翻译：基于ARX模型的磁悬浮的建模与控制方法

1、基于ARX模型的磁悬浮的建模与控制方法秦叶梅a、b、c、彭辉a、b、*、阮伟杰a、b、吴军a、b、高家诚a、ba、 中国湖南长沙，中南大学信息工程学院，邮编：410083b、 湖南智能控制工程与先行控制工程研究所，邮编：410083c、 中南林业科技大学涉外学院团委新闻中心，邮编410201文章历史:于2013年03月30日收到初稿于2013年08月17日收到修改稿于2013年10月27日采纳于2013年12月14日在网上发布摘要：磁悬浮(Maglev) 系统通常具有强非线性、开环不稳定和快速响应。为了控制在一个磁悬浮系统中钢球的位置，本文提出了一个数据驱动建模方法和控制策略。一个状态相依的自

2、回归外源性输入（SD-ARX）模型是建立在电磁线圈中的电流和球的位置之间的动态关系上的。在SD-ARX模型中的状态相关的泛函数系数和高斯径向基函数（RBF）神经网络的相似。通过应用结构化非线性参数优化方法（SNPOM）离线辨识模型参数。基于该模型，预测控制器被设计成使磁悬浮球稳定到一个给定的位置或使之沿所希望的轨迹运动。该方法的实时控制的效果与其他已提出的两种方法的相比较表明，本文提出的建模与控制方法对控制快速响应、强非线性和开环不稳定系统有着非常显著地效果。本文给出的真实实验证明， RBF-ARX模型不仅能够控制全局，而且能够进行局部控制以及量化非线性和快速响应系统的运行，同时基于模型的预测

3、控制策略在宽工作范围的非线性系统能有非常不错的工作效果。关键词：磁悬浮系统、RBF-ARX模型、参数优化、预测控制、实时控制1、简介磁悬浮(Maglev)技术以及因为其非接触式，低噪音，低摩擦特性而被广泛地应用到许多工程系统，例如无摩擦轴承和高速磁悬浮列车。为了提高磁悬浮系统中的控制性能，磁悬浮球系统经常就被用来作为一种重要的实验平台。这是一种典型的非线性和开环不稳定的系统，其建模和控制策略吸引了世界各地的极大关注。在最近几年，有许多在文献被提及用于控制磁悬浮系统的作品。这些作品主要集中在基于系统物理模型的控制器设计。为了控制非线性磁悬浮系统，Ahmadi 和 Javaid 1设计一个围绕标称

4、工作间隙线性化模型的线性控制器，同时也有一些学者设计了基于将反馈或前馈线性化的非线性控制器。分段线性化技术6也被用来在磁悬浮系统中每一个（足够小）网格区域中建立分段线性模型，以及每个子模型的计算都依赖于分区的拓扑。有学者7-10直接构建一个非线性模型来描述磁悬浮系统的动态特性。这种方式依赖与该系统中有一个结构或参数精确地物理模型装置。然而，要在实际中获得一个精确的磁悬浮系统物理模型并不是一件容易的事。PID控制器仍然被广泛应用于工业领域，因为它具有结构简单，并易于工程师理解; 然而，需要手动调整PID参数是其在实际应用中的缺点。为了克服这个问题，就为磁悬浮系统设计一个模糊PID复合控制器11,

5、12，在该系统中使用的模糊推理进行自我调节PID参数以获得一个良好的控制结果。但是实施取决于经验知识。Baranowski和Piatek13所用的PID控制器，其观察和前馈技术使参数调整变得容易，并扩宽了一个磁悬浮系统的稳定运行的范围。用于磁悬浮系统控制的广义比例积分（GPI）控制器也被设计成补偿误差的组成部分。它可以保证系统渐近指数稳定地运行，并增强其稳定性2,5。此外，变结构或滑模控制10,14,15、自适应控制3和鲁棒控制16-18也被认为是有效地提高了磁悬浮系统的鲁棒性，而且已成功在磁悬浮系统的实验平台完成应用。图1.磁悬浮小球实验平台在本文中，提出一个基于数据驱动19建模技术的新的磁

6、悬浮系统建模和控制策略，克服了不准确的物理模型的结构和/或系统的参数的影响。为了捕捉并量化非线性磁悬浮动力系统，可以使用外生变量（ARX）状态依赖自回归模型。使用一组RBF网络逼近状态相关的ARX模型的系数用了产生一个RBF-ARX模型20。RBF-ARX模型，结合了RBF网络和ARX模型的优点，是一个全局非线性模型，也是围绕每个工作点的局部线性模型。它可以很好地表征一个非线性系统。这种模式的命令和参数可以由结构化的非线性参数优化方法（SNPOM）20 离线辨识，从而可以提高建模精度和获得更快的收敛速度。同时，可以避免实时控制中在线参数估计失败。基于线性模型的预测控制（MPC）21-24，由于

7、其易于实现而越来越多的应用在工业，同时基于非线性模型预测控制（NMPC）6技术也逐渐在实践中实现。对基于线性化的磁悬浮系统模型的Aconstrained广义模型预测控制进行了研究以保证稳定25,26。王等人 27，为了补偿网络时延将联网反馈线性预测控制加入磁悬浮系统。Ulbig等6，提出了构建在约束有限时间最优控制（CFTOC）问题的近似的解决方案的基础上的一个明确的非线性预测控制规律，用以提高其对磁悬浮系统的实时性能。并且该方法只计算上线的控制规律，大大降低了计算负担。在本文中，基于RBF-ARX模型的预测控制器设计用于控制非线性磁悬浮系统。对基于离线辨识的RBF-ARX模型的NMPC进行了

8、模拟，并成功应用在实际的慢响应工业系统，如热电厂的控制28-30和船舶的跟踪控制30。其稳定性也得到了分析和验证29。约束该NMPC的优化问题由二次规划（QP）程序解决，这是一种计算量巨大并适于缓慢变化的系统的类型的程序。在本文中，利用事后输入约束规则，MPC的优化时间大大减少，从而实现了快速响应磁悬浮系统的控制。实时控制结果表明离线辨识的RBF-ARX模型可以全局范围上模拟非线性磁悬浮系统，以及基于该模型的预测控制器相对于其他控制方案在快速响应、强非线性和开环不稳定的系统上具有优异的操控性能。在基于RBF-ARX模型的MPC能够控制一些慢的响应工厂的先期工作基础上，本文的主要贡献是进一步详细

9、的展现强实时性的实验数据。那就是RBF-ARX模型不仅能够在全局范围，而且能在局部上捕捉和量化强非线性和快速反应系统的行为，以及基于该模型的预测控制策略在非线性系统有相当好的宽工作范围。2、磁悬浮小球系统的建模本文的研究对象是磁悬浮小球系统，在我们的实验室，它由两部分组成：磁悬浮装置和控制计算机。磁悬浮装置由电磁铁，功率放大器，光电传感器，LED光源和控制对象，如图.1所示实验装置是单轴磁悬浮系统，仅能够控制对象向上下移动。该控制的目的是为了保持磁悬浮球稳定在给定的位置上，或使球跟踪所希望的轨迹。磁悬浮小球系统的结构图描绘在图2，其中，y表示球的位置，也表示球和电磁铁表面之间的间距。电磁铁表面

10、被定义为原点和向下运动是负向。产生控制磁悬浮球的位置的电磁力F的绕组电流由控制策略决定。图.2磁悬浮小球控制系统的原理图。表1模型参数参数类型小球质量（m）小球半径（r）电阻（R）线圈数（n）K(Nm2/A2)间隙范围数值22g12.5mm13.824502.3142e4016mm2.1 物理模型为了建立系统的物理模型，作如下几个假设：（i） 电磁铁和小球之间存在理想磁场；（ii） 小球是均匀球体；（iii） 电磁铁与小球和绕组间的漏磁通之间的磁电阻可以被忽略。由牛顿第二定律、毕奥 - 萨伐尔定律、能量守恒的基本法律和基尔霍夫定律，可以得出磁悬浮小球的运动方程，如下所示：m表示钢球的质量，y（

11、t）是在球和电磁铁表面之间的瞬时间隙，g是重力加速度，F（i，y）是电磁力，u（t）是电磁线圈的电压，i（t）是瞬时电流通过线圈中，R是电磁线圈的等效电阻，L1是自感线圈，K为电磁线圈的互感的相关系数。该系统的原型参数列于表1。在模型（1）中，所述第一方程式表征磁悬浮系统的动态特性，并且第二个方程涉及了电力学和动力学并表明了F，I和y之间有很强的非线性关系。如果假设小球是处于平衡状态，即稳定悬浮状态，小球受到的电磁力必须等于的其受到引力，即mg + F(I0, y0) = 0, 其中点(i0, y0) 被视为平衡点或工作点。一旦小球受到干扰，原先的平衡就会被打破，则闭环控制系统必须确保该球可以

12、回到平衡点。从模型（1）可以看出，平衡点的变化与变量i与y相关，并且该系统是高度非线性的。然而，在某个确定的平衡点，该系统可以被认为是一个局部线性系统。这个特性可以捕获并通过RBF-ARX模型量化。2.2 RBF-ARX模型模型（1）只是一个基于假设（i） - （iii）下的一个近似的方程式，并且在表1中的一些参数，例如K，R和L，不是那么准确的，甚至它们不是真正的常量。因此，使用基于模型（1）的控制器并不容易得到良好的控制效果。为了克服上述情况下物理建模的缺点，我们可能会尝试使用数据驱动建模技术来获得一个可能可以捕获全局和量化磁悬浮球系统的非线性行为的模型。RBF-ARX模型20可能是一个能

13、够模拟磁悬浮系统的非线性动力学特性的模型。磁悬浮系统实验平台是一个单输入单输出（SISO）系统，所以它的SISO RBF-ARX模型可被设计如下。y(t)是输出，如球的位置；u（t）是输入，如电磁铁的控制电压；（t）表示白噪声序列；ny、nu、m和nw= dimW(t 1)是相应的命令；W(t 1) 是该系统的工作点的状态向量；Zki是RBF网络中心，而(k=1,2,.,m;i=y,u);0,y,i和u,i伴随W(t 1)的高斯非线性状态依赖系数；ck0和cji,k k(i = 1, 2, . . ., nj; j = y, u; k = 0, 1, 2, . . .,m) 是权重系数；ik(

14、k = 1, 2, . . .,m; i = y, u) 是换算因子；|表示矢量2-norm。实际上，模型（2）与高斯RBF网络的式的系数具有自回归结构，其在每一个工作点都通过固定W（t-1）使其与线性ARX模型结构相识。它通过将参数空间分割成许多小段来处理非线性过程，并且每个段都被视为局部德尔平稳过程。此外，系数y,i、u,i和局部0变量还取决于在（t - 1）时刻过程中的工作点。RBF-ARX模型也被视为一个全局性的非线性模型，能够全局性的描述系统的非线性动力学状态。2.3. 对RBF-ARX的模型辨识对RBF-ARX模型的辨识主要包括确定模型命令和估计模型参数。在本文中，所有参数都通过使

15、用从图1实验平台所产生的观察数据进行离线估计，以避免在实时控制期间在线参数估计失败造成的潜在问题。观测数据是通过图3所示的传统的PID控制算法进行采样。“增益”用于将输出电压（单位：V）转换成球的位置（单位：mm），这是通过校准光电传感器获得。传感器和电流驱动器经由PCI1711转换卡连接到一台带有MATLAB/ SIMULINK2010b的WindowsXP操作系统的PC。所有实验的采样周期都被选择为5毫秒。为了使磁悬浮系统可辨识，就必须使球尽可能地在大范围内稳定地移动。我们选择一个正弦波（即3.6 sin t 9（单位：mm）作为参考轨迹，添加一个白噪声信号到平台的输入用于激发其动态模式。

16、图4示为8000个观测数据，其中，前4000个数据点被用于优化模 型（2）的参数而后的4000个数据点被用来测试该模型的性能。结构化非线性参数优化方法（SNPOM）20，这是用列文伯格 - 马夸尔特法（LMM）估计非线性参数以及在每一个迭代搜索使用最小二乘法（LSM）估计线性参数，这种方法通过使用图4的观察数据来估计RBF-ARX模型的参数。这是一个非常有效的优化方法，特别是对线性参数数量大于非线性参数数目的系统。在模型（2）中，Zik和ik为非线性参数，Ci是线性参数。因此，模型（2）已经对(m +1）（ny+nu+ 1）的线性参数和(m+m× nw) 的非线性参数进行估计。通过改

17、变模型命令和相同条件下的状态向量并观察建模的AIC（赤池信息量准则）值、残差分布和模型的阶跃响应的趋势得到一组合适的模型命令和参数。一般情况下，最后的模型应该有一个小的AIC值，小建模残留和良好的动态性能。 在本文中，式（2）是在t-1时刻的W（t-1）状态下记录一组的球位（即：y（t）。任意W（t-1）的子集都可以作为初始RBF的中心Zik，并且初始比例因子被设置为k=-log0.0001/max t-1|W(t-1)-Zk|2 2。参数的详细的优化过程见20。在反复测试和比较之后，该磁悬浮球系统的模型命令最终证实为ny=6、nu=2、m=1和nw=2。 图5和图6示出的观测数据和由RBF-

18、ARX模型产生的单步向前的预测输出之间的比较，以及各自的建模残差、训练数据和测试数据。从图中可以看出辨识RBF-ARX模型的输出非常接近实际的输出，不管对于训练数据或测试数据。该建模误差的范围只有+ -0.04，并且显示符合高斯分布。可以看出，RBF-ARX模型应用于磁悬浮系统可以实现足够高的建模精度。图7绘出了预期的模型（2）在图5和图6所示的小球位置信号改变的情况下的磁极的改变，从中可以看出，该模型在球状态变化下的动态特性的变化。它也可以看出这是圆外的极点，这也解释了磁悬浮系统是非线性的和开环不稳定的。 3、预测控制器设计为了设计一个预测控制器，必须将辨识模型（2）转换成一个状态空间表达式

19、。根据内置磁悬浮系统的模型，定义状态向量。其中，kn=6是辨识RBF-ARX模型。那么磁悬浮球系统（2）的状态空间模型可以给出如下：而需要注意的是（）=（W（t）的表示所述系数是在时间t的所有相关值w（t）。式（4）中的状态矢量x（t）可根据所估计的RBF-ARX模型（2）中、现在的输出y（t）和过去的输入/输出数据再通过式（3）容易地获得。在磁悬浮球系统的状态空间模型（4）的基础上，预测控制器可以根据从全局非线性RBF-ARX模型获得的SISO局部线性ARX模型。首先，定义如下向量：其中， x（t）表示的预测状态向量， y （t）表示所述预测的输出。另外，在式（6）中，Np的表示预测时域和N

20、c表示控制范围。基于在时间t下模型（4）,最优预测状态和输出可以由如下获得:需要注意的是，在本文中，我们在工作点W（t）计算At、Bt、Ct和t。由式（7） - 式（10），一个新的预测输出也可以被表达为：定义控制增量u(t) 和所希望的输出yr(t)如下：而u(t)=u(t)-u(t-1)。控制器使用下列公式优化功能。而X2 =XTX、Q、R1和R2是输出误差的正加权矩阵，分别为u和u。在实际应用中，为了避免使用QP例程，使计算时间在这个实验中超过所述采样时间5ms，我们不考虑输出限制而只是一味地输入约束。据事后的输入约束规则29，替补式（11）到式（13）和预测最优控制的u(t)可由如下获

21、得：而使dJdU(t)=0, 那么最优控制输入u(t)可由如下直接得到：在式（15）的最优控制u(t)中，只有第一部分的u(t)被用作有效控制输入。在本文中，磁悬浮系统的控制输入的极限为0u(t)10(V)。从上面的公式中，可以看出，基于RBF-ARX模型的预测控制器不需要在线参数估计，因为其固有的RBF-ARX模型是离线局部线性识别和全局非线性模型。磁悬浮球系统的预测控制结构图示于图8。如图8虚线框所示就是被设计预测控制器（MPC）。在时刻t时，控制性能可以优化和最优控制变量u(t)可以在给定yr、历史输出的信息和实际位置输出y(t)的基础上计算出来。4、实时控制在这一节中，进行了实时实验，

22、以评估所提出的RBF-ARX MPC在图1所示的实际的磁悬浮球系统的控制性能。对于图8，我们在MATLAB/ SIMULINK2010年b环境下设计了MPC磁悬浮球系统控制模块。采样周期仍选为5毫秒，设计图如图9所示。图9中，实控制模块完成对输入信号取样和A / D或D / A信号转换。图8虚线框所示的MPC模块且该模块是用C语言编写的S-功能模块。有六个输入：控制加权矩阵R1和R2，输出误差加权矩阵Q(即:在式(15)中R1=R1INc*Nc、R2=R2INc*Nc和Q=QINp*Np)，给定的所希望的输出yr(即式(15)中的yr)，工作点状态量Wt(即式（2）中的W(t)和系统在当前时间

23、的输出y，在这里我们选择的输出y作为状态量Wt。该MPC模块输出由式的最优控制u由式(15)决定。通过反复试验，保证了磁悬浮球可稳定漂浮。最后，基于RBF-ARX模型的MPC参数选择为Np=12、Nc=10、Q=1.425I12*12、R1=0.03I10*10和R2=0.41I10*10。在以下小节中，所设计的预测控制器被用于控制磁悬浮球的运动。为了说明在基于RBF-ARX模型的MPC（RBF-ARX-MPC）的控制下可以获得怎样的改进，也建立了一个线性ARX模型，以及具有相同的预测控制器构造的基于ARX模型的的预测控制器（ARX-MPC）也用于磁悬浮球系统。该被使用线性ARX模型如下：其中

24、a0、ai和bj是常系数；(t) 表示的白噪声序列;na和nb是响应的命令，其中na=6和nb=2与辨识RBF-ARX模型的命令是相同的。此，在第2.3节提出的辨识方法也能用于辨识ARX模型。在本文中，可通过给出函数yr=0.56sint-6(mm)、yr=0.56sint-9(mm)、yr=0.56sint-12(mm)产生三套观测数据分别为在图3中PID控制下的参考值。然后，围绕三个位置（即：6mm (顶部), 9mm (中间), and 12mm (底部)）得到三个ARX模型，线性ARX模型对应的状态空间表示也可以由方程（3）和（4）可获得，并且它的系数矩阵是如下： 上面来自三个线性AR

25、X模型之一的系数矩阵都是恒定的控制过程。确定三个线性ARX模型的系数如表2所示。然后线性ARX模型预测控制(ARX-MPC)也可以通过方程式。(6)-(15)计算出来 对于磁悬浮球系统，阶跃响应实验是为了测试系统的动态性能和不同控制策略下球的移动范围设计的。在实验中，球控制跟随给定的矩形波,它可以测试控制系统的动态响应能力。4.1 小跳动振幅阶跃响应 为了测试RBF的性能控制、ARX-MPC和磁悬浮球系统的一个经典的调整好的PID控制器。我们对磁悬浮系统位置周围执行微小的振幅跳变步骤响应，分别是-6mm,-9mm和-12mm，步骤放大都是1.1mm，在这些范围取得的数据用了鉴别三种线性ARX模

26、型。通过试验和误差，每个用了控制磁悬浮系统的控制器的调整好的参数列出表3. 从表3可以看出，图 1023所示的所有试验中，只有只有一个RBF-ARX模型建立在第二节和使用一套RBF-MPC参数，但是三种线性ARX模型、ARX基于模型的MPC的三套不同参数和PID控制器在大概高位（-6mm）,中位（-9mm），和低位（-12mm)中使用了最好的性能控制。三种控制方法的控制结果比较总结在图10-23.从图10-12中可以看出RBF-ARX-MPC和theARX-MPC的超调量比PID控制的小多了；和两个MPC的控制输入比PID控制的光滑多了，因此，预测的控制策略比磁悬浮球系统的PID控制器好多了。

27、比较两个MPC结果在F igs.10-12,很明显两个MPC在高位（-6mm）,中位（-9mm），和低位（-12mm)的结果是相似的，RBF-ARX-MPC在中位（-9mm）位置的性能比ARX-MPC的好。因此，这就可以证明RBF-ARX模型是可以捕获和量化非线性磁悬浮系统的全局行为的和一个RBF-ARX基于模型的MPC行为像多局域线性ARX基于模型的MPCs4.2 大跳动振幅阶跃响应在一个相当小的范围，三种控制方法都能够让球体很好的移动，举例三种控制方法的控制效果和操作范围，所给的阶跃信号的振幅在一个实验逐渐变宽。注意下一个实验的控制参数和Table-3是相同的。 第一，中心位置设置在-9m

28、m位置，在操作球的范围的中间位置，因此有足够的空间测试稳定操作的范围。MPC的实时控制的不同振幅跳变阶跃响应的结果和PID控制器都展示在图13-17 -9mm的中心位置，那个线性ARX模型用于图13-16，也是在图11是与在模型确定的-9mm中心位置取得的数据相同的位置。但是RBF-ARX模型与用于图10-12的那个是相同的。实际上，只有一个RBF-ARX模型可以用了纸上的所有情况比较图13和图14,三个控制器超调量，调整时间和上升时间随阶振幅的延长增加。特别是球在PID控制下往下跳动-7mm到-10.6，超调量接近图14的80%。只要原因是当球被控制往下跳动太快和太多，PID控制器不能够马上

29、快速反应和大电磁力的下降。这种情况在上升步骤也会出现 从图14中可以清楚的看到在PID控制下的球在向下跳动的时候有一个明显和频繁的振荡。这也是上面所提到的原因导致的。而且取决于磁场的饱和度和涡流效应，特别是当球接近电磁场以致于电磁场力变得非常大，PID控制器花费一些时间调整控制重复变化以致使得球进入新的稳定状态。相反的，MPC能够预测基于运行过程历史信息的未来状况和能够控制及时的控制大变化，因此，MPCs所展示的动态性能是比PID控制较好的，见图13-15. 通过测试三种控制方法的控制范围，阶跃设定值的跳动振幅变大很多。当跳动跨度到达3.8mm时可以从图15中看出，PID控制的结果变得非常差。

30、当球的规定位置转换到3.8mm下，球在大振幅后还可以保持稳定，但是当在PID控制下的设定值跳动到3.8mm下会失控。MPC基于RBF-ARX模型的控制性能或者ARX模型都仍然能在图15设定值3.8mm跳动振幅的情况下非常好.在图16，ARX-MPC可能控制球降低4.7mm，但是不可能让球成功的从-6.3mm降低到-11.0mm(跳动4.7mm)。这种现象的主要原因是图 1所展示的通过电磁场产生的磁场非常非线性和不对称的。它导致当球接近电磁场时磁场线浓密，而当球离电磁场足够远时比较稀少和非线性。当范围扩大，系统的非线性加强；这将会降低ARX-MPC的控制性能。这就是当从-6.3mm降低到-11.

31、0mm时球失控的原因（跳动4.7mm）。相反的，RBF-ARX-MPC能够控制球容易的跟随明显正向或反向阶跃的设定值，如图16和17所示。和RBF-ARX-MPC的超调量和调整时间在很多情况比ARX-MPC的少多了。主要原因取决于磁悬浮球系统强大的非线性。本地的线性ARX基于模型MPC只能在本地工作点给一个不坏的控制而大的工作范围内不行，但是RBF-ARX基于模型MOC能在一个大范围工作的很好，因为RBF-ARX可以在一个大范围内时扮演磁悬浮球系统的角色，、它是一个球体模型。 图17展示了在RBF-ARX-MPC下大振幅的阶跃响应。当跳动跨度设置从-12.1mm到-5.4mm（i.e.6-7m

32、m阶跃振幅，那个用于鉴别在图4的RBF-ARX模型观察数据的变化范围），控制性能仍然非常好，无论设定值从-5.4mm向下转换到-12.1mm或者从-12.1mm向下转换到-5.4mm，计划的RBF-ARX基于模型MPC方法能够让球很快的回到稳定状态，但是向下或者向上跳动的浮动值变得好点以及调整时间与图13-16的其他情况比较长些,在RBF-ARX-MPC下的阶跃响应的跳动范围是非常大的，这说明RBF-ARX模型能非常好的全面描写系统行为，所以基于这种模型设计的控制器可能获得优秀的控制性能。 另外，为了进一步证明RBF-ARX-MPC的效能，我们还对三种控制器各自在球的在球浮动范围的高位（-6m

33、m）和低位（-12mm）的位置做阶跃响应实验，控制结果在图18-23给出。 比较图10和18-20.RBF-ARX-MPC的控制性能比ARX-MPC的和PID控制器在高位-6mm好多了和对于步进设定不同的跳动振幅和PID或者控制器在高位-6mm的能控制的布跳范围各自比2.9mm或者3.8mm小点和RBF-ARX-MPC能在全部范围控制球是很明显的 图12和21-23跟上面展示相似的结果，一个可以看出RBF-ARX-MPC的控制性能比ARX-MPC和PID控制器在低位-12mm好多了和对于步进设定的不同的跳动振幅和PID或者ARX-MPC的能控制的跳动阶跃范围各自比2.2mm或者2.5mm小，和

34、RBF-ARX-MPC能在全部范围控制球。 从图10-23给出的结果，我们可以总结出MPC比PID控制好多了，和前者的控制输出和输入比后者的光滑多了，虽然本地线性ARX基于模型MPC只能在模型的有效的一个小范围运行的好，当取决于磁悬浮球系统的强非线性的步跳振幅增加它的控制性能将会很快变差。因为计划的RBF-ARX模型能非常好的全面的捕获和确定磁悬浮球系统的非线性特性，基于模型MPC在大设定值跳动变化的情况下展现出非常好的阶跃响应控制性能，和他能快速的检查快速的和大变化的设定信号。因此RBF-ARX-MPC对于潜在系统是一种可取与有效的控制方法。RBF-ARX模型的不用识别数据的效能5. 不同的

35、识别数据RBF-ARX建模的有效性 为了检查RBF-ARX MPC设计建模的不用类型的识别数据的效果，一套不同波的数据融合被选作为参考轨迹去产生于图24给出的不同数据，第一4000数据点被用作优化模型（2）的参数和4000数据点被用来测试模型的性能。我们使用相同的鉴别方法来选择最佳ny= 7, nu= 3, m = 1 and nw= 2的模型顺序。鉴别结果在图25和26展示出。 然后我们使用相同的RBF-ARX-MPC去控制球和设置为Np= 12, Nc= 10, Q = I12×12,R1= 0.03I10×10and R2= 0.16I10×10的一致的控制

36、参数。4.7mm跳的一个阶跃响应在图27描写出。从图27,可以看出一个：两种结果是十分相似的。和使用图24的数据的基于RBF-ARX模型鉴别的MPC结果（RBF-ARX-MPC（2）在图27）比图16所示的（RBF-ARX-MPC（1）在图27）好一点。这意味着如果识别数据有丰富的频谱和几乎覆盖系统所有工作范围的变化的范围，识别RBF-ARX模型将会适用于MPC设计。 6. 总结 这张纸展示了数据驱动的建模技术怎么利用建立一个ARX类型模型去捕获和确定一个开环不稳定的球体的非线性行为快速响应磁悬浮系统。所提出的建模方法对底层系统对一般物理基于模型的程序是不同的，它可能克服一些缺点如缺乏精确性的

37、数学模型结构和/或系统里装置的参数。来自实际样品输入/输出数据依赖RBF-ARX模型离线识别的系统能够描绘一个数据变化的大范围的非线性系统的特性。RBF-ARX模型提出了MPC策略适合球的位置的快速反应磁浮系统控制。因为它工作像一个本地时变线性arx模型线性MPC的过程。一个真正的磁悬浮系统的成功应用和实时控制的详细经典的pid控制器的比较结果和线性ARX-MPC，它说明RBF-ARX-MPC在建模和控制快速响应，强非线性和开环不稳定系统是有效和可取的。因此，可以说明这张纸可能提供一个任意建模系统和非线性控制方法和快速变化的系统。这张纸还能够说明清楚的揭示了通过实时实验和与其他控制方法详细的比

38、较的有力的证据，是RBF-ARX模型能够完全和精确的描绘强非线性和快速反应系统的特性和基于模型的预测控制策略能够在非线性系统的宽工作范围提供非常好的性能。鸣谢此工作由中国国际科学技术合作项目(2011DFA10440)、中国自然科学基金(71271215 and 71221061)和中国的湖南省研究生创新基地(CX2012B067)支持。附录a .补充数据补充与本文相关的数据可以在/10.1016/j.jprocont.2013.10.016.的在线版本找到参考文献：1艾哈迈迪,硕士Javaid磁悬浮系统非线性模型和控制器设计:伊斯09:第九届国际会议磨信号处理

39、的程序、机器人与自动化,威斯康辛州,美国,2010年,第324 - 328页。2r·莫拉莱斯v . Feliu h . Sira-Ramirez基于快速在线代数的识别输入增益的磁悬浮系统非线性控制,IEEE的事务控制系统技术9(4)(2011)第757 - 771页。3左边托雷斯,l . Schnitman C.A.V.V.小J.A.M. Felippe de Souza磁悬浮系统的反馈线性化和模型参考 自适应控制,信息研究和控制21(1)(2012)第67 - 74页。4周宏儒。Shieh黄永发。叶华,科技管理。刘翔,磁悬浮系统的一个健壮的最优滑模控制方法,亚洲控制杂志2(4)(2

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