高考二次函数专题

1、二次函数一填空题：1 在区间 12, 2上，函数f (x) = x2- px+q 与 g (x) = 2x + 1x2在同一点取得相同的最小值，那么 f (x)在12 ,2上的最大值是 4 2设函数f ( x) =x2+bx+cx02 x0 ，若 f (-4) = f (0) ，f(-2) = -2 ，则关于x 的方程 f( x) =x 的解的个数为 3(-2,-1,2) 3函数2(0,)yxbxc x是单调函数的充要条件的是 b0 4对于二次函数22( )42(2)21f xxpxpp，若在区间1,1内至少存在一个数c 使得( )0f c，则实数p的取值范围是5已知方程2(1)10 xa x

2、ab的两根为12x x、，并且1201xx，则ba的取值范围是6若函数f ( x) = x2+( a+2) x+3，x a, b 的图象关于直线x = 1 对称，则b = 7若不等式x4+2x2+a2- a -2 0 对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围是8已知函数f ( x) =| x2-2 ax+b| (xr)，给出下列命题：f (x)必是偶函数；当f (0) = f (2)时， f ( x)的图象必关于直线x = 1 对称；若a2- b0，则 f (x)在区间 a, +) 上是增函数； f ( x)有最大值 | a2- b| ；其中正确命题的序号是9已知二次函数2( )f xaxbx

3、c，满足条件(2)(2)fxfx，其图象的顶点为a，又图象与x轴交于点b、c，其中b 点的坐标为( 1,0)，abc 的面积s =54，试确定这个二次函数的解析式10 已知ab、为常数，若22( )43,()1024f xxxf axbxx，则 5ab11 已知函数2( )21,f xxx若存在实数t，当1,xm时，()f xtx恒成立，则实数m的最大值为12设( )f x是定义在r上的奇函数，且当0 x时，2( )f xx，若对任意的2xtt，不等式()2 ( )f xtf x恒成立，则实数t的取值范围是13设2 ( | 1)( ) ( | 1)xxf xxx,( )g x是二次函数，若(

4、( )f g x的值域是0，则( )g x的值域是14函数2254( )22xxf xxx的最小值为二、解答题：15已知函数2213222fxxmxmm，当(0,)x时，恒有( )0f x，求 m 的取值范围16设 a 为实数，函数f ( x) = x2+| x- a|+1 ，xr（1）讨论函数f ( x) 的奇偶性；（2）求函数f ( x) 的最小值17已知2( )(0)fxaxbxc a的图象过点(-1 ， 0) ，是否存在常数a， b， c，使得不等式21( )2xxf x对一切实数x 都成立18已知a 是实数，函数2( )223f xaxxa，如果函数( )yfx在区间1,1上有零点，

5、求a的取值范围19设函数f( x)=,22aaxxc其中 a 为实数( ) 若 f( x) 的定义域为r, 求 a 的取值范围；( ) 当 f( x) 的定义域为r时，求 f( x) 的单减区间20已知函数2( )1f xxx，,是方程 f( x)=0 的两个根()，( )fx是 f( x) 的导数；设11a，1()()nnnnf aaafa（n=1,2, ）（ 1）求,的值；（2） （理做）证明：对任意的正整数n，都有na；（ 3）记lnnnnaba（n=1,2, ） ，求数列 bn 的前 n 项和 sn1二次函数答案新海高级中学杨绪成舒燕一、填空题：1. 在区间 12, 2上，函数f (x

6、) = x2- px+q 与 g (x) = 2x + 1x2在同一点取得相同的最小值，那么 f (x)在12 ,2上的最大值是 4 2. 设函数 f ( x) =x2+bx+cx02 x0 ，若 f (-4) = f (0) ，f(-2) = -2 ，则关于x 的方程 f( x) =x 的解的个数为 3 . 3. 函数2(0,)yxbxc x是单调函数的充要条件的是b0 . 4. 对于二次函数22( )42(2)21f xxpxpp，若在区间1,1内至少存在一个数c 使得( )0f c，则实数p的取值范围是 (-3, 1.5) . 5. 已知方程2(1)10 xa xab的两根为12x x、

7、，并且1201xx，则ba的取值范围是(, 2. 6若函数f ( x) = x2+( a+2) x+3，x a, b 的图象关于直线x = 1 对称，则b = 6 . 7若不等式x4+2x2+a2- a -2 0 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(, 12,). 8已知函数f ( x) =| x2-2 ax+b| (xr)，给出下列命题：f (x)必是偶函数；当f (0) = f (2)时，f ( x)的图象必关于直线x = 1对称；若a2- b 0，则 f (x)在区间 a, +) 上是增函数；f ( x) 有最大值| a2- b| ；其中正确命题的序号是 . 9. 已知二次函数

8、2( )f xaxbxc，满足条件(2)(2)fxfx，其图象的顶点为a，又图象与x轴交于点b、c，其中 b点的坐标为( 1,0)，abc 的面积 s=54，试确定这个二次函数的解析式222(2)182(2)18yxyx或. 10. 已知ab、为常数，若22( )43,()1024f xxxf axbxx，则 5ab 2 . 11. 已知函数2( )21,f xxx若存在实数t，当1,xm时，()f xtx恒成立， 则实数m的最大值为 4 . 12. 设( )f x是定义在r上的奇函数，且当0 x时，2( )f xx，若对任意的2xtt，不等式()2 ( )f xtf x恒成立，则实数t的取值

9、范围是2,). 13. 设2 ( | 1)( ) (| 1)xxf xxx,( )g x是二次函数，若( ( )f g x的值域是0，则( )g x的值域是0,)；14. 函数2254( )22xxf xxx的最小值为2 21. 二、解答题：15已知函数2213( )222f xxmxmm，当(0,)x时，恒有( )0f x，求 m 的取值范围思路点拨 : 此题为动轴定区间问题, 需对对称轴进行讨论. 解:213( )()22fxxmm当0m即0m时,2133(0)00;222fmmm当0m即0m时,130322mm. 综上得 :3m或32m. 点评 :分类讨论要做到不漏掉任何情况, 尤其是端

10、点处的数值不可忽视. 最后结果要取并集. 变式训练 :已知2( )cos3 sincos1()rf xaxaxxa,当0,2x时,)(xf的最小值为2,求a的值 . 解: ( )sin(2 )162af xax，512,sin(2 ) 1,66662xx. 当0a时，min( )12,62af xaa当0a时，min( )12,322aaf xa16设 a 为实数，函数f( x) = x2+| x- a|+1 ，xr，（1）讨论函数f (x)的奇偶性；（2）求函数f (x)的最小值思路点拨 : 去绝对值 , 将问题转化成研究分段函数的性质. 解: (1) 当0a时, 2( )1f xxx, 函

11、数)(xf为偶函数 ; 当0a时,22( )1,()21,( )()f aafaaaf xfa，此时函数)(xf为非奇非偶函数; (2)1)(2axxxf=222213()()1()24131()()()24xa xaxxaxaxxaxaxa xa当12a时,222minmin3(1)1,(1)4xxaaxxaa, 此时 ,min3( )4fxa; 当1122a时,2min( )1;fxa当12a时, min3( ).4fxa点评 :把握每段函数, 同时综观函数整体特点, 是解决本题的关键. 17. 已知2( )(0)f xaxbxc a的图象过点（-1 ， 0） ，是否存在常数a，b，c，使

12、得不等式21( )2xxf x对一切实数x 都成立 . 思路点拨 : 本题为不等式恒成立时探寻参数的取值问题. 解: 当1x时，1( )1(1)1,1f xfabc, 又( 1)00fabc可得12bac；由xxf)(对一切实数x都成立，则22001(1)0010216aaaxbxcaxxcac于是,0c又161)2(2caac，161ac, 此时41ca. 综上可得 , 存在21,41bca, 使得不等式212xxfx对一切实数x都成立 . 点评 : 挖掘不等式21( )2xxf x中隐含的特殊值, 得到1)(1xf以及111616ac是解题关键. 变式训练： 设函数21( )axf xbx

13、c是奇函数（cba,都是整数）且(1)2,(2)3ff. （1）求cba,的值； （ 2）当)(,0 xfx的单调性如何？用单调性定义证明你的结论. 略解 (1)0, 1 cba.(2) 当0,( )xf x在(, 1上单调递增 ,在 1,0)上单调递减 . 18. 已知a是实数，函数2( )223f xaxxa，如果函数( )yf x在区间1 , 1上有零点，求a的取值范围 . 解析 1： 函数( )yf x在区间 -1 ，1 上有零点，即方程2( )223f xaxxa =0 在-1 ，1 上有解 . a=0 时，不符合题意，所以a0, 方程 f( x)=0 在-1 ，1 上有解 ( 1)

14、(1)0ff或( 1)0(1)048 (3)01 1.1afafaaa15a或372a或5a372a或 a1. 所以实数a 的取值范围是372a或 a1. 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析 2： a=0 时，不符合题意，所以a0, 又2( )223f xaxxa =0在-1 ， 1 上有解，2(21)32xax在 -1 ， 1 上有解212132xax在-1 ， 1 上有解，问题转化为求函数22132xyx-1 ， 1 上的值域；设t=3-2x ， x-1 ，1 ，则23xt，t 1,5,21 (3)217(6)22tyttt，设2277( ). ( )tg ttg t

15、tt，1, 7)t时，( )0gt， 此函数 g(t) 单调递减，(7,5t时，( )gt0,此函数 g(t) 单调递增， y 的取值范围是 73,1，2( )223f xaxxa =0 在-1 ，1 上有解1a 73,11a或372a. 点评 : 将原题中的方程化成212132xax的形式 , 问题转化为求函数22132xyx-1 ，1 上的值域的问题 , 是解析 2 的思路走向 . 变式训练 : 设全集为r，集合|sin(2),642ay yxx，集合|rba关于x 的方程012axx的根一个在（ 0，1）上，另一个在（1，2）上 . 求( ra)( rb)解： 由2422xx得,512,

16、sin(2)136626xx，即1|12ayy,ra1|12y yy或又关于 x 的方程012axx的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上，设函数1)(2axxxf，则满足(0)0,20(1)0,520(2)0,fafaf即，522a5|22rbaaa或( ra)( rb)15| 2122xxxx或或19. 设函数 f( x)=,22aaxxc其中 a 为实数 . ( ) 若 f( x) 的定义域为r, 求 a 的取值范围；( ) 当 f( x) 的定义域为r时，求 f( x) 的单减区间 . 解： （1）由题意知，02aaxx恒成立，004a；（2）22(2)( )()xx xaefx

17、xaxa，令0)(xf得0)2(axx；由( )0fx得0 x或ax2又04a，02a时，由( )0fx得 02xa ；当2a时，( )0fx ；当24a时，由( )0fx得20ax，即当02a时，( )f x的单调减区间为(0 2)a，；当24a时，( )f x的单调减区间为(20)a，变式训练： 已知函数1( )( ) , 1,13xf xx，函数2( )( )2( )3g xfxaf x的最小值为( )h a. （）求( )h a； （）是否存在实数m，n 同时满足下列条件：mn3；当)(ah的定义域为 n，m时，值域为 n2，m2？ 若存在，求出m，n 的值；若不存在，说明理由解： （

18、）11 1,1,( ),3.33xx设2223)(32)(3 ,31,)31(aatatttttx，则当13a时min1282( )( )393ayh a，；当133a时，2min( )( )3yh aaa；当.612)3()(3minaahya时，22821()9331( )3(3)3126(3)aah aaaaa（） mn3， ( )126(3,)h aa在上是减函数 . )(ah的定义域为 n，m；值域为 n2，m2，22126126, .mnnm可得),)()(6nmnmnmmn3， m+n=6，但这与“ mn3”矛盾 . 满足题意的m，n 不存在20. 已知函数2( )1f xxx，

19、,是方程 f(x)=0的两个根()，( )fx是f(x) 的导数；设11a，1()()nnnnf aaafa（n=1,2, ）（1）求,的值； （ 2） （理做）证明：对任意的正整数n，都有na；（3）记nnnaabln（n=1,2, ） ，求数列 bn 的前 n 项和 sn . 思路点拨 : 本题考察数列的综合知识,将递推数列与函数、导数有机地结合，加大了题目的综合力度.解： （1）由求根公式，及得方程两根为1515,22. (2)要证,na需证0na.( )21fxx.121121)()(221nnnnnnnnnnaaaaaaafafaa222221212(1)()212121nnnnnnnnnaaaaaaaaa. 下面用数学归纳法证明: 当1n时,35102na,命题成立；假设(1)nk k时命题成立 ,即0ka,0ka则当1nk时,21()021kkkaaa,命题成立 . 根据数学归纳法可知,对任意的正整数都有na成立 . (3)由已知和 (2),1151ln4ln12b,21121()lnln2()nnnnnnaabbaa所以251(24)ln2nns. 点评 : 本题考察了求根公式及数学归纳法等数学方法的同时，也考察了转化与化归的数学思想, 即将已知数列转化成等比数列，本题对变形和运算要求较高. 补充 :函数)0,(aaxaxy且是常数有如下性质：函数