的弦，mnab，求证：为定值思维点拨(1)待定系数法求a，b.(2)注

12、意判断l的斜率是否存在(3)利用弦长公式表示出|ab|，|mn|后整体变形得结论解(1)椭圆的顶点为(0，)，即b，e，a2，椭圆的标准方程为1.(2)由题可知，直线l与椭圆必相交当直线斜率不存在时，经检验不合题意当斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，且m(x1，y1)，n(x2，y2)由得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，·x1x2y1y2x1x2k2x1x2(x1x2)1k22，解得k±，故直线l的方程为y(x1)或y(x1)(3)证明：设m(x1，y1)，n(x2，y2)，a(x3，y3)，b(x4，y4)，由(2)可得|mn|x

13、1x2|，由消去y并整理得x2，|ab|x3x4|4，4，为定值方法点评对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.a组考点能力演练1直线yx3与双曲线1的交点个数是()a1b2c1或2 d0解析：因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点答案：a2(2016·福州质检)抛物线c的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线c交于a，b两点，若p(1,1)为线段ab的中点，则抛物线c的方程为()

14、ay2x2 by22xcx22y dy22x解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则两式相减可得2p×(y1y2)kab×22，即可得p1，抛物线c的方程为y22x，故选b.答案：b3已知双曲线 1的右焦点为f，若过点f的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()a. b(，)c. d，解析：由题意知f(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y±x.当过点f的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选c.答案：c4已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a

15、，b两点若·0，则k()a. b.c. d2解析：如图所示，设f为焦点，取ab的中点p，过a，b分别作准线的垂线，垂足分别为g，h，连接mf，mp，由·0，知mamb，则|mp|ab|(|ag|bh|)，所以mp为直角梯形bhga的中位线，所以mpagbh，所以gamampmap，又|ag|af|，am为公共边，所以amgamf，所以afmagm90°，则mfab，所以k2.答案：d5已知椭圆1(0<b<2)，左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交椭圆于a，b两点，若|bf2|af2|的最大值为5，则b的值是()a1 b.c. d.解析：由椭圆的

16、方程，可知长半轴长为a2；由椭圆的定义，可知|af2|bf2|ab|4a8，所以|ab|8(|af2|bf2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即3，可求得b23，即b.答案：d6抛物线y212x的准线与双曲线1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于_解析：y212x的准线方程为x3，双曲线1的渐近线为y±x.设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为a，b，由求得a(3，)，同理b(3，)，所以|ab|2，而o到直线ab的距离d3，故所求三角形的面积s|ab|×d×2×33.答案：37过双曲线c：1(a>0，b>0)的一

17、个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为a，b.若aob120°(o是坐标原点)，则双曲线c的离心率为_解析：如图，由题知oaaf，obbf且aob120°，aof60°.又oaa，ofc，cos 60°，2.答案：28直线l过椭圆y21的左焦点f，且与椭圆相交于p，q两点，m为pq的中点，o为原点若fmo是以of为底边的等腰三角形，则直线l的方程为_解析：法一：由椭圆方程得a，bc1，则f(1,0)在fmo中，|mf|mo|，所以m在线段of的中垂线上，即xm，设直线l的斜率为k，则其方程为yk(x1)，由得x22k2(x1)220，即(2k21)

18、x24k2x2(k21)0，xpxq，而m为pq的中点，故xm(xpxq)，k2，解得k±.故直线l的方程为y±(x1)，即x±y10.法二：设p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(x0，y0)，由题意知kpqkom，由p、q在椭圆上知两式相减整理得kpq，而kom，故，即x2y，所以kpq±，直线pq的方程为y±(x1)，即x±y10.答案：x±y109(2016·洛阳模拟)已知椭圆c：1(a>b>0)的右焦点f(，0)，且椭圆c经过点p.(1)求椭圆c的方程；(2)设过点f的直线l交椭圆c于a，b

19、两点，交直线xm(m>a)于m点，若kpa，kpm，kpb成等差数列，求实数m的值解：(1)由题意，得a24，b21.椭圆c的方程为y21.(2)设直线l：yk(x)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(m，ym)将直线方程代入椭圆方程x24y24中，得(14k2)x28k2x12k240，则x1x2，x1·x2.此时kpak，kpbk.kpakpb2k2k2k.又m(m，ym)在直线l上，ymk(m)，则kpmk.若kpa，kpm，kpb成等差数列，则2kpmkpakpb，则2k2k，解得m.10已知抛物线c：y22px(p>0)上一点p(x0，2)到该抛物线焦点的

20、距离为2，动直线l与c交于两点a，b(a，b异于点p)，与x轴交于点m，ab的中点n，且直线pa，pb的斜率之积为1.(1)求抛物线c的方程；(2)求的最大值解：(1)因为点p(x0，2)在抛物线上，所以2px04x0.由抛物线的定义知，2(p2)20p2，故抛物线c的方程为y24x.(2)由(1)知，x01，得p(1，2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，设直线pa，pb的斜率分别为k1，k2，设直线ab的方程为xmyt，联立消去x得y24my4t0.16m216t>0m2t>0，y1y24m，y1y24t，因为k1.同理k2.所以k1k2·1，即y1y22(y1y

21、2)120，即4t8m120t2m3.代入得m22m3>0m<1或m>3.因为|ab|y1y2|··4·，又ym0，yn2m，则|mn|ymyn|2|m|.所以222，故当m3时，取到最大值.b组高考题型专练1(2015·高考福建卷)已知点f为抛物线e：y22px(p>0)的焦点，点a(2，m)在抛物线e上，且|af|3.(1)求抛物线e的方程；(2)已知点g(1,0)，延长af交抛物线e于点b，证明：以点f为圆心且与直线ga相切的圆，必与直线gb相切解：(1)由抛物线的定义得|af|2.由已知|af|3，得23，解得p2，所以抛

22、物线e的方程为y24x.(2)法一：如图，因为点a(2，m)在抛物线e：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨设a(2,2)由a(2,2)，f(1,0)可得直线af的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而b.又g(1,0)，所以kga，kgb，所以kgakgb0，从而agfbgf，这表明点f到直线ga，gb的距离相等，故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切法二：设以点f为圆心且与直线ga相切的圆的半径为r.因为点a(2，m)在抛物线e：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨设a(2，2)由a(2,2)，f(1,0)可得直线af的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而b.又g(1,0)，故直