(完整版)三校生数学常用公式及常用结论

1、三校生数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系x A x CU A, x CU A x A.2. 德摩根公式CU (AI B) CU AUCUB;CU(AU B) CU AI CUB .3. 包含关系AI B A AUB B A B CU B CU A AI CUBCU AU B R.4集合 a1, a2,L ,an的子集个数共有 2n 个；真子集有2n1个；非空子集有 2n 1个； 非空的真子集有 2n2 个.6. 闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f(x) ax2bx c(a0) 在闭区间 p,q 上的最值只能在 xb 处及区间的两2a端点处取得，具体如下：(1) 当 a>0

2、时，若 xb2ap,q ，则 f (x)minf( 2ba), f(x)max maxf (p), f (q) ；bx2ap,q ，f (x)maxmax f (p), f (q) ，f(x)min min f (p), f (q)2ba p,q ，则bx2amax f (p), f(q) ， f ( x) min(2) 当 a<0 时，若f (x)max7. 一元二次方程的实根分布 依据：若 设 f (x)1)方程p,q，则 f (x)minmin f(p), f(q) ，若 xmin f(p), f (q) .f(m)f (n) 0，则方程 x2 px q ，则f(x) 0 在区间

3、(m,n) 内至少有一个实根 .p2 4q 0f(x) 0在区间 (m, )内有根的充要条件为 f(m) 0或 p ； m25. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f(x)2 axbxc(a0);(2) 顶点式 f(x)a(xh)2k(a0);(3) 零点式 f(x)a(xx1)(x x2)(a 0)f(m) 0f(n) 02）方程 f （x） 0 在区间 （m,n） 内有根的充要条件为f(m) f (n)0 或 p2 4q0或nf(m) 0或 f (n) 0 af(n) 0 af(m) 03）方程 f（x） 0在区间 （ , n）内有根的充要条件为p2 4q 0 f (m) 0 或

4、p m28. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有（ n 1）个小于不小于至多有 n 个至少有（ n 1）个对所有 x ， 成立存在某 x ，不成立p或qp 且 q对任何 x ，不成立存在某 x ， 成立p且qp 或 q9. 常见结论的否定形式10. 四种命题的相互关系11.充要条件1）充分条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件 .（ 2）必要条件：若 q p，则 p是 q必要条件 .( 3)充要条件：若 p q，且q p，则 p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充

5、分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然12.如果函数 f(x)和g(x)都是减函数 ,则在公共定义域内 ,和函数 f(x) g (x)也是减函数 ; 如果函数 y f(u)和u g (x)在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数 y fg(x) 是增 函数.13奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称， 偶函数的图象关于 y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象 关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数 是偶函数15多项式函数 P(x) anxn 多项式函数 P(x) 是奇函数 多项式函数 P(x) 是偶函数14.若函数 y f ( x)是偶函数，

6、则 f (x a) f ( x a) ；若函数 y f (x a) 是偶函数，则 f (x a) f ( x a).an 1xL a0 的奇偶性P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零 .P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零 .16. 两个函数图象的对称性(1) 函数 y f (x)和 y f 1( x)的图象关于直线 y=x 对称.17. 若将函数 y f (x)的图象右移 a、上移 b个单位，得到函数 y f(x a) b 的图象； 若将曲线 f(x,y) 0的图象右移 a、上移 b个单位，得到曲线 f(x a,y b) 0的图象.18互为反函数的两个函数的关系 f(a) b f 1(

7、b) a.19. 几个常见的函数方程(1) 正比例函数 f (x) cx, f (x y)f(x) f(y), f(1)c.(2) 指数函数 f (x) ax, f (x y)f(x) f (y), f (1) a0.(3) 对数函数 f (x) loga x, f (xy)f (x) f (y), f (a)1(a 0,a 1)(4) 幂函数 f(x) x , f (xy) f (x)f(y), f '(1).20.几个函数方程的周期 (约定 a>0)(1) f(x) f(x a)，则 f(x) 的周期 T=a；21.分数指数幂m(1) a n1n m ( a 0,m,n N

8、，且 n 1 ). n amm(2) a n1m ( a 0,m,n N ，且 n 1 ) . amn22根式的性质(1) (n a)n a.(2)当 n 为奇数时， 当 n 为偶数时， n annna|a|a；a,a 0a,a 0有理指数幂的运算性质 ar as ar s(a 0,r,s (ar )s ars(a 0,r,s Q).(ab)r arbr (a 0,b 0,r Q).若 a>0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数23(1)(2)(3) 注： 质，对于无理数指数幂都适用 .Q).上述有理指数幂的运算性24. 指数式与对数式的互化式loga N b ab N (a

9、 0,a 1,N 0) .25. 对数的换底公式logaN logmN ( a 0,且a 1, m 0,且m 1, N 0). logm a推论 logam bn n loga b( a 0,且 a 1, m,n 0, 且 m 1, n am26对数的四则运算法则若 a>0，a1，M> 0， N>0，则(1) log a (MN ) loga M loga N ;(2) loga M loga M loga N ;N(3) logaMn nlogaM (n R).27. 设函数 f (x) log m(ax2 bx c)(a 0) , 记b2 4aca 0，且 0;若f (x

10、)的值域为 R,则a 0，且0.对于a1, N 0). 若 f(x) 的定义域为 R , 则 0的情形,需要单独检验 .28. 对数换底不等式及其推广若 a 0,b 0, x0, x 1,则 a函数 ylog ax(bx)当ab时,在(110, )和 ( ,)上ylog ax(bx)为增函数aa(2) 当 ab时,在(0,1)和(1,)上ylogax(bx)为减函数aa推论:设nm 1，p 0， a0 ，且 a1，则1) logmp(n p)logmn.2) logamlogan2 m n loga229. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间 x的总产值

11、 y，有 y N(1 p)x.30. 数列的同项公式与前 n 项的和的关系s1, n 1an1 ( 数列an 的前 n项的和为 sn a1 a2 L an).sn sn 1,n 231. 等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；其前 n 项和公式为snn(a1 an)2na1n(n 1) d2ddn(a1 21d)n.,q32. 等比数列的通项公式 an a1qn 1 a1 qn(n N*) ； q 其前 n 项的和公式为 a1(1 qn ) sn1 qna1,q 1,qa1 anq 或 sn1 qna1,qan b (n 1)d,q anbqn (d b)q

12、33. 等比差数列: an 11n 1 dqan d,a1 b(q 0) 的通项公式为q1 其前 n 项和公式为nb n(n 1)d,( q sn (b d )1 qn 1 q q 1,q 11)d n,(q 1)1qsin2 cos2sin1，tan = ， tan cot 1cos35. 和角与差角公式sin() sincos cos sin ;cos() coscos msin sintan() tan tan . 1mtan tansin()sin(22 ) sin sin( 平方正弦公式 );cos()cos(22 ) cos sin.asinbcos= a2 b2 sin() (

13、辅 助 角 所 在 象 限 由点(a,b) 的 象 限 决定, tanb ).a36. 二倍角公式sin2sin cos.cos22 cossin22cos 2 11 2sin 2 .tan22tan1 tan237. 三角函数的周期公式函数 y sin( x )，xR及函数 y cos( x ) ，xR(A, 为常数，且 A0，>20)的周期 T；函数 y tan( x ) ，x k ,k Z (A, , 为常数，且 A0，> 0)2的周期 T .2R.38. 正弦定理 abc sinA sinB sinC39. 余弦定理2 2 2 bca cosA2bc222 acb cosB

14、2accosC2 2 2abc2ab40. 面积定理11( 1) S ahabhb221chc ( ha、 hb、 hc分别表示 a、b、c 边上的高)22) Sabsin C bcsin Acasin B.22241. 三角形内角和定理 在 ABC中，有 A B C222C 2C (A B) 2(A B).42. 实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( )a;(2) 第一分配律： ( + ) a= a+ a;(3) 第二分配律： (a+b)=a+b.43. 向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a (交换律) ;(2) ( a)&

15、#183;b= (a·b)= a·b= a·( b)(3) ( a+b)· c= a ·c +b ·c.44向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且 b 0，则 aPb(b 0) x1y2 x2y1 0. a与 b的数量积(或内积) a·b=| a| b|cos x x1, 或x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2) .45. 向量的平行与垂直设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，且b0，则A|b b= ax1 y2x2y10.ab(a 0) a· b=0x1x2y1y2 0.4

16、6.一元二次不等式 ax2bx c0(或 0) (a 0, b2 4ac 0) ，如果 a与 ax2 bx c同号，则其解集在两根之外；如果 a与ax2 bx c异号，则其解集在两根之间 . 简言之：同号两 根之外，异号两根之间 .x1 x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2) ；47. 含有绝对值的不等式当 a> 0 时，有22x a x a a x a .a.x ax2 a2 x a 或 x48. 无理不等式1)f(x)g(x)g(x)0 .f (x)g(x)f(x)0f (x)2)0或f(x)g(x)g(x)g(x)f(x)2g(x)2f (x)03)f(x)g(x)g

17、(x)0.f (x)2g(x)2f (x) 000(1) 当 a1时,f (x) g( aax) f(x)g(x);f(x)0loga f(x)loga g(x)g(x)0f(x)g(x)(2) 当 0a 1 时 ,f (x) g aa(x) f(x)g(x);f (x)0loga f (x)loga g(x)g(x)0f (x)g(x)50.斜率公式k y2 y1 ( P1(x1,y1)、P2(x2,y2) )51.直线的五种方程（1）点斜式yy1k(x（2）斜截式ykxb(b（3）两点式yy1xy2y1x2（4） 截距式xy1( a、ab（5）一般式AxByCx1) (直线l过点P1 (x

18、1, y1 ) ，且斜率为 k) 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).x11 ( y1 y2)( P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1b分别为直线的横、纵截距，a、bx1 x2 ).0)0（其中 A、B 不同时为 0）.52 .两条直线的平行和垂直(1)若l1:y k1x b1，l2 :y l1 |l2 l1 l2(2)若l1 : A1x B1y C1 0,l2 :A2x B2yk1 k2,b1 b2 ; k1k21.k2x b2C2 0,且 A1、A2、 B1、B2都不为零, l1 |l2 l1 l2A1 B1 C1 ；A2 B2 C2A1A2 B1B2 0；53 .夹角公式(1)

19、 tan|1k2 k2kk11 | .(l1:y k1x b1，l2 :y k2x b2 , k1k21)(2) tan| A1B2 A2B1 |.| A1A2 B1B2 |.(l1 :A1xB1y C1 0,l2: A2x B2y C2 0, A1A2 B1B2 0).直线 l1l 2时，直线 l1 与 l 2的夹角是 . 2254. l1到 l2的角公式(1) tank2 k11 k2k1(l1:y k1x b1，l2 :y k2x b2 , k1k21)(2) tanA1B2 A2B1 .A1A2 B1B2(l1 :A1xB1y C1 0,l2: A2x B2y C2 0, A1A2 B

20、1B2 0).直线 l1l2时，直线 l1到 l2的角是 2.55. 点与圆的位置关系点 P(x0,y0)与圆(x a)2 (y b)2 r 2的位置关系有三种若 d (a x0)2 (b y0)2 ，则d r 点 P 在圆外 ; d r 点 P 在圆上 ; d r 点 P 在圆内 .56. 直线与圆的位置关系直线 Ax By C dr相离dr相切dr相交Aa Bb C 其中dA2 B20 与圆 (x a)20;0;0.(y b)2r2 的位置关系有三种57. 圆的切线方程(1) 已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 若已知切点 (x0, y0 )在圆上，则切线只有一条，其方程是 x0x y

21、0y D(x0 x) E(y0 y) F 0.0 0 2 2当 (x0,y0)圆外时 , x0x y0y D(x0 x) E(y0 y) F 0表示过两个切点的切点弦22 方程 过圆外一点的切线方程可设为 y y0 k(x x0) ，再利用相切条件求 k，这时必有两 条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2) 已知圆 x2 y2 r2 过圆上的 P0(x0,y0) 点的切线方程为 x0x y0y r2;斜率为 k 的圆的切线方程为 y kx r 1 k2 .58椭圆的的内外部1)点 P(x0,y0)在椭圆(2

22、)点 P(x0,y0)在椭圆59. 椭圆的切线方程2yb22x2ax2(1) 椭圆 x2 a2)过椭圆1(a b2 by2 1(a bx0x2ay0y 1.b2 1.23)椭圆 x2 a22 y b21(a b60. 双曲线的内外部(1) 点 P(x0, y0 )在双曲线(2) 点 P(x0, y0) 在双曲线(2)x0x2a2x2a2x2a22y2 1(a b 0) 的内部x02ba2x2y2 1(a b 0) 的外部x02ba2y022 1. b2 1.2 y022 1. b2 1.0) 上一点 P(x0, y0 )处的切线方程是 x02x y02y 1. abb 0) 外一点 P(x0,

23、 y0) 所引两条切线的切点弦方程是0) 与直线 Ax By C 0 相切的条件是A2a2B2b2 c2.2x2a2x2a22 1(a 0,b b22y2 1(a 0,b b0) 的内部0) 的外部2x02a2x02a2y0b2y02b21.1.61. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 2 y b2 bx a(1 )若双曲线方程为若渐近线方程为(3)0，2 若双曲线与 x2 a 焦点在 y 轴上) .2x2a2 y b262. 双曲线的切线方程 y2 b2 2 x2a2(1) 双曲线 x2 a2)过双曲线y0y 1.b02 1.3)双曲线2x2a2 y b21(a2 y b21(a63. 抛物线

24、y2渐近线方程：2x2a2 y b2抛物线 y2by 0 双曲线可设为1有公共渐近线，可设为2x2a2x2a2 y b2yb2bx. a0 ，焦点在 x 轴上，0,b 0)上一点 P( x0 , y0)处的切线方程是 x02x y02y ab1.1(a 0,b 0)外一点 P(x0,y0) 所引两条切线的切点弦方程是0,b 0)与直线 Ax By C 0相切的条件是 A2a2 B2b2 c2 .2px 的焦半径公式2px(p 0) 焦半径 CFx0过焦点弦长 CD x1px2px1x2p.122212264.抛物线 y2 2px上的动点可设为 P(y ,y)或 P(2pt2,2pt)或 P (

25、xo,yo)，其中2pyo2 2pxo.65. 二次函数 y ax2 bx c a(x b )2 4ac b (a 0)的图象是抛物线： ( 1)顶点坐标2a 4ab 4ac b2b 4ac b2 1 4ac b2 1为( ,) ；(2)焦点的坐标为 ( ,) ；(3)准线方程是 y .2a 4a 2a 4a 4a66. 抛物线的内外部(1) 点 P(x0, y0 )在抛物线 y2 2px(p 0) 的内部 y2 2px(p 0). 点 P(x0, y0 )在抛物线 y2 2px(p 0) 的外部 y2 2px(p 0).(2) 点 P(x0, y0 )在抛物线 y2 2px(p 0)的内部

26、y2 2px(p 0) .点 P(x0, y0 )在抛物线 y2 2px(p 0)的外部 y2 2px(p 0) .(3) 点 P(x0, y0 )在抛物线 x2 2py(p 0) 的内部 x2 2py(p 0) .点 P(x0, y0 )在抛物线 x2 2py(p 0) 的外部 x2 2py(p 0).(4) 点P( x0 , y0)在抛物线 x2 2py(p 0)的内部x2 2py(p 0) .点 P(x0, y0 )在抛物线 x2 2py(p 0)的外部x22py(p 0).67. 抛物线的切线方程(1) 抛物线 y2 2px上一点 P(x0,y0)处的切线方程是 y0y p(x x0)

27、 .2)过抛物线 y2 2 px外一点 P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 y0y p(x x0).3）抛物线 y2 2px（p 0） 与直线 Ax By C 0相切的条件是 pB2 2AC.68. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1 x2)2 (y1 y2)2 或AB (1k2)(x2x1)2|x1x2|1 tan2|y1y2 |1cot2( 弦 端 点y kx bA(x1,y1),B(x2,y2)，由方程消去 y得到ax2 bx c 0， 0, 为直线 AB的倾F(x,y) 0斜角， k 为直线的斜率) .69证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（

28、2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（ 5）转化为面面平行 .70证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（ 3）转化为面面平行 .71证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直 .72证明直线与直线的垂直的思考途径（ 1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （ 4）转化为线与形成射影的斜线垂直 .73证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂

29、直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （ 5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 74证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（ 2）转化为线面垂直 .75. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面 积分别是 c1和 S1, 则 S斜棱柱侧 c1l . V斜棱柱 S1l .76作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行 .77棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底

30、面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相 似多边形， 相似多边形面积的比等于对应边的比的平方） ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比78柱体、锥体的体积1V柱体Sh（ S是柱体的底面积、 h是柱体的高） .柱体 3V锥体 1Sh（ S是锥体的底面积、 h是锥体的高） .379. 分类计数原理（ 加法原理）N m1 m2 L mn .80. 分步计数原理（ 乘法原理 ）N m1 m2 L mn .81. 排列数公式mn ！*Anm=n(n 1) (n m 1)= .( n，mN*，且 m n)(n m)！注:规定 0! 1. 82. 排列恒等式mm(1 ) Anm (n m 1)Anm（2）A