浅谈“循环矩阵”的性质及应用毕业论文

1、浅谈“循环矩阵”的性质及应用毕业论文摘要错误！未定义书签。abstract错误！未定义书签。1前言12.循环矩阵的基本概念及性质32.1基本概念32.2循环矩阵的性质32.3循环矩阵的对角化63循环矩阵的推广93.1广义循环矩阵93.2厂一循环矩阵133.3反循坏矩阵16小结20参考文献21致谢错误！未定义书签。1前言循环矩阵的概念是t - muir于1885年首先提出來的，b提出以來，直到1950-1955年, good等人才开始分别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了相应地研究"3冃前有关 循环矩阵的问题依然是大家喜欢和热爱研究的一个热点.自1950年以来，循环矩阵被数学界高度

2、重视，发展迅速，各种新的循环矩阵概念也被相 继提出，已有十儿种：如向后循环矩阵，循环布尔矩阵，八（块）循环矩阵，厂-循环矩阵，向 后（对称）循环矩阵，块循环矩阵等等®打许多数学工作者对它进行了大量研究，得出很多成 果.在线性代数中，循环矩阵是一种特殊形式的toeplitz矩阵，它的行向量的每个元素都是 前一个行向量各元索依次右移一个位置得到的结果.山于可以用离散傅立叶变换快速解循 坏矩阵，所以在数值分析中有重要的应用.近年來，循坏矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵理论领域屮的一个非常积极的和重 要的研究和学习方向.而它之所以会吸引数学学者和工作者如此人的兴趣和孜孜不倦的追 求，是因为循

3、环矩阵是一类具有特殊结构，并且有良好性质的矩阵，而且也是非常重要的矩 阵.同时它也是应用非常广泛的一类矩阵，比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、 数理统计与概率、图彖数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛同时 循环矩阵的逆和特征值问题，在物理方面的力学振动系统设计，分了结构理论，线性多变量 控制理论及数值分析等领域屮也频繁闪现.对循环矩阵的研究是炬阵理论的重要组成部分, 且日益成为应用数学领域屮一个非常活跃和重要的研究方向.基于这类矩阵有许多良好的 性质和结构，很有必要对其进行推广并探讨其特殊结构、特殊性质、各种各样的多项式表示 形式极小多项式、非奇异性、特征多项式、对角

4、化、谱分解、特征值、逆阵、自反g-逆、 群逆及nioore- penrose逆的各种快速算法等.目前由于循环矩阵的理论还不是很完善，而在实际生活中许多的数学模型是有关循环 矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在不停的继续着.其中循环矩阵的逆矩阵求法是多 国数学工作者研究的一个热点.本文在对文献18进行深入讨论和研究的基础z上分析总结，对于矩阵系统中一类非 常重要的矩阵循环矩阵，又一次从最棊本的定义出发详细地综合了以往对循环矩阵的相 关研究及结论，并在其基础上对于以往的结论进行重新证明，同时继续研究循环矩阵的各种 性质.并且利用矩阵对角化的方法来研究和学习循坏愆阵的伴随矩阵，逆矩阵，以及行列式

5、的表达方式；利用范德蒙矩阵对循环矩阵的一个定理给出了推广，并得到二重循环矩阵（广 义循环矩阵）的性质，即广义循环矩阵（二重循环矩阵）和厂-循环矩阵的相应性质，随之对 循环矩阵的应用性质和进行进i步的讨论.2.循环矩阵的基本概念及性质2.1基本概念定义2.1复数域c上形如/qal %q an-2an-2an-la。 an-3< 4a2°3 q >a(2.1)的矩阵，称为阶的循环矩阵.定义2.2设数域k00100、00000由于g2 =ro0100、<0000n000 0010000c一1 ，q =100 00000 00010 00丿<000 10其中e是单位矩

6、阵，称矩阵g为基本循环矩阵.2.2循环矩阵的性质性质2.1令b严gt = 2,n,则矩阵弘场廻屛，吗 都是循环矩阵且目23，為，鸟是线性无关的.证明从上可知显然be心b” 心 是循环矩阵下面只要证它们是线性无关的即 可.设xb+兀2坊+ £场=0,则£v1=0因此石二花二二所以冋廻廻，為，优是线性无关的.性质2.2任意的阶循环矩阵a (如(2.1)式)都可以由冋,坊,尽，坊,，优线性表出,即a = /| bj + 色 + +。场从上可知如果令.f(x) = do+g$ + +则a = /(g).称才(兀)为斤阶循环矩阵a的生成多项式.性质2.3设a,b都是数域k±

7、n阶循环矩阵，数kw k,那么a-b,ka,at也都是n阶循环矩阵.注性质3表明循环矩阵对于通常的矩阵的加法、数乘矩阵以及矩阵的转置运算都是封闭的.这里就不加证明了.性质2.4设a, 都是数域k上n阶循环矩阵，那么它们的乘积也是数域k上的阶循环矩阵，并fl.ab = baf即循环矩阵的乘积仍然是循环矩阵.证明设人，b全为斤阶循环矩阵，不妨设a = f(g)9 b = g(g)其中则/(x)=兔+吗兀+ an_xnx, g(兀)=勺)+勺兀+仇一丿"-厂 n-l、ab = f(g)g(g)=< /=o>2/?-2z cg，/=0英中c严x aibi -由于g“ = e,所以

8、i+j=k"一 1ab = f(g)g(g)=(虑)(g)=工dkgk,点=0其屮d 严 g+c+，k = 0,n-2, dn_ = cn_x.所以乘积ab也是数域k上的斤阶循环矩阵，并且ab = ba,即循环矩阵的乘积仍然是循 环矩阵.由性质2.4可得，如果/?阶循环矩阵4是可逆矩阵，那么推出性质2.5若a是阶循环矩阵，且a是可逆，那么a"也是循环矩阵.证明设b = b°e + b?g2 + + 肛&-'其中(%bn_x为待定系数)使得ab = e,即可证明循环矩阵a为可逆的循环矩阵.设a = a()e + qg + + cin_gnl则ab =

9、 (aoe + q|g + d2g2+ + d”_|g't)(boe + qg + b2g2+ + b”_|g"t)=(a()b° + an_fy + an_2b2 + + (q% + a)b + ab. + + abn_x )g+ + (色_00 + an_2bx + an_3b2 + + a-i)g，_1由于ab二e,则有下列方程组成立d(a + an-2b2 + + n- = 1v mo + gl為 + + e 仇 t =0(22)% + an_ + an_.b2 + + an_ = 0它的系数矩阵为at(at表示a的转置矩阵).由于a可逆，其中|at| =

10、|a|o,由克莱姆法则知，方程组(2.2)中有且仅有唯一的解b2,“7,即3唯一存在，从而这样的b就是a的逆矩阵，h.3也是循环逆矩阵.推论2.6设a是阶可逆的循环矩阵，则a的伴随矩阵才也是循环矩阵.证明因为a是斤阶可逆的循环矩阵，所以a*=|a|a-',因此由性质2.5知，=b°e + bg + b_|g"t是循坏矩阵.由此a*=|a|a-1 =|a|%e + |a|$g + |a|hg心也是循环矩阵.23循环矩阵的对角化引理2.7基本循环矩阵g可以对介化.证明山于所以0 0、00<100.-1a0-1 0.0ae-g =r-i.0-1 2.0-12从而它在

11、复数域c上冇料个不同的特征值，a2上兀 2k兀 1 r i1 *21 =£k =cos+ zsin,« = 0丄2，/一1异 =一1.nn所以基木循环矩阵nj"以对角化.定理2.8 n阶循环矩阵a可以对角化.证明设循环炬阵a的生成多项式为°/(x) = a() +。兀 +。2% + +。“_兀由于a = /(g),而矩阵g可以对如化，所以存在可逆阵使得'gt其中£k =cos +=0,l,2,-,/?-l;z2 =-1 nn即%和召t为所有次单位根，从而有tat =矿' et + aj-'gt + ajg2t + + %

12、厂计丁=diag(f(l) j(6)， j(5i)因此z?阶循环矩阵a可以对角化.定理2.9设循环矩阵4如（2.1）式定义 则循环知阵a町逆的充耍条件是方程/(x) = a + aaxa2x +=0无单位根.证明构造取其中ek =cos 遊+ isin 农，£ = 0丄2,，仏产=_1. nn即%£皿心为所有77次单位根.由于%印百i两两不同,所以由范德蒙行列式的性质知炬阵t是可逆的,从而1 )a00.0 )f i1h-l0人0.0£（）2 n-00&0£；n-/!-l 700 4-i >其屮& = x a.iei = /(勺),心

13、 0,1,厶,斤 一 1因此只要&.工0丿=0,1,2,曲一1.则同工0,即矩阵a可逆.即循环矩阵a可逆的充要条件是方程f(x) = aq + ax + a2x2 + + % 兀"=0无单位根.性质2.10若a是（2）所示的复数域上的”阶循环矩阵，设/（兀）为a的牛成多项式f(x)= q()+ q兀 + a2x2 +卜匕_1兀""那么4的行列式deta = /（£0）/（1）./（£w_1）,其屮£k 二 cos农+ isin n=-l是全部次单位根,定理2.11对于任何一个"阶循环矩阵p都存在一个农阶循环矩阵4,使

14、得p与a相 似.证明由定理2.8可知阶循环矩阵p uj以对角化，即存在町逆阵!2,使得q"pq = diag（入人，血）其中人，入，人是矩阵p的特征值.若能得到4的生成多项式f（x）,则a就被唯一 确定了.为此令.f（5）=九+, £ = 0丄2,/ 1.即d（）+ q£（）+ a2£ + +=人（2.3）2fiiaq（）+ += /l>2fiado + a£n- + a2£n- + + an-n- = a:其中£（）=1.显然方程组（2.3）的系数行列式是范德蒙行列式.由于£（）,刍,，勺-两两 不同，从而

15、此方程组的系数行列式不等于0,则由克拉默法则知此方程组冇唯一解.从而a 的生成多项式/（兀）被唯一确定.此时tlat = diag（f ,/（£【）,/（勺），,/（6-i）= dia8 （入，入，人j，即t'at = q-1 pq,从而（qt'1 尸 p（qt_） = a,因此存在循环矩阵a与矩阵p相似.由定理2.8与定理2.9很容易就可以得到以下推论.推论2.12任何一个循环矩阵a在复数域上都与一个对和矩阵相似.3循环矩阵的推广第2部分主要是分析总结了循环矩阵的部分性质，并对其性质进行了证明.但在实际应 用中述会遇到分块循环矩阵即准循环愆阵以及广义循环矩阵(二重循

16、环矩阵)等等概念，下面 就讨论这些概念及其相应的性质.3.1广义循环矩阵定义3.1数域k上的(mxn)阶循环c可以写成加阶的分块矩阵c = (cm),w = 0,1,2, ,/!-1,11有其小c为nx m矩阵，称矩阵c为mxm准循环矩阵.定义32设数域k上的准循环矩阵为c,如果每一个分块矩阵c,同时都是循环矩阵, 那么称此矩阵c为广义循环矩阵.对于上面提到的广义循环矩阵，利用广义范德蒙矩阵來求广义循环矩阵求行列式的计 算方法.定义3.3设e是m阶单位的矩阵，bo，b、,b2，b,h都是m阶方阵且 坊,8门两两町以交换，令矩阵b =< eb°e 冋e 爲 b； e y昭 (3.

17、1)禺'b异b' 侏1丿称矩阵为广义范徳蒙矩阵它的行列式叫做广义的范徳蒙行列式.为了能够证明下而的定理3.2首先证明接下来的引理.引理31设矩阵b如定义3.3所定义，则矩阵b行列式为|b|= y0$"一】证明用数学归纳法來证明：当 =1吋，山于厂e0、（ee、'ee、toe,k° b_b° 丿所以e 0e eeeb° eso b0b厂 b（）0 eeeb0bboe e所以d d即当2 1时，结论成立.假设当n = k吋，结论也成立,b（）b则当 =£ +1时，由于b,b-两两可交换,e0 00(eee -bqe 00b&

18、#176;bb? bk0_5o 00b；b；b； b：00 - bqe,b：bj(eeee、0b、-sob2-bb十=0b佔-fio)坊（b?-垃）bgb°)0-b(jb(b2-（） 即宙_5o);b、b2b0 blb° b2(b2-b°) b认-b。)bfa-b。)btz-bq) b*bo),/eee e )00 0 )b2耳b艮05bo0 0b；b；b；- b；00b3 - b()0 <4bj'b'即 曙丿000 e_b()丿由以上等式可知，两边同时取行列式且可由假设归纳得eee ee0 0°eee eb。b、b2brboe 0

19、0b线尿b：b；b：=0_o 05objb：b：bib；b：00-bob：b；ee0b 厂 b°o b(bb"eeb2-b bk - bqb2(b2-bo)bk(bk-bq)btw-bj bq 厲-b°)b-bob2-bobk - 50b2(b2-fi0)b攵厲一 b°) bf(b2_b°)b紀(b-b。)e ccf :e :e ccr2:.- -fioo o - :50o - o :50-o o : earbro o o :bk - b()bi bjn ib-b/o< j<i<k即结论亦同时成立.可山数学归纳法原理引理3.1

20、对一切自然数m都成立.定义34设阶数最方阵乜00£.d =1i<000、0 .昇=0丄2,其屮空,20,1,2,/-时 n即勺）疋s疋心为所冇次单位根.称 m ,一1为广义斤次单位根.定理3.2 /?阶广义循环矩阵c可逆的充要条件是方阵cc心ch确定的矩阵多项式/(x) = c0 + c1x+c2x2+- + c?r_1xw_, =0 无广义单位根.证明収t =(eq&e d d； e、入昭 df1 d"'f-1 7其中q,久2,£>,i如定义3.4所定义 由于d°,d,d2,dy两两不同，则由引理3.1可知t可逆显然<

21、ei 0 0、k它 00、7 =0 £.0 0 忒 0 = £：e,l,k = 0,1,2,.,斤-1,3 °5k 0 0或)其中d罟=e, e为加阶方阵.因此c° + cq + cqd； + + ch_d=、c,t + c()d, + cq； + +=叽“ cn_2 + cn_idi + c°d； + . + czj_3df = d；、,c| +c2d； + c3d； + + i + coqi = df,以上等式通过矩阵可以表示为c< eqed： e、入酩 =< e qed e、入酩 0。000 h000a2 0、00of1 d富

22、d；-' .dn"<000 z因此厂ee e fa000 0 )(ee e qd -d-0a.0 0d°d -d“tc =d：9d： -£ 00a20 吠-昭 卫d；1'1 -d；二00 an-l >、d；t -d；：丿其中炬阵一 1= 0,1,2, / i.j=o因此只要aj = 0丄2,曲-1都不等于0,则冏工0,即矩阵c可逆.即循环矩阵c 可逆的充要条件是方程/(x) = c() + c,x + c2x24-. + c”_x 心=0无广义单位根.可以得到以下推论，推论中的c,a,x,代表的意义与定理3.2中相同.推论33对于广义循

23、环矩阵c,它的行列式为|c| = n|az|,秩/?(c) = fj/?(a.).z=0/=()推论3.4广义循环矩阵c相似于对角分块矩阵dhg(a(),a|,a”)，它的特征值是3.2厂-循环矩阵厂-循环矩阵与厂-循环对称矩阵在应用数学与其它的学科都有很重要的用途，本文将给出简单的性质及证明,同时给出其相应的算法.定义3.5记5() a a2 an-2an-x 'a =a2a3an-s)如 55叫3叫2丿称a为厂循坏对称矩阵，简记为a = scr (a.6zh_2,cm r,其中表示厂-循环对称矩阵的集合.定义36数域k形如矩阵/"0()an-2b =叫-2%3 <

24、5ra25 do丿称矩阵丿为厂-循环矩阵.简记为b二c,(q,q,d2,其中cm,表示厂-循环矩阵的集合记i、g' cr 0,0,1,0,0 , z = 1,2, 1 丿并且约定当心0, g° = e（e为单位阵）.引理3.5设b =（a”一i,。“辺， °，°2，兔），a = sc（a。,陽,a?, ,色一）,j “ = sc（0,0,0,0,1）,则ajh = b, bjn= a.引理3.6矩阵b = c,.（q）,q,d2，,®i）可逆当且仅当（/（兀）,兀 一厂）=1,其小/（x） = a（）+ axx + a2x2 + + an_xxn

25、x,称/（兀）为3的关联多项式.定理3.7设b = cr （a0，马卫2,%），/（兀）=工 4*i=0为b的关联多项式,少,闵，,匕_|为/（兀）=0的全部根（,勺可以相< 1</v j<n若b可逆，则（1 加a-1 久其屮鑫是尸（兀）的最高次项系数.证明由定义3.5知：n-1b = f（g） = j>q,/=0其小 g = c(0丄0,(), 乂ava2,a am 为 f(x)的根，那么f(g) = amy(g-aki)«=1因为3可逆，由引理3.7知道畋不是才二厂的根，所以det(g-qj)ho那么（g-gj尸存在，且(g - akiyx = -c阳,坊

26、 $，畋,1),% 一这样就可以得到:b_=f(g)-i 1%二(-1)an-ln-l-h(g-w)1打"必1,矿2,.,兔,1)器 -厂矩阵b的逆矩阵为所求，证毕.设3 = 0（00,4,02,色_1）,尸（兀）=工67丿为b的关联多项式,0,。2，冷，,是/=0fm的全部根（勺与可以相等，1 0工丿 1）则其屮为的最高次项系数，则由定理3.7可知若知道b = c（do，q,q2，d“_i）”一1的关联多项式f（x）=那么用矩阵乘法得到/=0但是当方程f（x） = 0的次数比较高时它的根就很难求得且次数人于或等于5时，没有一般的求解表达式.而当r = 1 k/i为偶数时町以采取降阶

27、的算法.设可以利用方块变为b二'2，其小冋，仗是ks2 bjn nx阶矩阵且具有下面的性质：2 21）b + b? w cm、, b-b2e cm_x.2）若b可逆,则bl+b2,b-b2也可逆.3）若 b " = h,则 hecmn 即 b h = ihxn.令n n其中耳厲为拓阶矩阵，从而场、j 0、b,&h、丿1 0 enxn)所以jbh+b2h2=ib1h2+b2w1 = 0'因此/72 = -(b, - b2 )-1 52 (b, +)', h, = (+ 52 )' - /72.両述算法均可用计算机代数语言在微机上实现.3.3反循环

28、矩阵在上血讨论的厂循环矩阵屮当r = -l时即为反循环矩阵，下面我们着重对它的对角化问题进行探讨.定义37复数域c上形如%bn-bb2bn_x%sbn_2 b2一仏% 的炬阵称为n阶反循环矩阵.定义38 "阶循环矩阵形如010000010000001-10000t =称为基木反循环朋阵.由上泄义我们可以验证00100、00000-100010-10-00 丿0-10000 00r000000000-1(),n,t2n其中e为力阶单位阵，由以上可知t,t ,t都为阶反循环矩阵.引理3.8斤阶循环矩阵万可以用基本反循环炬阵亍的方幕来线性表出.反过来如果矩 阵斤可以用基本反循环矩阵亍的方幕

29、线性表示，那么b 一定为反循坏矩阵.证明 设阶循环矩阵万形如定义3.6所示，取g （x） =4- bx+b2x2 + + bn_vxnx则b = g（t）.反过来也显然成立.这样斤阶循环短阵万可由一个次数不高于7?-1的多项式唯一确定，称g为b的牛成多项式.引理39基本反循环矩阵可以对角化.证明由于所以<001001000、0t =000 0100 00丿a-10 000a-1 00000 2-1100 0aae-t =丫 + 1从而它在复数域c上有斤个不同的特征值，即n所以基本循环矩阵可以对角化.a, = cok =cos（2r + d；r + jsin（2/： + l）;rk=o,l

30、,2,/_lj2=_l定理3.10反循环矩阵可以対角化.证明由引理3.9可知基木反循环矩阵厂町以对角化，即存在可逆矩阵几 使得厂tv =边（心几心池灯）进而可计算得到 厂厂丿=（厂7v）（厂叩丿）二伽g（v，晋，右，人（）,，厂' 产j =畑（矿,人心,入心，,4_1/,-1） 9 3由上可以知，任何复比阶可逆矩阵丿可使得t,t ,t ,t 的方幕同时对角化.由引 理3.8知n阶循环矩阵用可用亍的方幕线性表示，即取g（兀）=% +牡+ $+仇"心, 则b = g（j）.所以j-'bj = j-'（b（）e + bt + b2t + + b）j= bej +b、

31、j-'tj + + » j-'t j =也蚣（8（入）,g（&）, g（a）,g（&i） 因此反循环矩阵是可以对角化的.定理3.11反循环矩阵必定和循环矩阵相似.证明设e为任一反循环矩阵，万的生成多项式为g（x）, c为一循环矩阵，c的生成 多项式为/（x） = c0 + c.x + c2x2 + +.则由定理3.10可知有一个可逆矩阵丿，使得广可=也昭（如,gougq）,g（qq）,而由矩阵相似关系的传递原理可知，要使万与c相似，只须c与j-lbj相似，所以令2托k/（%） = /（人）,£ = 0,1,2,，-1,叫=2 ” ,所以此方程组的系数组成的矩阵就是r 111 、n £°d£”-1d -., 川一1尸斤一1p1c0c1cn- 7而|g|ho,所以线性矩阵方程组存在的唯一解也_j,此时c = gj-bjgx =(tgyb(tg-故斤与c相似.定理3.12任一 h阶循环矩阵c可对角化的充要条件是c与某一 n阶反循环矩阵相似.证明“阶循环矩阵c可以对