有关圆问题考点分析

1、有关圆问题考点分析李徳旺圆是初中几何的重耍学习内容，它具有很多主要性质，知识的前后联系密切，能考查 学生综合应用数学知识的能力，是历年中考的重点。现以2005年各省市中考题为例加以 说明。一. 与三角形的有关知识（全等、相似等）相联系此类试题要求通过圆的冇关性质得出两个三角形对应角相等或对应边相等或成比例， 进而证明三角形全等或相似。例1（深圳市）如图1所示，ab是圆o的直径，点e是半圆上一动点（点e与点 a、b都不重合），点c是be延长线上的一点，且cdlab,垂足为d, cd与ae交于 点h,点h与点a不重合。连接ho。（1）求证：aahd acbd；（2）若cd = ab = 2,求hd

2、 + ho的值。乂 cd1ab,故=zadh = zcdb:.aahd acbd(2) 设 od=xo 由 ab=2, ab 是圆 o 的直径，可得 a£)= 1 + x, bd = i-x由 ahd cbd可得adcdhdbd1 +兀2hd得hd =在 rthd0中，ho = od2 +hd2z. hd + ho =+= 12 2二. 考查对圆与圆位置关系的掌握情况这类问题考查的重点是相切关系的性质和判定，试题常由课木习题改编而成，解答时 需要合理联想课本习题原型。例2.（枣庄市）如图2所示，圆o和圆02外切于点p，宜线ab是两圆的外公切线，a、b为切点，试判断以线段ab为直径的圆

3、与总线qq的位置关系，并说明理山。分析：课本屮有类似图形（不再画出），我们曾经证明过ap丄bp，其方法是过p作 两圆的公切线，交ab于0。由切线长定理知0a=ob=op,且0p丄0|。2 （公切线的性 质）。故以线段ab为直径的圆与直线qo?相切（如果圆心到直线的距离等于圆的半径, 那么该直线与圆相切）。三. 圆与函数和方程相联系这类题需综合函数、方程、儿何的相关知识，融计算、证明于-体，具有较强的综合 性。3例3（武汉市）已知：如图3所示，直线y = -x + 3交x轴于q,交y轴于。2, 圆。2与x轴相切于0点，交直线于p点，以q为圆心，qp为半径的圆交x轴 于a、b两点，pb交関02于点

4、f,阴io】的弦be二bo, ef的延长线交ab于d,连接 pa、poo(1)求证：zapo = zbpo ；（2）求证：ef是圆02的切线;（3）e0的延长线交圆q于c点，若g为bc上一动点，以qg为直径作圆03, 交oc于点m,交03于n。有下列结论： qm qn为定值； 线段mn的长度不变。其中只有一个是正确的，请你选出正确的结论，并证明它，求出它的值。图3 证明：（1）连接02f ,如图4所示。*.* 02p = 02f, 0、p = 0、b:.zo2pf = zo2fp, zo,pb = zo,bp:.zo2fp = zobp:.02f i iob,得zoo2f = 90°

5、 zopb =丄 zoo= 45°2 又ab为直径，故zaps = 90°:.zapo = zbpo = 45°(2)如图4所示，延长ez)交圆o于点h,连接pe、bho由bo为圆o2的切线, 可得 bo? = bf bp。又因 be = bo,故 be? = bf bp。ku zpbe = zebf （公共角）所以apbeae5f.zbef = zbpe = zbhe故be = bh, aba.ed又由（1）o2f/o,b, &o2f1de 0 故 ef 为圆 o2 的切线。(3) mn的长度不变，证明如下。如图4所示，过n作圆03的直径nk,连接mk。

6、则 ak = zmo, n = ze0、d且 znmk = zed0, =90°乂 nk = og = o、e所以 nmk = edo,故 mn = ed3而由直线y = -才x + 3交x轴于o,交y轴于o?，矢口。02 =3, 00 = 4 o故 =5所以01a = 01p = 8, 48 = 16而 od = oor = 3故 ad = 1, bd = 9又 rtabep, ed2 = ad bd故 ed = mn = 3a/7故mn的长度不会发生变化，其长度为37 o四. 圆与特殊四边形相联系这类题主要是计算弧长、扇形曲积、阴影部分面积等。例4(无锡市)已知p是正方形abcd

7、内一点，连接pa、pb、pco(1) 将apab绕点b顺时针旋转90°到p，cb的位置(如图5师)。n图5设ab=a, pb=b (b<a),求apab旋转到zp，cb的过程屮线段pa所扫过的区域 (图5中的阴影部分)的而积；若 pa=2, pb=4, /apb = 135°，求 pc 的长。(2)如图6所示，若pa? + pc? =2pbs请说明点p必在对角线ac上。解（1）设pa所扫过的区域的面积为s,则90m2 -90加2360十()如图5所示，由题意知apabzap'cb故 pb = p'b = 4, p'c= pa = 2f zbp,

8、c = 135° , kpbp'=90° 。连接pp，,则apep，是等腰直角三角形。故 pp'=4迈,zpp'c = 90° o在 rl'pp' c中,pc = “戸 + 氏2 = 6 o(2)连接pd,则pa1 + pc2 = pb2 + pd2 (课本中证过的结论) 乂知 x + pc? =2pb2故 pb = pd。又 ab = adf ap = ap故卜 pab = pad所以 zpab = zpad而対角线ac平分zbad,所以点p必在ac±o五. 方案设计型这类题通过比较圆的面积和多边形面积的人小，选

9、择较优方案，考查学牛动手实践能 力。例5（丽水市）某公园有一个边长为4m的正三角形花坛，三角形的顶点a、b、c 上各冇一棵占树。现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树 不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上（设计过程中画图工具不限）。（1）按圆形设计，利用图7画出你所设计的圆形花坛示意图;图7(2)按平行四边形设计，利用图8曲出你所设计的平行四边形花坛示意图;图8(3)若使新建的花坛面积较人，选样以上哪一种方案合适？请说明理由。解(1)如图9所示，作zabc的外接鬪。图9(2) 如图10所示，以ab、bc为边，ac为对角线作平行四边形abcdo(3) 在如图9所示中，可求aabc的外接圆的半