(完整版)含参数导数问题分类讨论(学生)

1、含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、 最值等，其 中渗透并充分利用着构造函数、 分类讨论、转化与化归、 数形结合等重要思想方法，导数常 作为高考的压轴题， 对考生的能力要求非常高， 它不仅要求考生牢固掌握基础知识、 基本技 能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。 而含参数的导数问题是近年来高考的难点 和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a f x 恒成立，只须求出 f x max ，则 a f x max ；若 a f x 恒成立，只

2、须求出 f x min ，则 a f x min ，转 化为函数求最值例 1、已知函数 f (x) xln x. ()求 f(x) 的最小值；()若对所有 x 1都有 f (x) ax 1,求实数 a 的取值范围 .二、导数为 0 的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点， 从而引起讨论例 2. 已知 a 是实数，函数 f(x) x(2 x a) .()若 f (1) 3,求 a的值及曲线 y f(x)在点 (1, f (1) 处的切线方程；(

3、)求 f (x) 在区间 0 ，2 上的最大值三、导函数为 0 是否存在，分类讨论策略求导后， 考虑导函数为零是否有实根 (或导函数的分子能否分解因式) ，涉及到二次方程 问题时，与 0 的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关， 令 =0，求分点，从而引起讨论例 3、已知函数 f (x) x2 x aln x ， (a R) ，讨论 f(x) 在定义域上的单调性四、导函数为 0 的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后， 导函数为零有实根 (或导函数的分子能分解因式) , 导函数为零的实根也落在 定义域内， 但这些实根的大小关系不确定，分不了区间 所以必须分类， 通过

4、令几个根相等 求分点，从而引起讨论 2例 4、已知 m 0 ，讨论函数 f (x) mx 3(m x1)x 3m 6 的单调性ex练习求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式） ，从而引起讨论。一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） ，但不知导函数为零的 实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） , 导函数为零的实根 也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。108广东（理） 设 k R，函数 f（x）11x,x 11xx 1,x,F(x)1f (x) kx,x R ，试讨论函数 F（x）

5、的单调性。2 （08 浙江理 ）已知 a 是实数，函数（）求函数 f x 的单调区间；2。）设 g a 为 f x 在区间 0,2 上的最小值。i ）写出 g a 的表达式；（ ii ）求 a 的取值范围，使得 6 g a3（07 天津理）已知函数2ax a2 1x2 1R ，其中 a R 。）当 a 1 时，求曲线 yx 在点 2, f 2 处的切线方程；）当 a 0 时，求函数 x 的单调区间与极值。4（07 高考山东理改编）设函数2x x2 bln x 1 ，其中 b 0 ，求函数 f x 的极值点。含参数导数的解题策略例 1、解：()略) 对所有 x 1都有 f (x) ax 1，1

6、对所有 x 1都有 xln x ax 1 ，即 a ln x 1 x1记 g(x) ln x ,(x 0), 只需 ax11令 g'(x) 2 0, 解得 xxxg(x) min.1.g'(x) 0 x 1,g'(x) 01. 当 x 1时， g(x) 取最小值g(1)1. a 1.即 a的取值范围是 aa 1.例 2. 解：(I )略II )令 f '(x)0 ，解得 x1 0,x22a3当 2a3当 2a30 ，即 a2 时，即当02a32，从而max综上所述，0时， f (x)在0 ，2上单调递增，从而 fmax f (2) 8 4a3时， f (x)在0

7、 ，2 上单调递减，从而max f (0) 0 即00,4a,a 3，f(x)在 0,2a 上单调递减， 在 2a,2 上单调递增，334a,0 a2aa 2.2.3.解：由已知得f (x) 2x1ax1)当18a 0 ， a1时，82)当18a 0 ， a1时，81118a0a时，82max0,2.a例 3、2x2 x a,(x 0) ，f (x) 0恒成立， f (x)在(0, )上为增函数1 8a 0，f(x)在112 8a ,11 8a2211)2上为减函数，f (x)在 (0,1 12 8a,1 12 8a ,) 上为增函数，2 )当 a 0时， 1 1 8a 0 ，21 1 8a故

8、 f (x)在 0,上为减函数，2)例 4、得 x1f (x)在 1 1 8a ，)2上为增函数综上，当 a当0当a上为增函数解： f (x)3， x2 m1) 当 0 m所以 f (x) 在区间1时， f(x)在 (0, )上为增函数80时，mx213时，x1f (x) 在(0，18a 1218a2118a21 f (x) 在(0,111 a 1 时， f(x) 在812 8a 上为减函数，1 1 8a2 上为减函数，) 上为增函数，f(x) 在 1 1 8a ，2(emx 3)x 3 ，设 g(x) ex2 ，在区间 ( , ) ， ( m)，( 1, ) 上是减函数； mmx2 (m3)

9、x 3，令 g(x) 0 ，1, )上 g(x) 0，即 f (x) 0，在区间 ( 3 ，m1)，3g(x) 0，即 f (x) 0，所以 f (x)在区间 ( 3 ， 1)上是增函数； m2)当 m 3时，x1x2 , 在区间 (, 1) ，( 1, )上 g(x) 0，即 f (x) 0，又 f (x)在 x 1处连续，所以 f ( x)在区间 ( , )上是减函数；33)当 m 3时， x1 x2 ,在区间 ( , 1) ，( ， )上 g(x) 0，即 f (x) 0， m3所以 f (x) 在区间 ( , 1) ，( 3， ) 上是减函数；m33在区间 ( 1， )上， g(x)

10、0，即 f (x) 0，所以 f(x) 在区间 ( 1， )上是增函mm数21解： F (x)f ( x)考虑导函数F '(x)一)若x练习1kx, x 1,kx 1 x ,F '(x)x 1 kx,x 10 是否有实根，从而需要对参数1，则 F '( x)21 k 1 x2 。由于当 k1 x 21 k 1 x2 , x 11x1 22kx x1 1,x 12x1k 的取值进行讨论。0时，F '(x) 0无实根，而当 k 0因此，对参数k分k0 和 k0两种情况讨论。(1)当k0时，F '( x)0在( ,1)上恒成立， 所以函数 F(x) 在( ,1

11、)上为增函数；时， F '( x)0 有实根，2)当k0时，F '(x)1k21x211k x 1 x 1 kk 2。1x增函数。当k1)数；由 F '(x) 0，得 x1由 F '(x) 0，得 1因此，当 k0时，若x0时，当k1，则F '(x)0时，F '(x), x211 ，因为 k k0，所以x1 1 x2 。1；由 F '(x) 0 ，得 x 1函数 F(x) 在(1 2k x 12x10有实根，因此，对参数,1 1 ) 上为减函数， k1k。在 (11 ,1) 上为由于当 k 0时， F '(x) 0 无实根，而k分

12、k 0和 k 0两种情况讨论。F '(x) 0在 1,上恒成立，所以函数 F(x) 在 1,上为减函2) 当k 0时， F '(x)1 2k x 12x1k x 1 2k x1由 F '(x) 0 ，得 x 114k212 ；由 F '(x) 0 ，得 1 x 1 4k2因此，当 k 0 时，函数F ( x) 在 1,111 2 上为减函数，在 14k21,4k2,为增函数。综上所述：1)当k0时，函数 F(x)在 (1,1 ) 上为减函数， k在 (11,1)上为增函数，在 1,上为减函数。2)当k0时，函数 F(x)在 (,1) 上为增函数，在1,上为减函数

13、。3)当k0时，函数 F(x)在 (,1) 上为增函数，在1,111 2 上为减函数，在4k211 1 2 ,上为增函数。4k22解：()函数的定义域为0, ，f ' xxax2x3x a3 x a30，由 f '( x)0得xa2x2 x x。3a考虑 是否落在导函数3f ' (x) 的定义域 0,内，需对参数a 的取值分a 0 及 a 0两种情况进行讨论。1)当a0 时，则 f '( x)0 在 0,上恒成立，所以fx 的单调递增区间为0,。2)当a0时，由f ' ( x)0 ，得 xa'3 ；由 f '(x) 0 ，3得0a x。3

14、因此，当a0 时， fx 的单调递减区间为 0, a ，3fx的单调递增区间为）（i ）由第（）问的结论可知：1） 当 a 0 时， f x 在 0,上单调递增，从而 f x 在 0,2 上单调递增，所以 g a f 0 0。x 在 0,a 上单调递减，在 a,33上单调递增，所以：当a0,2 ，即0a6时，f3增，所以 gafa23aa333当a2,即a6时，3gaf222a。2） 当 a 0 时，2a 3a9x 在 0,a 上单调递减，在 a,2 上单调递33f x 在 0,2 上 单 调 递 减 ， 所 以综上所述， g a（ ii ）令 6 g a 2 。若 a 0，无解；2a a若

15、0 a 6，由 62 解得 3 a 6 ；33 若 a 6 ，由 6 2 2 a 2解得 6 a 2 3 2 。综上所述， a 的取值范围为 3 a 2 3 2 。3、 解 ：（ ） 当 a1 时 ， 曲 线 y f x 在 点2,f2 处 的 切 线 方 程 为6x 25y 32 0 。）由于 a 0 ，所以 f '222a x 1 2x 2ax a112a x a xaxx2 1 2x12 2 。x1'1由 f ' x 0，得 x1,x2 a 。这两个实根都在定义域 R内，但不知它们之间的大a小。因此，需对参数 a的取值分 a 0和 a 0两种情况进行讨论。4、解：

16、由题意可得 fx 的定义域为1,x 2x bx12x2 2x b ， x1的分母 x1在定义域1,上恒为正，方程 2x 22x（1）当4 8b0，即所以 g x22 x2 2x b在 1,上恒成立，则f调递增，从而函数 fx在0 是否有实根，需要对参数b1, 上无极值点。x 0 在 1, 上恒成立，1 时，方程 2x2 2 x b22）当4 8b 0，即 b12时，方程 2x2 2x b实根：x11 1 2b2, x21 1 2b。b 的取值进行讨论。0 无实根或只有唯一根所以函数 f x 在 1,这两个根是否都在定义域 1,12，上单0 ，即 f x 0 有两个不相等的内呢？又需要对参数 b

17、 的取值分情况作如下讨论：x11, x21,x11 1 2b1,x21 1 2b 1 ， 所 以22（1）当 a 0 时，则 x11x2 。易得 f x 在区间 ,a， a,内为减函数，在区间11, a 为增函数。 故函数 f x 在 x1处取得极小值f1a2 ；函数 f xaaa在 x2a 处取得极大值 f a1。（2）当 a 0 时，则 x1x2 。易得 f x 在区间 （ ,a） ，( 1a ,） 内为增函数，在区a间 (a,1） 为减函数。 故函数1f x 在 x1处取得极小值 f1a2 ；函数 f x 在aaax2 a处取得极大值 f a1。此时， f ' x 与 f x 随 x 的变化情况如下表：x1,x1x1x1,x2x2x2,f ' x00fx递增极大值递减极小值递增x1,x2x2x2,f ' x0fx递减极小值递增此