浅谈不等式恒成立问题

1、浅谈不等式恒成立问题中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。在05年高考辽宁、湖北及天津 等省均出现此类题型。本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问 题的方法。法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。中文关键词“不等式”，“恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题屮经常出现加成立问题，这样的题目一般综合性 强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方血的知识。同时，培养学牛分析问题、解决 问题、综合驾驭知识的能力。下而结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。1、用一元二次方

2、程根的判别式d=0z不等式ax2 +bx + c>0对一切x g /? 成立o b = 0或 ,八 a = b2-4ac<0 c>01a = 0<不等式a/ +hx + c <0对任意x g 旦成立o v b = 0或c a = b2-4ac<0 c<01例：若不等式(加一1)兀2+(加_1)兀+ 20的解集是r,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才冇判别式，但二次项系数含冇参数m, 所以要讨论iml是否是0。解：(1)当m-l=0吋，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；(m-1 > 0(2) m-10 时，只需彳,所

3、以，/n e 1,9) oa = (m-1)2 -8(m-l)<0例：若关于%的不等式ax2 +2x + 2>0在/?上恒成立,求实数a的取值范围. 解：当a = 0时,不等式2x + 2>0解集不为/?,故d = 0不满足题意;当。工0时,要使原不等式解集为心只需f2>0，解得。-22-4x2a<02综上，所求实数。的取值范围为(*,+00) 例：不等式a/ +4x + tz >l-2x2对一切x wr恒成立，求实数a的取值范围.解：不等式q，+4x + °1 -2/对一切兀wr怛成立，即(d + 2)+4x + a -10 对一切兀wr恒成立若

4、a + 2 =0,显然不成立若° + 2h0,则卩+ 2>°°>2a<0例1.已知函数y = lgx2 +(a-l)x + a2的定义域为r,求实数。的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式，+一1)兀+ °2o对x g /? |h成立，即有a =(6z-1)2 - 4a2 <0 解得° <一1或0 > - o所以实数。的取值范围为(-8,-1) u (- ,+切o3. (2009 江西卷文)设函数 f(x) = x3-x2+6x-a .(1) 对于任意实数兀，恒成立，求加的最大值；(2) 若方程f(x)

5、= o有且仅有一个实根，求°的取值范围.解析：(1) f(兀)=3兀29兀+ 6 = 3(兀一 1)(兀一2),因为 x g (-oo,+oo),/ (x) > m,即 3兀2 - 9兀 + (6-加)怛成立，所以a = 81-12(6-/n)<0,得m <,即加的最大值为-°44(2)因为当兀vl时，/'(x)>0；当lv兀<2时,/'(x)<0；当兀>2时,f >0；所以当“1时,/(兀)取极大值/(1) = |-；当"2时js)取极小值/(2) = 2-«；故当/(2)>0或/v

6、o时，方程f(x) = 0仅有一个实根解得 a < 2或°仝21变换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。在解含参不等式吋，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问 题能更迅速地得到解决。变更主元(即关于某字母的一次函数)-(已知谁的范围就把谁作为主元);在给出的含有两个变量的不等式小，学生习惯把变量兀看成是主元(未知数)，而把另 一个变量。看成参数，在冇些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为 主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。用一次函数的性质对于一次函数.f (x) = kx + b,天

7、丘m,n有：/(x)> 0恒成立o/(加)> °/(«) > 0,/(%)< 0恒成立o/(加)< 0/< 0例1：若不等式2x-l>m(x2-l)对满足一2<m<2的所有m都成立，求x的取值范围。 解：原不等式化为(x2-l)m-(2x-l)<0it! f(iti)= (x2 1 )m(2x 1)(2<m52)根据题意冇:f(-2) = -2(x2 -l)-(2x-l)<0 f(2) = 2(x2 -l)-(2x 1) <0即：严+23>02x2 -2x-l<0-1+771+73解之

8、：得x的取值范围为<x<2例：对任意1,1,不等式*+(q_4)x + 4 2。>0恒成立，求兀的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把d看成主元，则问题可转化为 一次不等式(兀一 2)a +兀$ 4兀+ 4 > 0在a w -1,1上恒成立的问题。解:令f(a)= (x-2)a +一 4兀+ 4 ,则原问题转化为f(a) > 0恒成立(a e -1,1)。 当x = 2时，可得/)=0,不合题意。当xh2时，应有解z得xvl或兀>3。1/(-1) >0故x的取值范围为(-00,1) u (3,+00)0注：一般地，一次甫数f(x

9、) = /a + b(ko)在血,0上恒有f(x)> 0的充要条件为严)0。1/(0) > 0例1己知对于任意的qgt,1,函数f(x)=ax2-(2a-4)x+3-a>0恒成立，求兀的取值范围.解析 本题按常规思路是分f/=0时/u)是一次函数，ao时是二次函数两种情况讨论， 不容易求x的収值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把q看成常参数，我们可以 通过变量转换，把。看成变量，兀看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求=f 1) > 0解。令 («)=(x2+2x-1)/-4x+3 在 a g 卜1,1时，g(a)>0 恒成立，则，得

10、g(l)>0-3 j13 < x < -3 + v13 .点评对于含有两个参数，且已知一参数的取值范i韦i，可以通过变量转换，构造以该 参数为h变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。例 2、已知函数/(x) = x3 +3ax-l,g(x) = fx)-ax-5 ,其中 f (兀)是/*(兀)的导函数对满足-l<tz<l的一切a的值，都有g(x)<0,求实数兀的取值范围；解：由题意g (x) = 3x2 -ax + 3a-5 ,这一问表面上是一个给出参数a的范围, 解不等式g(x)<0的问题，实际上，把以兀为变量的函数g(x)，改为以a为变量

11、的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令©(d) =(3-兀)° + 3兀$ -5 , (-1 < tz < 1),则对 一1s a w 1,恒有 g(x) < 0 ,即/(a) <0,从而转化为对-<a< , /(a) <0恒成立，乂由0(°)是d的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到为此只需0（1）<0讥一1） < 02 解得<x<l.3故",1时，对满足-i<a<的一切a的值，都有g(x)v0. j 3丿例3、(最值问题与主元变更法的例子)已知定义在

12、尺上的函数f(x) = axy-2ax2 + b (a0)在区间-2,1上的最大值是5,最小值是一11.(i) 求函数/(兀)的解析式;(ii) 若虫一1,1时，广(兀)+处50恒成立，求实数x的取值范围.解：(i ) / /(x) = ax3 - 2ax2 + b, f (x) = 3ax2 -4ax = ax(3x 一 4)4令 f (兀)=0,得西=0,勺=y -2,1因为q0,所以可得下表：x-2,0)0(0,1f'm+07极大因此于(0)必为最大值，f (0)=5因此b = 5 ,/3)=血+5,/(1)=p+5,.j(1)/(2),即/(2) = 16a + 5 = 11,

13、d = l, /(x) = x3-2x2+5.(11) v f r(x) = 3x2 - 4x ,广(x) + fx w 0 等价于3兀2 4x + 饥 < 0,令g(t) = xt + 3x2 -4x ,则问题就是g(r)<0在虫-1,1上恒成立时,求实数兀的取 值范围,为此只需弹严°,即叮m0,g d)<0x2 -x<0解得0<%<1,所以所求实数x的取值范围是0, 1,二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型冇：1) /(x) > a 恒成立 <> a < /(x)min2) f(x)

14、 < a 恒成立o a > /(x)max构造函数求最值题型特征：恒成立<=>/?(%) = f(x)-g(x)> 0恒成立；从而转化为变虽分离法、变换主元法题型例：已知函数f(x) = x3 + 2x2 +兀一4, g(x) = x2 +a兀一7若对任意的xe0,4-oo)都有fx)>g(x),求实数d的取值范围.解：.* f *(x) > g(x)即 3x2 + 4x +1 > x2 +- 7/. ax < 2x2 +4尢+ 8若x = 0,则058恒成立，aerq若 x>0,则 a <2x + + 4 ,xqiq解法一(基

15、木不等式)：xv2% + - + 4>2j2%x- + 4 = 12, ,a<12xv xq解法二(分离变量法)：设g(x) = 2x + + 4,x综上所述：.aw12 例 3.已知/'(兀)=7兀2-28x-d,g(x) = 2x+4/一40兀，当 x g -3,3时，fm < g(x) 恒成立，求实数。的取值范围。解：设 f(兀)=f(x) 一 g(兀)=-2x3 + 3x2 + i2x-c ,则由题可知f<0对任意x 6 -3,3 成立，即尸匕)叭< 0令f'(兀)=6兀2+6兀+ 12 = 0,彳导x = 1或兀=2而f(-l) = -j

16、a,f(2) = 20 a, f(3) = 45 a,f(3) = 9-a9尸(叽=45 a soa >45即实数a的取值范围为45,+8)or" + 2 t d例4函数f(x) =noo),若对任意兀wl,+oo), /(x)>otu成立，求实数d的取值范围。(也可以用分离变量法见后ifii)解：若对任意x e l,+oo), f(x)> 0恒成立，+ 2.x + ci即对xel,+oo), /(%) = -0 恒成立,因为x g 1,4-00),所以只需/ +2x + a>0在xw 1,4-00)时恒成立设 g(x) = x2 +2x-a ,所以g(x)

17、in > 0当"1,+00)吋，gmin(x)二 g(1)二 3 + g0 得 q一3注：本题还可将/(兀)变形为f(x) = x + - + 2，讨论其单调性从而求出/(劝最小值。 x例：已知函数fx) = x ax + bx c在x= y与x=2处都収得极值.(1) 求日，力的值及函数fd)的单调区间；(2) 若对 靑一2, 3,不等式a%)+jc<c2th成立，求q的取值范围.解尸3=3#+2劲+/刀由题意得(-1) =0,(2) =0,32日+方=0,即12+4 日+5=0,3a=,解得 2.方=_&f(x) = x-tx )x+ c, f1(%) =3%

18、3x6.令尸(%)<0,解得一1<只2；令厂(方0,解得只一1或02./u)的减区间为(一1, 2),增区间为(一8, 1) , (2, +8).(2)由(1)知,/u)在(一8, 一1)上单调递增;在(一1, 2)上单调递减；在(2, + 8)上单调递增.若对xw 2, 3,不等式f(x) +-c<cb.成立7qf(1)=+q, f(3) = +c. a2)=-10+c 当/= 1时,fx)取得最大值.要使 f(x) +c<c ,只需 c>f(1) +c,7 即 2c >7 + 5c,解得 q< 1 或 c>.q的取值范围为(一8, 1) uf

19、|, +°°2化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例3：若不等式x2-2mx+2m+l>0对满足05x51的所有实数x都成立，求m的取值范 围。解：设 f(x)=x2-2mx+2m+l木题等价于函数f(x)在05x51上的最小值人于0,求m的取值范围。 当m<0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值， 解得-打0f(0) = 2m + l>02当05m 51时，f(x)在x=m时取得最小值0 < m < 1 w <得0品1f(m)=nr + 2m +1 > 0(3

20、)当m>l时,f(x)在0,1上是减函数,因此f是最小值解s得m>lf(l) = 2>0综合(1)得 m一丄2注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁 琐。此型题冃有时也可转化为后而的法3求解。例3、若xg-2,2时，不等式x1 + ax+ ?)> a恒成立，求d的取值范围。解：设于 d+q + 3_°,则问题转化为当xg-2,2时,/(x)的最小值非负。(1) 当一-<-2 即：q4r寸，/(a：)in.n =/(-2)= 7-3«>0 :.a<-又a4所以 a 不存在;/x2(2) 当一2s纟

21、52 即：一4wdw4 时， f(x . = f - =3-t/->02' 7m,n i 2 丿4:.-6<a<2 乂一4sa 54,-4<a<2(3) 当一彳2 即：a<-4 吋,f(x)m.n=f(2)= 7 + a>0/. a>-7 乂a <-4 :. -7 < a < -4综上所得：-7 < a <2例3已知f(x) = x2 +ax + 3-a ,若牙w-2,2,/(x) > 2恒成立，求a的取值范围.解析 本题可以化归为求函数.心)在闭区间上的最值问题，只要对于任意e-2,2,/(x)ini

22、n>2若xg-2,2,/(x)>2恒 成 立<=> vxg-2,2,/ (x)mino* 2 - 2./«min=/(-2) = 7-3>2-2"4-2-£>2或2 或 2，即d的取值范围为f (x)min = f (-) = 3-a-才 > 2f(x)min =于=7 + a > 2-5-2+2v2.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函 数最值的方法，只要利用/(%) > in怕成立o /min > m ； /w <fn恒成立o /(x)max <加.

23、本 题也可以用零点分布策略求解.若不等式x2-ax 1>0对于一切xe (0,*)成立,则a的取值范围是()a. 0b. -2c. -1d.-3解析：设/ (qx2-ax-1,则对称轴为 x,即a<-l时，则f (x)在0,丄上是减丙数，应有/2 2 2(-)>0-<x<-l2 2若一兰50,即ar时，贝”&)在0,丄上是增函数，应有于(0)=1 >0恒成立，故a>09?20<-<丄，即一lwawo,则应有 f(-)+1=1->0222424恒成立，故一15as0 综上，有一丄9,故选c2例1：设函数y = f(x)在区间d上

24、的导数为fx),广(兀)在区间d上的导数为g(x),若在区间d上，g(x)< 0恒成立，贝ij称函数y = /(%)在区间d上为“凸函数”，已知实数m是常数，/(x) = mx2,6(1)若y = f(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足|m|<2的任何一个实数加，函数/(x)在区间仏b)上都为“凸函数”， 求b-a的最大值.山亠r/ 、 x4 mx2, 3x2 zn 、 x3 mx2 .解:由两数/(x) =得广(兀)二3x126232g(x) = x2 - tnx-3(1) v y = f(x)在区间0,3上为“凸函数”,则:,g(x) = x2 -m

25、x-3<0在区间0,3上恒成立g(0)v0=>gv0解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x) < 0 (这道是小于号上而全 是大于号的)-3<0=> tn >29-3m -3 < 0解法二：分离变量法：t 当 x = 0 时，二 g(x) = x2 - mx - 3 = -3 < 0 恒成立,当 0 <x<3 时,g(x) = x2 -mx-3 < 0 恒成立r2 -33等价于m>- =x-的最大值(0<兀53)恒成立，xx3而h(x) = x (0<x<3)是增函数,则/7mak(x) =

26、 /?(3) = 2/. m > 2当|m| < 2时/(兀)在区间(。上)上都为“凸函数”则等价于当网< 2时g(x) = x2 - /77x - 3 < 0恒成立变更主元法再等价于f(m) = mx-x2+3> 0在网<2li成立(视为关于m的一次函数最值问题)f(-2)>0-2-x2+3>0nlvxvlf(2)>02 兀-/+3>0:.h-a = 23分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) (a<f(x)型恒成立问题,再利用a>fniax(x) (a<fniin(x) 求出参数范用。若所给的不等式

27、能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求 主元函数的最值，进血求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作 性更强。一般地有：1) f(x) > a 恒成立 o g v /(x)min2) /(x)va 恒成立a > /(x)max在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，bp：若a>f(x恒成立，只须求出f(x)，则q > /(x)；若° < f (兀)恒成立，只须求出f(x).,贝ijd </(%).,/max" /max /" /min" /nun转化为函数求最值。例.已

28、知函数/(兀)=兀'+3做一 1的导函数为f (x), g(x) =广(兀)一。兀一3.(1) 若qg'(x) + 60对一切x>2th成立，求实数g的取值范围；(2) 若对满足osas 1的一切。的值，都有g(x)<0,求实数兀的取值范围.解：(1) / f (x) = 3x2 +3(7 二 g(x) = 3兀$+3°-ox-3g (x) = 6x-a即6x2 -ax + 6> 0对一切x>2恒成立学生回答：解法1：即a<6x + -对一切x>2恒成立x记/?(x) = 6x + 在x n 2上恒成立x冇h (x) = 6 在x

29、n 2上恒大于0,h|j/?(x) = 6x + -在兀2上单调递增x"(qnin ="(2) = 15/.a <15可能的陷阱：学生会回答用基本不等式去解决，利用基本不等式解决吋要注意适用的条 件：“一正、二定、三相等、四检验”会发现取不到等号。这样的谋解：/?(x) = 6兀+ ->2j6xx-=12当且仅当6x = -即兀=±1时取等号， x y xx当兀=±1 2,+oo)所以不能取到最小值12,即12不能h(x) = 6x + -在2,+00)上授小值变式1：若2g'(x) + 60对一切xv0恒成立，求实数g的収值范围;解

30、：t / (x) = 3x2 +3q z. g(x) = 3x2 + 3a-ax-3:. g (x) = 6x-a6x2 a兀+ 60 对一切 x<01h成立,变形得ax<6x2+6qx<0 a>6x对一切xvo恒成立(不等式得变号)(基本不等式法)(6兀)+ (-) > 2j(-6x)-(-)=12 当口仅当 x vx-6x = -即兀=一1 时,于 /z(x)max =-12 :,a>-2x误解：利用导数求加兀)的最值行不通，要特别与上式作一个比较qx<0 g>6x + 对一切兀<0恒成立(不等式得变号) x设 g(兀)= 6x+ 则

31、a n g(x)xmaxg'(兀)=6-£有h (兀)=6-在兀<0上恒大于0,xx即/?(x) = 6x + -在x < 0上单调递增,但取不到最大值o变式2：若+ 6>0对一切xer恒成立，求实数q的取值范围;用一元二次方程根的判别式解：. f (x) = 3x2 +3a /. g(x) = 3x2 + 3a-ax-3 g (x) = 6x-a6x2 -ax + 6>0刈一沏xe r'恒成立，二 /4x6x6 <0解得 aw (-12,12)即g(x) = 3/ +3a -处-3对一切0 5 a 51恒成立(3)解法一：参数分离法即g

32、(兀)= 3/+3°-°兀-3对一切owdwl恒成立若x = 3 ,贝i g(x) = 3x2 +3q -ox-3 = 24 v 0 不满足:.xe(/>3-3x23-3r21若x<3,则av对一切owasl恒成立n>l = ovx<上(不用变号)3 x3 x3若兀3,则对一切osgs1恒成立二>l-vo二>3-3"o (用变号) 3 x3 x综上所述：ovxv丄3(学生思考回答，若有错误由学生纠正，在下结论时，也许学生会回答将以上三种情况用 集合并起来，这里要重点指出，应该是用集合交起来)解法二：(变换主元法)可以用改换变量的

33、方法去考虑，这样会更加简便，即把g(x) = 3x2+3a-ax-3看作关于a的一次函数h(a) = (3-x)a+3x2-3 ,这样就得出:仏)vo»1 < x < 11 =>0<x<-0<x<-33例4：已知向量a=(x2,x+l), b=(l-x,t)若函数f(x)=ab在区间(一1, 1)上是增函数,求t的取值范围。解：依题意，f(x)=x2(l -x)+(x+ l)t= 一 x3+x2+tx+t则 f (x)=-3x2+2x+tf(x)在(-1, 1)±是增函数,则f(x)no在xg (-1, 1)上恒成立即 t>3

34、x2-2x 在 xw (-1, 1)上hl成立设 g(x)=3x2-2x 则z > g(%= g(t)=5 /.t>5+ 2 ¥ + d例4.函数f(x) = -，兀wl,+oo),若对任意xel,+oo), f(x)> 0恒成立，求实数。的取值范围。(另一种解法)解：若对任意x g l,+oo) , f(x)> 0恒成立，t 2 4- 9 v 4- /7即对 x g 1.+oo), f(x)=>oth 成立，x考虑到不等式的分母x g 1,+00),只需x2 +2x4-6/ > 0在兀w 1,+00)时恒成立，/. a > -x2 一 2x

35、 在 x w l,+oo)时恒成立设 h(x) = -x2 -2xf q> 力(x)max，m)max = /?(!)=-3 ,所以 a > -3 o例1、已知函数/(x) = lg x + -2 ,若对任意xw2,+8)怛有/(兀)>0,试确定°的 x )取值范围。解：根据题意得：兀+纟2>1在兀w2,+oo)上恒成立，x即：a > -x2 +3x 在 xw2,+oo)上恒成立，( v 9 设/'(兀)=_兀2+3兀，贝ij/* (兀)=_ x+ <2丿4当 x = 2 时，f(x =2 所以 a>2 /max在给出的不等式中，如果

36、通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若f(a)>g(x)恒成立,只须求!llg(x)max，则f (a) > g (x)max f然后解不等 式求出参数0的取值范围；若f(a)<g(x)t§.成立，只须求出g(“)血*，则&(兀)丽' 然后解不等式求出参数d的取值范围，问题还是转化为两数求最值。例2、己知"(-8,1时，不等式l + 2”+(a-/)4“0恒成立，求a的取值范围。 解：令2x=tf vxe(-oo,l .虫(0,2所以原不等式可化为：a2-a<, 要使上式在虫(0,2上恒成立，只须求出/

37、“)= ¥在虫(0,2上的最小值即可。心z + 17一 1<1 1)+ -=一+ t21<1 2丿1421-,4-002叽冷"t送例：已知函数/(%) = x2 + (x 0,(7 /?)若/(x)在区间2,+00)是增函数，求实数d的取值范围。解：广(兀) = 2x-牛，要使/在区间2,+8)是增函数，只需当x>2时, x广(x) n 0恒成立,即2兀- ¥ n 0 ,则6/ < 2x3 16,+00)恒成立,x故当a <16时，/(兀)在区间2,+8)是增函数。例：若/二-*+bln(x + 2)在(-1,+oo)上是减函数，求实数b的取值范围。 解析：题意可知/=-兀+ <0 ,在xg(-1,+oo)上恒成立，即x + 2b < x(x 4- 2)在兀w(-l,+oo)上怛成立,由于兀工一1 9所以b<-教后反思：设计木堂课的出发点有两个：一是要与课题研究相关，体现陷阱导学稿的作用，二是要 与高三现阶段的二轮复习相呼应。参考了这两年的高考样卷与一些模拟卷，大题小经常会出 现恒成立问题，学生对这类问题的解决能力还有待加强。因此，设计了本节课的主线是以三 次函数为研究对彖，经过求导变为二次函数的恒成立问题，再用分离常