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1、构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函 数、导数、不等式综合中的一个难点, 也是近几年高考的 热点。2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的 证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而 如何根据不等式的 结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法:一、移项法构造函数【例1】已知函数f (x)ln(x 1) x,求证:当x1 时,恒有 1 , in(x 1) xx 1第10页共8页于是函数f (x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)1 时,f(x) f(0) 0,即
2、 1n(x 1)x0 1n( x 1) x(右面得证)现证左面,令g(x) 1n(x 1) x 1则 g (x)1(x 1)2x(x 1)2当 x ( 1,0)日!g(x) 0;当x (0,)时,g(x) 0分析:本题是双边不等式,其右 边直接从已知函数证明,左边构造函数g(x) 1mx 1)1,从其导数入手即可证明x 1【解】f (x),1 上x 1 x 1:当1x 0时,f (x) 0,即f(x)在x ( 1,0)上为增函数当x 0时,f (x) 0,即f(x)在x (0,)上为减函数(0,即g(x)在x (1,0)上为减函数,在x(0,)上为增函数,故函数g(x)在(1,)上的最小值为g
3、(x)ming(0) 0,1n(x 1)【警示启迪】如果证不等式,g(x) g(0) 0,即 1n(x1)x1r 1,综上可知,当x1时,有x 1x 11 1n(x1) xf (a)是函数f (x)在区间上的最大(小) 值 只要求函 数的最大值不超过0就可得证.则有f(x)f(a)(或 f(x) f(a),那么要2、作差法构造函数证明【例2】已知函数f(x) 1x2 1nx.求证:在区间(1,)上,2函数f (x)的图象在函数g(x) 2 x3的图象的下方;分析:函数f (x)的图象在函数g(x)的图象的下方 不等式f (x)g(x)问题,即1x221nx 2 x3 ,只需证明在区间(1,3)
4、上,恒有二x221n x2x3 成立,设 F (x) g(x) f (x), 3x (1,、,一一 1),考虑到F(1) 1 0故函数f(x)的单调递增区间为(1,0),单调递减区间要证不等式转化变为:当x 1时,F(x) F(1),这只要证明:g(x)在区间(1,)是增函数即可【解】设 F(x) g(x) f(x),即 f(x) 2x3 lx2 mx, J 3221 (x 1)(2x2 x 1)F (x) 2x x -=-xx2当 x 1 时,F (x) = (x 1)(2x x 1) x从而F(x)在(1,)上为增函数,:F(x) F(1) 1 06当 x 1 时 g(x) f (x) 0
5、,即 f (x) g(x),2 3的图象的下方。x3故在区间(1)上,函数f(x)的图象在函数一g(x)【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利用导数判断 所设函数的单调性,再根据函 数单调性的定义,证明要证的不等式。读者也可以设F(x)f (x) g(x)做一做,深刻体会其中的思想方法。3、换元法构造函数证明【例3】 证明:对任意的正整 数n,不等式ln(1 1) X J_都成立. n n n分析:从所证结构出发,只需令2 x ,则问题转化为:当x 0时,恒有ln(x 1) x2 x3成立,现构造函 n数h(x) x3 x2 ln(x
6、1),求导即可达到证明。32【解】令 h(x) x3 x2ln(x 1),则 h(x) 3x2 2x 3x一(上一在 x (0,)上恒正,x 1 x 1所以函数h(x)在(0,)上单调递增,x (0,)时,恒有h(x) h(0) 0,即 x3 x2 ln( x 1) 0, ln(x 1) x2 x3对任意正整数n,取x - (0,),则有ln(1 1) ! nn nn【警示启迪】我们知道,当F(x)在a,b上单调递增,则x a时,有F(x) F(a).如果f (a) = (a),要证明当x a时,f (x)(x),那么,只要令F(x) = f (x)(x),就可以利用F (x)的单调增性来推导
7、.也就是说,在F(x)可导的前提下,只要证明F'(x) o即可.4、从条件特征入手 构造函数证明【例4】若函数y= f (x)在R上可导且满足不等式x f (x)>- f(x)恒成立,且常 数a, b满足a>b,求证:.a f (a) >b f (b)【解】由已知x f (x) + f (x) >0 :构造函数 F(x) xf(x),(则F (x) x f (x) + f (x) >0 ,从而F(x)在R上为增函数。a b F (a) F (b)即 a f (a) >b f (b)【警示 启迪】由条件移项后xf (x) f(x),容易想到是一个积的导
8、数,从而可以构造函数F(x) xf(x),求导即可 完成证明。若题目中的条件改为xf (x) f(x),则移项后xf (x) f (x),要想到是一个商的导数的分子, 平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例.(全国)已知函数 f (x) ln(1 x) x, g(x) xln x求函数f(x)的最大值;a b设0 a b,证明:0 g(a) g(b) 2g(-) (b a)ln2.分析:对于(II)绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在 对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所 证不等式间的联系,想一想大小 关系又与函数的单调性密切相关,由此就可 过渡到根据所要 证的不等式构造
9、恰当的函数, 利用导数研究函数的单调性,借助单调性比较函数值的大小,以期 达到证明不等式的目的.证明如下: . .一、 ' , 、 . 证明:对 g(x) xln x 求导,则 g (x) ln x 1.在g(a) g(b) 2g(ab)中以b为主变元构造函数,2设 F(x) g(a) g(x) 2g(a;),则 F'(x) g'(x) 2g(-a-x)' ln x In-ax.222当0 x a时,F (x) 0,因此F(x)在(0,a)内为减函数.当x a时, F (x)0,因此F(x)在(a,)上为增函数.从而当x a时, F(x)有极小值F (a).a
10、b 因为 F(a)0,b a, 所以 F(b)0, 即 g(a) g(b) 2g(") 0.2又设 G(x) F(x) (x a)ln2.则 G'(x) ln x ln ln2 ln x ln(a x).2当x 0时, G (x)0.因此G(x)在(0,)上为减函数.因为 G(a) 0, b a,所以 G(b) 0,即 g(a) g(b) 2g(ab) (b a) ln 2 .26、构造二阶导数函数证明导数的单调性例.已知函数f (x) aex x22若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若 a=1, 求证:x > 0 时 ,f(x)>1+x解:(1)f
11、 (x) = aex x , f (x)在R上 为增函数,f'(x)>0对x C R恒成立,即a>xe - X对xC R恒成立记 g (x) = xc -x,则 g'(x)=e-X xe -x =(1-x)e -x ,当 x>l 时,g' (x)VO,当 xVl 时,g' (x)>0.知g (x)在(-8,1)上为增函数,在(1,+ 00)上为减函数,1. g(x)在 x=1 时,取得最大值,即 g(x)max=g(1)=1/e,1. a >1/e,即a的取值范围是1/e, +8)(2)记 F(X)=f(x) (1+x) = ex
12、x2 1 x(x 0) 2则 F (x)=e x-1-x,令 h(x)= F (x)=e x-1-x,则 h (x)=e x-1当 x>0 时,h '(x)>0,h(x)在(0,+ 8)上为增函数,又 h(x)在 x=0 处连续,h(x)>h(0)=0即F'(x)>0 , .-.F(x)在(0,+ 8)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,F(x)>F(0)=0,即 f(x)>1+x .小结:当函数取最大(或最小) 值时不等式都成立,可得 该不等式恒成立,从而把不等式的恒成立 问题 可转化为求函数最值问题.不等式恒成立 问题,一般都 会涉及到
13、求 参数范围,往往把 变量分离后可以 转 化为m f(x)(或m f(x)恒成立,于是 m大于f(x)的最大值(或m小于f(x)的最小值),从而把不等式恒成立 问题转化为求函数的最值问题.因此,利用 导数求函数最值是解决不等式恒成立 问题的一 种重要方法.7.对数法构造函数(选用于哥指数函数不等式)1 11 x例:证明当x 0时,(1 x) x e 2证明 对不等式两边取对数得(I +-)ln< I +K)<1"fc尚为 2(1+ x)设摊助函数(x)4- -2(1 + x )ln( 1(、三 0)fXx) =2X - 2后(1又 r(x) >0 (x >0)
14、由定理2知+ *)上严格单调懵加,从而(x >0)又由f(外在©+")上连续,且r(G >o将f在0*)上产格单调增加,所以f >(0)0 (cQ),即2, * / -2( I +T)ln( I + Ji) >0+2x +kz >2( I +1)Ifi(1 +i) .故(I + W* 晨户+ (1>O)8.构造形似函数例:证明当b a e,证明ab ba分析 此题目具有寨指函数形式,对不等式两边分别取对数得bha>ahb,整理为在此基 s V础上快JT形似”构造辅助函数,再根据函数的单调性证明之.证明 不等式两边取对数褊乂110:&
15、gt;3】册,可化为上2、;1仆一 a b令f(D二Llnx£H然f(x)在(E, + 8 )内连续并可导I iXf ( x) - -rinx +1 L = -y( 1 - Inx) <0 (st ”) 工 鹘 铲由定理得“)在(八* * )内为严格单网递减一由 ba>e 得 f(.)>f(b),所以上 Ina > -bib t bl na > 疝 ib» a D故八b,例:已知m、n都是正整数,且1 m n,证明:(1 m)n (1 n)m证明;原不带式姆价于出土& A皿±2.令fff,/_ _ 、 In( I +f rj.
16、tX. 上一(1,加(1 + Z a - -t kl(l 4-A)人口 一 1门口工 E 一 h"1士工”f (4)=. vq =.=.% MU.(1 + x)x(I + jr MT<1 + x)x(l + x)x即/ 6 pH®)卜严哈速技,所以,3N A O羽 f I + zni" > (t + ti V" iFj1c >Z .【思维挑战】1、设 a Q f (x) x 1 ln2x 2a In x求证:当x 1时,恒有x ln 2 x 2a In x 1,2、已知定义在正实数集上的函数-a2 3a2 In a2,f (x)1x2
17、2ax, g(x) 3a21nx b,其中 a>0,且 b求证:f (x) g(x)x3、已知函数f(x) 1n(1 x) ,求证:对任意的正数a、b,1 xb恒有 In a In b 1 .a4、f(x)是定义在(0, +8)上的非 负可导函数,且满足xf (x) f (x) <0,对任意正数a、b,若a < b,则必有(A) af (b)wbf (a)(C) af (a)<f (b)( )(B) bf (a)waf (b)(D) bf (b)wf (a)【答案咨询】1、提示:f (x) 1f (x) f(x)2 In x 2a 当 丫 xx x0,即 f (x)在(
18、0,f 0, .当1, a 0时,不难证明21nx 1)内单调递增,故当1时,恒有x ln 2 xxx 1时,2alnx 12、提示:设F(x)g(x) f(x)2 2ax3a2 In xb 则 F (x)3、提示:;当=(x a)(x 3a) (x0) a 0a 时,F (x)x故F(x)在 (0,a)上为减函数,在(a,)上为增函数,于是函数F(a) f (a) g(a)0 ,故当 x 0时,有 f (x) g(x)0,F(x)在(0,)上的最小值是 即 f (x) g(x)因此在于是因此4、提示:数f(x)的定义域为(x 0时,f (x)1,),f (x)0时,f (x) 0 ,即 f
19、(x)在 xx 0时,f (x)取得极小值f (0)f (x)f(0) 0,从而 ln(1x)In aIn b 1(0,f(x)F(x)F (x)xf_1x (1 x)21,0)上为减函数)上为增函数0,而且是最小a 于是Inbx) 1x(1 x)2x f(a) f(b) a b(x)2 xf(x)F(x)f(x)x在(0, +8)上是减函数,由a b有af (b) <bf (a) 故选(A)10. 己矢 ri 函数/") = ln(1+ x) a二(I )求 的单调区间:()记/(W在区间03(。仁N*上的最小值为3.令 =山1 + 9-包 如果对 切力,不等式后,疯7一比一 恒成立,求实数C的取值范I挑K求* 工 空。+也匚二色二二/ELC n xt,j 1、由 f(x)=
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