西安交通大学高等数学(上)小抄

1、高等数学（上）学习指南一、选择题1函数的反函数是【 】A. B. C. D. 参考答案：B对等式两边做e的指数，得到，变换一下因变量和自变量得到：。即：2极限【 】A. 1 B. 0 C. D. 参考答案：A由题目知通项有如下的形式：3若，则【 】A. 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案：D4当时，【 】A. 极限不存在 B. 是无穷大量 C. 是无穷小量 D. 是未定式 参考答案：B当趋向于1时，分母趋向于0，任意常数除以0都是无穷大量。所以原式是一个无穷大量。5设函数， 那么函数的所有间断点是【 】A. 0 B. 1和2 C. D.和3参考答案：B，当或者2时，分式的分母等于零，方程

2、没有意义。所以方程有两个间断点，是1和2.6设，则【 】A. B. C. D. 0参考答案：C由题目知的一阶导数有如下的形式：将带入上面的式子，可见含有的项都将为零。所以仅保留一项：7下列函数中在给定区间上满足罗尔中值定理的是【 】A. B. C. D. 参考答案：A由罗尔中值定理知道：如果函数在闭区间a ,b上连续，在开区间(a ,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即，那么在(a ,b)内至少有一点，使得函数在该点的导数等于零：。8函数的极小值点为【 】A. 0 B. C. 1 D. 不存在参考答案：B函数的绝对值是大于等于0的，如果能取到0，则取到了整个函数的极小值。所以在时为0，所以

3、函数在时取到极小值点。9【 】A. B. C. D. 参考答案B令，则原式=10设，则【 】A. B. C. D. 参考答案：D设有定积分 则，所以：11设函数，它的定义域是【 】A B C D参考答案：C12设，那么=【 】A0 B-2 C D参考答案：A13开区间是【 】A3的邻区 B以2为中心，1为半径的邻区C1的邻区 D以2为中心，1.5为半径的邻区参考答案：B14函数的反函数是=【 】A B C D参考答案：B15函数是【 】A 奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D奇偶性由取值情况决定 参考答案：A16设数列满足：对任意的，则=【 】A1 B2 C D. 参考答案：A17极限=【 】

4、A0 B C3 D参考答案：A18若，则=【 】A1 B2 C3 D4参考答案：D19设函数，那么=【 】A1 B2 C3 D4参考答案：B20下列各函数极限存在的是【 】A B C D. 参考答案：A21若=4，则=【 】A4 B8 C2 D6参考答案：B22为使函数在处连续，应取=【 】A2 B1 C0 D-1参考答案：A23设在处连续，则=【 】A1 B0 C-1 D参考答案：A24设函数，函数在处连续，则，分别为【 】A1，1 B1，-1 C-1，1 D0，0参考答案：B25函数的间断点为=【 】A-1 B2 C-2 D1参考答案：D26函数的连续区间是【 】A BC D参考答案：B2

5、7设，则=【 】A B. C. D0参考答案：C28若，则=【 】A B C D参考答案：D29曲线在点处的切线斜率是【 】A B C2 D参考答案：A30若，则=【 】A B C D参考答案：B31设，其中，为常量，则=【 】A B C D参考答案：B32设，则=【 】A42 B C D48参考答案：D33设，则=【 】A B C D参考答案：D34设，则=【 】A0 B1 C D参考答案：A35若，则=【 】A1 B C2 D参考答案：C36若，则=【 】A1 B C5 D参考答案：C37设由方程确定，则=【 】A B C D参考答案：B38设由方程确定，则=【 】A B C D参考答案：

6、D39曲线上相应于点处的切线斜率是【 】A0 B1 C-1 D2参考答案：B40若由方程确定，则=【 】A B C D参考答案：C41设，则=【 】A B C D参考答案：B42如果函数在上满足罗尔定理全部条件，则至少存在一点，使得，其中满足【 】A B C D参考答案：B43函数，满足拉格朗日中值定理条件的区间是【 】A B C D参考答案：A44设函数，则方程有【 】A一个实根 B二个实根 C三个实根 D无实根参考答案：B45下列函数中，在闭区间上满足罗尔定理条件的是【 】A B C D参考答案：B46对于函数，满足罗尔定理全部条件 的去区间是【 】A B C D参考答案：D47对于函数，

7、下列结论正确的是【 】A是极大值点 B是极小值点C不是曲线的拐点 D是曲线的拐点参考答案：D48.函数的极小值点为【 】A0 B-1 C1 D不存在参考答案：A49函数的极小值点为【 】A0 B1 C2 D3参考答案：B50函数可能存在极值的点是【 】A B C D不存在参考答案：B51为使函数在区间内单调增加，则，应满足【 】A且 B且是任意实数C且 D且是任意实数参考答案：B52=【 】A B C D参考答案：D53函数的一个原函数是【 】A B C D参考答案：B54=【 】A B C D参考答案：A55=【 】A B C D参考答案：B56=【 】A B C D参考答案：B57用分步积

8、分法可将化为【 】A BC D参考答案：A58不定积分=【 】A B C D参考答案：A59不定积分=【 】A BC D参考答案：A60设，为常数，则不定积分=【 】A BC D参考答案：A二、填空题1 参考答案：0因为 而且 ，所以 2 参考答案：0因为 有界，所以 3 参考答案：令，原式等价于 令,则原式等价于 因为 所以 4 参考答案：5，则 参考答案：6设，则 参考答案：对关于求一阶导有：所以，7 参考答案：原式分子，分母在x趋向于0时分别趋向于0。根据罗必达法则，对原式分子，分母关于x求一阶导数。又因为，所以，原式=8函数在区间上是单调 参考答案：单调递增函数y的导数 其中，所以，函

9、数在该区间是个单调递增函数。9 参考答案：由积分公式按步直接计算积分10 参考答案：11= 参考答案：012= 参考答案：113= 参考答案：14= 参考答案：015= 参考答案：116= 参考答案：2717= 参考答案：118= 参考答案：19= 参考答案：120= 参考答案：21= 参考答案：022= 参考答案：23= 参考答案：24= 参考答案：25= 参考答案：26= 参考答案：027设，则= 参考答案：28设，则= 参考答案：29设，则= 参考答案：30设，则= 参考答案：31设，则= 参考答案：32= 参考答案：33= 参考答案：034= 参考答案：35= 参考答案：36= 参考答

10、案：37设，则= 参考答案：38设，则= 参考答案：39设，则= 参考答案：40设，则= 参考答案：41设，则= 参考答案：42= 参考答案：43设为常数，= 参考答案：44= 参考答案：045= 参考答案：046= 参考答案：47曲线的向上凸区间是 参考答案：48曲线有几个拐点 参考答案：1个49的渐进线方程是 参考答案：，50的渐进线方程是 参考答案：51曲线在内的拐点是 参考答案：52= 参考答案：53= 参考答案：54= 参考答案：55= 参考答案：56= 参考答案：57= 参考答案：58= 参考答案：59= 参考答案：60 参考答案：三、解答题1已知成本函数的导数等于，并且产量时成本

11、，试求成本函数。参考答案：成本函数：2已知某产品的成本边际函数为，且产量时成本，试求此成本函数。（10分）参考答案：成本函数：3如果生产某种产品单位的总成本（单位：万元）的边际成本为，并且已知固定成本为100（单位：万元），求总成本函数和平均成本函数。参考答案：总成本函数：平均成本函数：4已知某产品产量的变化率是时间的函数，已知，求此产品时的产量函数。参考答案：5设某商品需求量是价格的函数，该商品的最大需求量为1000（即时，）。已知需求量的变化率（边际需求）为，求需求量与价格的函数关系。参考答案：6已知某产品年销售率为，求该产品前5年的总销售量。参考答案：7已知某产品的边际收益函数为，其中为

12、销售量，为总收益，求该产品的总收益函数。（10分）参考答案：8已知某产品的边际成本和边际收益函数分别为， ，且固定成本为100，其中为销售量，为总成本，为总收益，求最大利润。参考答案：9某产品生产个单位时总收入的变化率为。（1）求生产了50个单位时的总收入；（5分）（2）若已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收入。参考答案：（1）生产了50个单位时的总收入为9950。（2）再生产100个单位时的总收入为19600。10某产品的总成本（万元）的变化率（边际成本），总收入（万元）的变化率（边际收入）为生产量的函数。（1）求生产量等于多少时，总利润最大？（5分）（2）在利润最大的生产量

13、上又生产100台，总利润减少了多少？参考答案：（1）生产量400台时，总利润最大（2）总利润减少了5000元。11证明：方程在1与2之间至少存在一个实根。参考答案：应用零点定理，因为连续奇函数在端点1处的值为-1，在端点2处的值为27。端点值符号相异，必然在区间1，2上存在零点值。12证明：恒等式 ，。参考答案：设，则在-1，1上连续，在（-1，1）上可导，且。故，=常数=即：13证明：不等式 。参考答案：设，则f(x)在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，存在，使，即：所以，即。14证明：双曲线上任一点处切线与两坐标轴构成三角形面积都等于。参考答案：由得，切线斜率。设为曲线上任一点，则过该点的切线方程为：令y=0，并注意，解得，为切线在x轴上的截距。令x=0，并注意，解得，为切线在y轴上的截