北京市昌平区2014-2015学年高三第一学期期末质量抽测数学(理)试题word版带解析

1、昌平区20142015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟2答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔3修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损不得在答题卡上作任何标记4请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分第卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共

2、8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 已知集合，则等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以，故答案为：C【考点】【难度】 2已知，则下列不等式成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于选项：如果，那么，所以A错误；对于选项：如果，那么，所以B错误；对于选项：同选项，错误；对于选项：，所以当时，选项正确。故答案为：D【考点】【难度】 3. 执行如图所示的程序框图，输出的值是A4 B8 C16D32【答案】B【解析】，；，不满足；，不满足；，满足；输出故答案为：B【考点】【难度】 4.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是

3、等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A B C D 【答案】D【解析】该几何体的直观图是一个四棱锥，如下图：故答案为：D【考点】【难度】 5. 已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】C【解析】选项错误：可举出反例：如下图 选项错误：可举出反例：如下图选项错误：可举出反例：如下图故答案为：C【考点】【难度】 6. 在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张

4、机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人 B. 35人 C. 40人 D. 45 人【答案】B【解析】故答案为：B【考点】【难度】 7. 在 中，角对应的边分别为. 若则“”是“”的A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】故答案为：A【考点】【难度】 8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以

5、判断偷珠宝的人是A甲 B. 乙 C丙 D.丁【答案】A【解析】故答案为：A【考点】【难度】 第卷（非选择题 共110分）二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 设复数，则 .【答案】【解析】故答案为：【考点】【难度】 10. 的展开式中，的系数是 .(用数字作答)【答案】【解析】故答案为：【考点】【难度】 11. 若，满足约束条件 则的最大值是 .【答案】【解析】故答案为：【考点】【难度】 12. 平面向量与的夹角为，则= .【答案】【解析】故答案为：【考点】【难度】 13. 已知双曲线的离心率是2，则以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .【答案】；【解析】

6、故答案为：；【考点】【难度】 14. 已知函数，有如下结论：，有；，有；，有；，有.其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）【答案】. 【解析】故答案为：. 【考点】【难度】 三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.（本小题满分13分） 已知函数( I ) 求函数的最小正周期；() 当时，求函数的最大值及取得最大值时的值【答案】见解析【解析】解：（）因为 所以 ，故的最小正周期为. （）因为 ， 所以 当时，即时， 所以有最大值.【考点】【难度】16.（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已

7、知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.(I) 求的值；(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望.（注：方差，其中为， ,的平均数.）【答案】见解析【解析】解：（I）经计算得：甲班数据依次为，所以中位数为，得；，得 （II）乙班整体水平高.或解： ，.因为，所以乙班的水平高. (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为，则，所以

8、，.所以的分布列为所以的期望为 【考点】【难度】17. （本小题满分14分）如图，垂直于梯形所在的平面，. 为中点， 四边形为矩形，线段交于点N .(I) 求证：/ 平面；(II) 求二面角的大小；(III)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？ 若存在，请求出的长;若不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】解：()连接在中，分别为中点，所以因为所以 ()如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 则设平面的法向量为则即 解得令，得 所以 因为平所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为 () 设存在点Q满足条件.由 设，整理得 ， 因为直线与平面所成角

9、的大小为，所以 ， 则知，即点与E点重合.故在线段上存在一点，且 【考点】【难度】18. (本小题满分13分）已知函数f (x) ln xa2x2ax (a)( I ) 当a1时，求函数f (x)的单调区间；( II ) 若函数f (x)在区间 (1，)上是减函数，求实数a的取值范围【答案】见解析【解析】解：（）当时，定义域是.，由，解得；由，解得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （）（法一）因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，则，即在上恒成立. 当时，所以不成立. 当时，对称轴.，即，解得所以实数a的取值范围是. （法二），定义域是.当时，在区间上是增函数，所以不成立. 时

10、，令，即，则， （i）当时，由，解得，所以函数的单调递减区间是.因为函数在区间上是减函数，+所以，解得. （ii）当时，由，解得，所以函数的单调递减区间是.因为函数在区间上是减函数，所以，解得.综上实数a的取值范围是.【考点】【难度】19.（本小题满分14分）已知椭圆C : , 经过点P，离心率是.(I) 求椭圆C的方程；(II) 设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点【答案】见解析【解析】解：（I）由，解得 ，所以椭圆C的方程是 . （II）方法一（1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意.(2)不妨设直线的方程为 由 消去得. 设，则有, 因为以为直径的圆过点，所以由，得将代入上式，得. 将代入，得 ，解得或（舍）综上，直线经过定点 方法二证明：(1) 当不存在时，易得此直线恒过点. （2）当存在时.设直线，.由，可得. . 由题意可知,可得 . 整理得 把代入整理得 由题意可知 解得 （i） 当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. （ii） ，即，直线过定点，经检验符合题意.综上所述，直线过定点 【考点】【难度】20. （本小题满分13分）已知数列满足，数列的前n项和为,，其中.(I) 求的值；(II) 证明：数列为等比数列；(III) 是