航空公司预定票数的最优化探究

1、航空公司预订票数的最优化探究摘要通过查询大量统计资料，曲概率统计知识，对题中飞机容量、飞行费用、 机票价格、每位被挤者的赔偿金、乘客迟到概率等变量进行合理赋值并出计量经 济学知识进行理论分析，以确定最优的预订票数及机票价格为研究对象，建立定 量评价模型，达到航空公司综合利益最大化。因此，所要讨论的问题可以归结为 一个曲线拟合和基于二项分布求最优决策的问题，建立曲线拟合和周期波动两个 模型：分别用來预测机票的未来价格和求机票的预定限额。根据所给的2005年10月2010年3月期间，每月经济舱机票平均价榕（单 位:元）数据，通过matlab软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数 学模型。但

2、在预测屮发现，由模型所得参考价格不合实际。单方面拟合出的模 型并不具有实际价值。之后我们采用趋势外推法屮最小二乘法的周期波动模型来 解题。通过与实际价格的比较，发现具误差较小月置信度较高。所以我们得到的 机票预定价格的数学模型。根据实际悄况，制定合理的预定策略需从经济利益最人化和社会声誉最好两 方面來考虑。社会声誉可以用定了票來登机因飞机满员而不能起飞的乘客不超过 某一给定值來衡量。则这个问题可化为经济利益最大化为单目标來求解。我们假 设每位乘客不按时前来登机的概率为p，是否前来登机是相互独立的，则不按时 前来登机的乘客数服从二项分布。乂因为订票需付一定量的定金，且在飞机起飞 前48小时内取消

3、预订会没收全部订金。对此，我们分情况讨论。由概率分布知 识可得利润s关于预定量限额m的函数。由利润最大化，利用mat lab软件求出m的最优解，通过检验和灵敏度分析, 由模型得出的机票预订限额置信度较高。查阅资料得，此限额较符合实际情况。 最后，根据建立的模型对具进行优化。由实际可能出现的情况如增设某类旅客（学 生、旅游者）的减价票，规定迟到则机票作废。在此基础上再建立一个模型。分 别求此时飞机的参考价格和最优预订票数。关键字：曲线拟合趋势外推二项概率分布周期波动模型问题重述航空公司对机票一般采取预定策略。客户可以通过电话或互联网预定，这 种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预

4、定。航空公司为了 争取最大利润，一方面要争取客户，另一方面要降低因客户取消预定遭受的损失。 为此，航空公司采用一些措施。首先，要求客户提供信用卡号，预付一定数量的 定金。如果客户在飞机起飞前48小时内取消预定，定金将如数退还，否则定金 将被没收。其次，航空公司采用变动价格，根据市场需求情况调整机票价格，一 般来说旺季机票价格比较高，淡季价格略低。（1）建立机票预定价榕的数学模型，并对以下实例作分析。表1给出了某 某航空公司某条航线2005年10月2010年3月期间，每月经济舱机票平均价 格（单位:元），用模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的经济舱机 票的参考价格。收集更多的数据来佐证

5、模型的价值（要求注明出处）。（2）在旺季，航空公司往往可以预定出超过实际座位数的机票数，以减低 客户取消预定时航空公司的损失。但这样做町能会带來新的风险，万一届时有超 出座位数的客户出现，航空公司要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷，为此 航空公司还会承担信誉风险.某条航线就一屮机型，有头等舱20座，经济舱300 座，每天一班航班。为该航线制定合理的预定策略，并论证理由。航空公司订座的特点是：旅客可以在飞机起飞前一百多天里向购票处或航空 公司订票，由于离飞机起飞时间较氏，以及旅客行为的不确定性，往往航空公司 会售出超过实际座位数的票数，即超售。在订座决策中，航空公司面临2种风险: 空座风险和超售

6、风险，以航班客座容量为临界点，如果超售的结果（即实际到达 机场的已预泄座位的旅客人数）少于航班容量，会造成座位剩余，这就是空座风 险；如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从而带来超售风险， 合理的超售可以减少空位损失，但要确定合理的超售数额，却是十分困难的。超售是航空公司收益管理的一项重要内容，这是解决所谓的no show问题， 提高航空公司效益的重要技术手段，同时也有许多理论问题甚至法律问题需要研 究。在实际航运屮，航空公司发现经常发生已购票的乘客没有乘机（叫做no show）,使得一些座位空着虚飞，而一些想旅行的和一些有急事临时到达机场（叫 做co show）的旅客却因购不到

7、票而不能成行，这不仅浪费了航空公司的生产资 源，同时也浪费了社会资源。根据对历史销售和离港数据进行分析，可以预测旅 客的no show率和co show率，然后确定超售率进行机票销售。这样做不但可以 充分利用热线航班的座位，提高航空公司的收益，同时也使得其他想乘机旅行人 员能够成行，可以说是各方都受益的好事。徳国汉莎航空公司在超售方面所做的 工作非常出色，每年能为公司多创造5%的收益。因此对超售的研究一直为航空 公司所莹视。但超售预测不可能十分准确，因此可能发生所谓的db （denied boarding）问题，即实no show率低于co show率时，便发生了已购票并來乘机 的旅客上不了飞

8、机的问题。这常常引起旅客的不满甚至航空公司与旅客的冲突， 航空公司采取补偿db旅客以化解矛盾的做法，但这样的补偿常常是机票价格的 两倍以上。发生db,航空公司的成本迅速上升，这也是航空公司不愿意看到的。 因此超售是一把双刃剑，如何解决好no show率和db这一对矛盾，一直是航空 公司和学术界都十分关心的问题。冃前研究的较多的是机票超售模型是静态的。对于一个航班从开始销售zh 到e机起£时，超售的数量保持不变。这样将完全忽略机票实际销售情况。超售 实际上完全溶于机票销售过程中。在机票销售过程中，航空公司的订座系统一面 接受旅客的订票，一面接受旅客的取消订票或是改签其他航班。显然机票的

9、预定 速度应大大超过取消速率，在飞机起飞前某时刻将达到或接近飞机的容量，此时 航空公司就将面临超售问题。一般來说，航空公司可以控制订票的流量，当已定 机票超过理想的数量时，就不再接受订票的请求。但是由于订票需求的不确定性, 冃前被拒绝的需求未来不再出现，而未来的取消还继续发生，则到飞机起飞时将 产生空座，造成航班收益下降。因此机票的超售是一个动态的决策过程。这一过 程依赖j：当前的销售状态，未来的需求分布，机票取消分布和起飞时的no-show 率2、符号说明与模型假设2. 1符号说明r飞行费用（为常数）rii飞机头等舱容量（为常数）n2飞机经济舱容量（为常数）头等舱机票价格（为常数）g2经济舱

10、机票价格（为常数）头等舱预定票数虽的限额（为常数）经济舱预泄票数量的限额（为常数）p每位乘客没來登机且未在48小时之前取消订票的概率kt头等舱屮定了票没有登机的乘客k2经济舱中定了票没有登机的乘客每位头等舱被挤掉者获得的赔偿金（为常数）b2每位经济舱被挤掉者获得的赔偿金（为常数）s平均利润i机票订金占机票价格的比重x月份，初始值为x=l,2. 2模型假设1、各位乘客是否按时前來登机是相互独立的（这适用于单独行动的商人、游客）。2、每趟飞机预定票数量都大于飞机的实际座位数。3、飞行费用与乘客人数无关，为一个固定的常数。4、头等舱与经济舱顾客未按时取消订票的概率相等5、文屮所设数据均合理；6、登机

11、乘客屮学生、旅游者及普通乘客的比例与预定机票时其和应比例相同。3. 模型建立与求解4.1模型一：线性回归模型4. 1.1步骤一：数据处理某航空公司某条航线2005年10月2010年3月经济舱月平均价格（单位: 元）如图一。由所给数据，用mat lab软件来拟合函数，再根据两数來预测经济舱 机票的参考价格。记2005年10月份为x二1,则05年11月份为x=2,以此类推。 即：2005年10月为第一个月份,如:x二10,则表示06年7月。时间价格时间价格时间价格2005. 106562007. 048022008. 1010682005. 115262007. 058782008. 119962

12、005. 125022007. 067942008. 128042006. 014822007. 079262009. 017942006. 024982007. 0810182009. 028322006. 036322007. 099482009. 039022006. 046882007. 1010162009. 049722006. 057202007. 119162009. 0510142006. 066402007. 128242009. 069162006. 076882008.017382009. 079862006. 087682008. 028062009. 0811242

13、006. 097362008. 038722009. 099482006. 108022008. 048942009. 1010562006. 11726200& 059662009. 118722006. 126722008. 068782009. 127962007. 017322008. 0710282010. 018842007. 026622008. 0811002010. 028082007. 037802008. 099782010. 03856表1经济舱月平均价格（单位:元）步骤二：对数据进行拟合：由matlab软件对上述数据进行iii【线拟合，拟合后的数据分布及拟合|

14、川线如下 图2所示，【计算过程及计算结果见附录1】图1经济舱机票价格拟合图由matlab软件求解得经济舱月平均价格函数如下：f(x)=al*exp(-(x-bl)/cl) 2)+a2*exp(-(xb2)/c2厂2) +a3*exp(-(x-b3)/c3 )2)+a4*exp(-(xb4)/c4) 2)+a5*exp(-(xb5)/c5厂2)+a6*exp (-(x-b6)/c6 厂2)该函数置信度为：95%。说明该函数能较好地反应经济舱价格随时间的变化。步骤三：由函数对未来价格的预测根据模型，由mat lab软件求得未来一年经济舱机票参考价格如下表所示：时间价格2010. 047162010

15、. 056142010. 064802010. 073072010. 08852010. 09-1982010. 102010. 112010. 122011.01表2经济舱机票价格预测图由上表格可得预测的机票价格从2010年9月起变成了负数，显然与实际不符 合，所以该模型并不能帮助我们解决实际问题。4.2模型二：周期波动模型4. 2.1周期波动模型理论基础季节型时间数列以fl历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往人于 一年，且不稳定。尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线为 基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。正弦曲线预测模型的一般形式为：ayv =xq + xt + x

16、2 cos(2 /t) + 兀3 sin(2>rr /t) + x4tcos(2兀t it) + x5tsin(2刃 /t)式中，x0截距，是周期模型对实际数据起始点的调整x/周期性时间数列所包含的线性趋势x2cos(2r/r)和x3sin(2/t)波动周期t对预测价格的周期性彫响；xjcos(2兀t /t)和x5rsin(2r/t)对全期数据波动幅度的调整。分别设：cos(2tz7/t)、sin(2/t) > rcos(2z/t) > rsin(2r/t)为 x?、x3 > x4 >x5,并以4取代f,原方程模型变为：丫二心+兀+兀2(2 +兀3心+ “ g +

17、兀5 4根据最小二乘法原理，可构造方程组：ey = n 0用|+兀2工2 + 工右+兀4+ x5工(“ =xq 工 + x| 为+ %2 工+ 兀3 工，13 + “4 工+ 兀5 工z2y =兀0工2 +兀】+兀2为+兀3工也 +兀4+兀5工孕5zr3y =心工心+兀1工只3 +兀2+兀3工* +兀工心心+ “工卬5= x0r4 +x1 工只4 + x2+ x3 工孕4 + x4+ 兀5 工冲5"刿=兀0 口5 +兀1工爪+兀2 口2(5 +兀3工坤5 +兀4+兀5只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后，求解六元一次方程组，得 兀()上，代入预测方程即可开始预测。4.2.2数据计

18、算：数据见表1,用matlab软件按上述计算公式求出此问题中模型的系数，【具 体程序及算法见附录2】。由上述计算公式和计算结果，可得解的系数如下：x0：=638. 3877, x1：=7. 2690, x2:=49. 9355, x3:=-58. 0239, x4=0. 9934, x5:=-0. 4632则未来一年内的经济舱机票的参考价格可按如下模型计算：兀0638.3877 + 7.2690x + 49.9355 * cos（肓）-58.0239 sin（+ 0.9938 * cos()0.4632% * sin()6 6用此模型我们得岀的模型曲线如下(黑点为实际票价走势，曲线为通过计 算

19、得到的模型曲线)图2周期波动模型曲线4. 2.3用mat lab软件根据模型给出未来一年内的经济舱机票的参考价格时间价格2010. 049892010. 0510652010. 0611372010.0711872010. 0812042010. 0911842010. 1011342010. 1110692010. 1210092011.019702011. 029682011.031002表3经济舱机票价格预测值4.3模型比较与结果分析4. 3.1比较方法二与方法一，显然用方法一所求的模型十分繁杂，具体计算时又 非常得不方便。而方法二所求的的模型简洁明了，便于计算，且置信度较高。所 以舍弃

20、方法一所求模型。综上所述：机票预定价格的数学模型为：638.3877 + 7.2690% + 49.9355 * cos()-58.0239 sin()6 63t qtx+ 0.9938 * cos() 0.4632兀 * sin()6 64. 3. 2结果分析:开展预定票业务时，对于一次航班，若公司限制预定票的数量恰好等于飞机 的容量，那么由于总会有一些定了机票的乘客很可能由于各种原因取消预定不按 时前來登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。所以，航空公司往 往会预定出超过实际座位数的机票数，以减低客户取消预定时航空公司的损失。 然而，这样做也存在着潜在的风险：当持票前来的乘客超过

21、飞机容量时，必然会 引起那些不能飞走的乘客（本文简称被挤掉者）的抱怨，公司不管如何补救，也 会导致声誉受损和一定的经济损失（如客源减少，付给一定的赔偿金等）。所以, 航空公司必须综合考虑经济利益和社会声誉，确定预定票数量的最佳限额。（1）公司的经济利益可以用平均利润s来衡量，每次航班的利润s为机票收 入扣除飞行费用和可能发生的赔偿金再加上一部分乘客因为没有在48小时z前 取消订票而交上的订金。设：头等舱中预定出了hi】张票，总机起e时，有&位没有按时前来登机。经济 舱中预定ll!tm2张票，飞机起飞时，有k2位没有按时前来登机，且每位客户在48 小时z前便取消预订的概率为p,于是在48

22、小时z内没有取消预订的概率p =-p,已知预交的订金占机票价格的1。头等舱:(加i_q)gi+qp jg叫gi_(® 一叫一kj®+kip lg经济舱:(m2-k2)g2+k2p 2lgn2g2 一(m2 一n2 一k2)b2 + k2p-k2< n2) (加2 一 > n2)总利润:s (m)=sj+s2-r由假设1,不按时登机且未来在48小时z前退票的乘客数k符从二项分布，于是概率:p = p(k = k.) = c； pkiqnki (q = l-p)平均利润s (即s的期望)为/w| -1加|5(m) = z wig】("心仇 + £

23、 (g-kj&pkb =0k=“】加2一“2一1,n2+ x 玄2_(加2_咫_2沟几+ x (m2-k2)slpk&2=0«2=以2-刃 2+ (kg+k2g2)pl-r化简(3)式，并注意到乞hpk=gp, (1=1,2)可得对=0加?1| 1so) = g“|g (g+勺)工(“ 一心一®)几” 2 _+?2 加 2&2一仗2+2)s (加2 - 心 一2)久+伙為+心&2)刃一厂当”gid，p给定后可以求得"使得s(m)最大。(2)公司从社会声誉考虑，应该要求被挤掉的乘客尽量少。而由于被挤掉者的 数量是随机的，可以用被挤掉的

24、乘客数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤 掉的乘客数超过j人的概率为p円),因为被挤掉的乘客数超过j,等价于m 位预定票的乘客中不按时前来登机的不超过m-n-j-l人，所以：pw)= e pkk=0对于给定的n, j,显然当m=n+j时不会有被挤掉的乘客，即# .0)二0。而当m变大时什(加)单调增加。综上，s(m)和pj(m)虽然是这个优化问题的两个h标，但是可以将p (m)不超 过某给定值作为约束条件，以s(m)为单冃标函数来求解。4、模型求解模型无法解析地求解，我们设定儿组数据，用mat lab软件作数值计算，结 果如下，我们查阅资料，得知下列数据比较符合实际情况。设: 25,

25、4; = 330; n = 20, n2 = 300; g = 1500,g2 = 1000; 勺=3000,2000;厂=10万元， 1 = p = 0.1;求得最大利润为20. 12万元。当ma = 30, m2 350 时求得最大利润为21.52万元。由于实际屮有诸多因索不确定，可对超售票数造成彫响（如天气状况对起飞 成本的影响，旺季时票价产生不正常波动）所以通过分析和检验，用matlab软件计算得知，当“在区间（21,35）内，淹区间（31& 366）内变化时，都可能求得最大利润。5、模型的优化对机票预定限额模型的优化：考虑到不同客源的实际需求，如商业界、文艺界人士喜欢这种无约

26、束条件的 预订票业务，他们宁愿接受更高的票价，而不按时询来登机的可能性较人；游客 与按时上下班的雇员，会愿意以不按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额 的票价。所以，航空公司为了降低风险，可以把上述第2类乘客作为基本客源， 对他们降低票价，但购票时即付款，不能按时前来登机即机票作废。设预订票数量ni屮有t张是专门预售给第二类乘客的，其折扣票价为 0&（0<1）,（因为第二类乘客身份的特殊性，所以只考虑他们购买经济舱的情 况）当m-t位第1类乘客屮有k位不按时前來登机时每次航班的利润s为（只对 于经济舱）0g（0vl）+（© - gy - （"一 / 一

27、74;）肉k位乘幺不按时前來登机的概率为q = -p平均利润s为mg】+ （加一心一 ggi +si - f】）gi -（加1 一 蚣 一 ©）勺以 知=0要-（+工耐0£|+（加1一心一厶）匕几一广k=加_%耳一勺一= g“gi_r_（g+bj £ （叫 一& 一njpr -q-0-p）t&ftj=l正常票价&,折扣票价0g|,利润调节因子2 （2<1,且机票按照g|二来定价，如2二60%就表示飞机60%的满员率就不亏木）与飞行费用r间的关系为2“0gi+(® - ggj =广于是，单位费用获得的平均利润为_q)几_1/k

28、| /i）1q“一（1一0_0比一（1+b/gi）工（"一何k、=0约束条件一被挤掉的乘客数超过j人地概率匕（肋不变取0二075, t二50, 100, 150,其它结果同上，计算结果表明,当t增加时j（m）, 和匕（加）均有所减少。6、模型的评价与改进优点：通过图形就可以看出其价格的走势与实际相似度很高。运用最小二乘 法构造方程组解相关系数，并全面考虑截距、波动周期、波动幅度是使其精确度 较高的主要原因。运用该模型可以在实际中较为准确地估计未來机票的价格。缺点：不难发现每个周期过后，价格都略有增长，但实际中价格不可能永远 增长下去。而且该模型无法估计非正常的数据，比如在旺季机票的价

29、格可能比平 常会高出好儿倍，在这种情况下就很难做出准确的预测。在随时间的增氏中，误 差也会越来越大。所以在预测时可以不去考虑比较早时期的信息，只考虑耍预测 时间就近的30组数据这样会提髙预测的准确度。对机票预定量限额模型的评价与推广评价：模型中把头等舱与经济舱的情况都做了考虑，而且是在不同的情况下 做的，在基本合理的假设下对一个两冃标的问题做了简化处理，即使这样，得到 的模型也无法解析地求解，幸而，数值计算的结果以满足我们对问题进行分析的 要求o推广：与航空公司的预定票策略相似的事件在日常商务活动屮并不少见，旅 馆、汽车岀租公司等为争夺顾客也可以如此处理。7、参考文献1赵静，但 琦， 数学建模

30、与数学实验（第2版），高等教育出版社，2004 【2】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2005 【3】陈怀琛，吴大正，高西全，matlab及在电子信息课程中的应用（第2版）, 电子工业出版社，2003【4】鞠彦兵 冯允成 王爱华，航空客运超售风险研究，北京航空航天大学学 报，第25卷第5期：第1页2002年10月【5】张志涌等，精通matlab 6. 5版，北京:北京航空航天大学出版社,2007【6】孙祥，徐流美等,matlab7.0基础教程，北京:清华大学出版社,2005【7】张尧庭，方开泰，多元统计分析引论，北京：科技出版社，1982【8】张尧庭，定性资料的统计分

31、析，南宁：广西师范大学出版社，19918、附录附录一x二1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, & 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 1& 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 2& 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 3& 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 4& 49, 50,51,52,53,54y二656, 526, 502, 482, 49& 632, 68& 720, 640, 68&

32、amp; 76& 736, 802, 726, 672, 732, 66 2, 780, 802, 87& 794, 926, 1018, 94& 1016, 916, 824, 73& 806, 872, 894, 966, 87& 1 028, 1100, 978, 1068, 996, 804, 794, 832, 902, 972, 1014, 916, 986, 1124, 948, 1056, 872, 796, 884, 808, 856xl=xx2二cos (pi.*x/6) x3=sin(pi *x/6) x4=x. * cos (pi

33、. *x/6) x5=x. * sin (pi. *x/6)a二54, sum(xl), sum(x2), sum(x3), sum(x4), sum(x5) ; sum(xl), sum(xl. *xl), sum (xl. *x2), sum(xl> *x3), sum (xl. *x4), sum(xl. *x5) ; sum(x2), sum(xl. *x2), sum( x2. *x2), sum(x2. *x3), sum(x2. *x4), sum(x2. *x5) ; sum(x3), sum(xl. *x3), sum(x 2. *x3), sum(x3. *x3),

34、sum(x3. *x4), sum(x3. *x5) ; sum(x4), sum(xl. *x4), sum(x2 *x4), sum (x3- *x4), sum (x4< *x4), sum (x4. *x5) ; sum (x5), sum(xl. *x5), sum(x2. *x5), sum (x3. *x5), sum (x4. *x5), sum (x5. *x5)b二sum(y) ;sum(xl. *y) ;sum(x2. *y) ;sum(x3. *y) ;sum(x4. *y) ;sum(x5 *y)x 二 aba 二1. 0e+004 *0. 00540. 1485-0.00010. 0004-0. 00340.01010. 14855. 3955-0. 00340.0101-0. 18610. 5413-0. 0001-0. 00340. 0027-0.00000.0756-0. 00230. 00040.0101-0. 00000. 0027-0.00230. 0729-0.0034-0. 18610. 0756-0.00232.7761-0. 12630. 01010.5413-0. 00230. 0729-0.1263