高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.4 二次函数与幂函数 Word版含答案

1、淘宝店铺：漫兮教育第四节二次函数与幂函数1二次函数掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间2幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况知识点一五种常见幂函数的图象与性质五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域rrrx|x0x|x0值域ry|y0ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)易误提醒形如yx(r)才是幂函数，如y3x不是幂函数自测练习1已知幂函数f(x)k·x的图象过点，则k()a. b1 c. d

2、2解析：因为函数f(x)k·x是幂函数，所以k1，又函数f(x)的图象过点，所以，解得，则k.答案：c知识点二二次函数1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象和性质a>0a<0图象定义域xr值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b0时为偶函数，b0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点对称轴：x；顶点：易误提醒研究函数f(x)ax2bxc的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数必备方法1函数yf(x)对称轴的判

3、断方法(1)对于二次函数yf(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)2与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax2bxc>0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc<0，a0恒成立的充要条件是自测练习2.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是()ayx22x1byx22x1cyx22x1dyx22x1解析：设二次函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由题图得：a<0

4、，b<0，c>0.选c.答案：c3若二次函数f(x)ax24xc的值域为0，)，则a，c满足的条件是_解析：由已知得答案：a>0，ac44已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，所以2，即m16.答案：(，16考点一幂函数的图象与性质|1(2015·济南二模)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)3f(2)，则f的值为()a. b.c. d.解析：设f(x)xa，又f(4)3f(2)，4a3×2a，解得alog23，flog23.答案：a2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yx

5、d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()ad>c>b>aba>b>c>dcd>c>a>bda>b>d>c解析：幂函数a2，b，c，d1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选b.答案：b3(2015·安庆三模)若(a1)<(32a)，则实数a的取值范围是_解析：不等式(a1)<(32a)等价于a1>32a>0或32a<a1<0或a1<0<32a

6、.解得a<1或<a<.答案：(，1)幂函数图象与性质应用的三个关注点(1)若幂函数yx(r)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断(2)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则>0，若在(0，)上单调递减，则<0.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较考点二二次函数的图象与性质|(1)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)若对应的两条曲线关于y轴对称，aex轴，ab4 cm，最低点c在x轴上，高ch1 cm，bd2 cm，则右轮廓线dfe所在的二次函数的解析式为()ay

7、(x3)2by(x3)2cy(x3)2 dy(x3)2解析由题图可知，对应的两条曲线关于y轴对称，aex轴，ab4 cm，最低点c在x轴上，高ch1 cm，bd2 cm，所以点c的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即c(3,0)，因为点f与点c关于y轴对称，所以f(3,0)，因为点f是右轮廓线dfe所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为ya(x3)2(a>0)，将点d(1,1)代入得，a，即y(x3)2，故选d.答案d(2)函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的取值范围是()af(1)25 bf(1)25cf(1)25 df(1)>25解析函数f(x)4x

8、2mx5的增区间为，由已知可得2m16，所以f(1)4×12m×159m25.答案a解决二次函数图象与性质问题时两个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍1已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)f(x)m·x在2,4上单调，求m的取值范围解：(1)f(x)ax22ax2ba(x1)

9、22ba，若a>0，则f(x)在区间2,3上是增函数则有解得若a<0，则f(x)在区间2,3上是减函数，则有解得综上可知，a1，b0或a1，b3.(2)由b<1知，a1，b0，则f(x)x22x2，所以g(x)x2(m2)x2.因为g(x)在区间2,4上是单调函数，所以4或2，解得m6或m2.考点三二次函数的综合应用|(2016·聊城模拟)设二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件：f(1x)f(1x)；函数f(x)的图象与直线yx只有一个公共点(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式f(x)>2tx在t2,2时恒成立，求实数x的取值范围解(1)由知f(x)

10、ax2bx(a0)的对称轴是直线x1，b2a.函数f(x)的图象与直线yx只有一个公共点，方程组有且只有一个解，即ax2(b1)x0有两个相同的实根，(b1)20，即b1，a.f(x)x2x.(2)>1，f(x)>2tx等价于f(x)>tx2，即x2x>tx2在t2,2时恒成立函数g(t)xt<0在t2,2时恒成立，即解得x<3或x>3，故实数x的取值范围是(，3)(3，)不等式恒成立的求解方法由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.2设函数f(x)ax22x2

11、，对于满足1<x<4的一切x值，都有f(x)>0，求实数a的取值范围解：由f(x)>0，即ax22x2>0，x(1,4)，得a>在(1,4)上恒成立令g(x)22，g(x)maxg(2)，所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要a>即可.3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用【典例】已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值思路分析参数a的值确定f(x)图象的形状；a0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置解(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.(2)当a>0时，f(x)

12、ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf.当>1，即0<a<1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.(3)当a<0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x<0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min思想点评(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类

13、的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论跟踪练习设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(x)，求g(x)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2<a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，y取得最小值，即ymina22a；当a>1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，g(x)a组考点能力演练1当ab>0时，函数yax2与f(x)

14、axb在同一坐标系中的图象可能是下列图象中的()解析：因为ab>0，所以，当a<0，b<0时，函数yax2的图象开口向下，函数f(x)axb的图象在x，y轴上的截距均为负值，显然d项满足条件；而当a>0，b>0时，函数yax2的图象开口向上，函数f(x)axb的图象在x轴上的截距为负值，在y轴上的截距为正值，没有符合条件的选项，故选d.答案：d2(2015·芜湖质检)已知函数f(x)x2xc.若f(0)>0，f(p)<0，则必有()af(p1)>0bf(p1)<0cf(p1)0df(p1)的符号不能确定解析：函数f(x)x2xc的

15、图象的对称轴为直线x，又f(0)>0，f(p)<0，1<p<0，p1>0，f(p1)>0.答案：a3若幂函数y(m23m3)·xm2m2的图象不过原点，则m的取值是()a1m2 bm1或m2cm2 dm1解析：由幂函数性质可知m23m31，m2或m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1m2，m2或m1.答案：b4若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()a0,4 b.c. d.解析：二次函数图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，由图得m.答案：d5(2015·沧州质检)如果函数f(x)x2bxc对任意的x都

16、有f(x1)f(x)，那么()af(2)<f(0)<f(2)bf(0)<f(2)<f(2)cf(2)<f(0)<f(2)df(0)<f(2)<f(2)解析：由f(1x)f(x)知f(x)的图象关于直线x对称，又抛物线f(x)开口向上，f(0)<f(2)<f(2)答案：d6二次函数f(x)x2(2log2m)xm是偶函数，则实数m_.解析：利用偶函数性质求解因为偶函数的图象关于y轴对称，所以0，解得m4.答案：47已知幂函数f(x)x，若f(a1)<f(102a)，则a的取值范围是_解析：f(x)x(x>0)，易知x(0，)

17、时为减函数，又f(a1)<f(102a)，解得3<a<5.答案：(3,5)8(2015·济南二模)已知函数f(x)x22x，xa，b的值域为1,3，则ba的取值范围是_解析：由题意知，f(x)x22x(x1)21，因为函数f(x)在a，b上的值域为1,3，所以当a1时，1b3；当b3时，1a1，所以ba2,4答案：2,49已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xr)(1)若函数f(x)的图象过点(2,1)，且方程f(x)0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解：(1)

18、因为f(2)1，即4a2b11，所以b2a.因为方程f(x)0有且只有一个根，所以b24a0.所以4a24a0，所以a1，所以b2.所以f(x)(x1)2.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x121.由g(x)的图象知：要满足题意，则2或1，即k6或k0，所求实数k的取值范围为(，06，)10已知函数f(x)x22ax5(a>1)(1)若f(x)的定义域和值域均是1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围解：(1)f(x)(xa)25a2(a>1)，f(x)在1，a

19、上是减函数又定义域和值域均为1，a即解得a2.(2)f(x)在区间(，2上是减函数，a2.又xa1，a1，且(a1)aa1，f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，f(x)maxf(x)min4，得1a3.又a2，2a3.故实数a的取值范围是2,3b组高考题型专练1(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x>0)，g(x)logax的图象可能是()解析：函数yxa(x0)与ylogax(x>0)，选项a中没有幂函数图象，不符合；对于选项b，yxa(x0)中a>1，ylogax(x>0)中0<a<1，不符合；对于选项c，yxa(x0)中，0<a<1，ylogax(x>0)中a>1，不符合，对于选项d，yxa(x0)中0<a<1，ylogax(x>0)中，0<a<1，符合，故选d.答案：d2(2014·高考北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()a3.50分钟