第七章 三相电路(第2稿)

1、第7章 三相电路无论是过去、现在还是将来，三相制都是电力生产、变送和应用的主要形式。对三相电力系统的分析和设计需要三相电路知识。从电路模型上看，三相电路实际是一种具有特殊规律的交流电路，这些特殊规律简化了三相电路的分析方法。读者在学习本章时要特别注意对三相电路特殊规律的认识，理解三相制的优点以及广泛使用三相制的原因。作为三相电路的入门内容，本章重点介绍三相电路的星形和三角形联接方式，对称三相电路中相电压与线电压、相电流与线电流的关系，对称三相电路的计算和三相电路的功率。扼要介绍不对称三相电路。电力系统在发电、输电和配电方面以及大功率的用电设备大多采用三相制(three-phase system

2、)。这是因为三相制在技术上和经济上具有重大优越性。所谓三相制，就是由三相电源供电的体系。这种三相电源中一般具有三个电压源(图7.1)，能够同时发出三个频率相同、波形相同而变动进程不同的交变电压，分别用、来表示，称为三相电压(three-phase voltage)。三相电源中的每一部分称为一个相(phase)，三个相称为A相、B相、C相。一般在电源正极标注A、B、C作为始端，在其负极标注X、Y、Z作为末端，参见图7.1。实际应用的三相电源主要是三相发电机。图7.1 三相发电机原理示意图如果三相电压、不仅频率相同、波形和幅值相同，而且变动进程的时间差相等，即彼此相差kT/3(T为周期，k=0,1

3、,2)，则称为对称三相电压(symmetric three-phase voltage)。当对称三相电压为正弦波时，其瞬时表达式为 (7.1)取k=1，则为 (7.2)其波形如图7.2所示。设，对称正弦三相电压有效值相量为 (7.3)式中 是一个旋转因子，它乘到某一相量上相当于把这一相量逆时针方向旋转120°角，乘以则为逆时针方向旋转240°角。对称三相电压的相量图如图7.3所示。 图7.2对称正弦三相电压波形 图7.3 对称三相电压相量图三相电压、的相位从越前到滞后的次序称为相序(phase sequence)。式(7.2)中三相电压相位的次序为A-B-C(或B-C-A，

4、或C-A-B)，称为正序(positive sequence)或顺序。如在式(7.1)中取k=2，则有 其相序为A-C-B(或C-B-A，或B-A-C)，与正序相反，称为负序(negative sequence)或逆序。取k=3时，由式(7.1)可见，、之间的相位差为360°，其实是同相位，这称为零序(zero sequence)。在实际的对称三相电路中，若以某一相为A相，则认为比A相滞后120°的为B相，再滞后120°的为C相，这属于正序。而负序和零序是相对于正序而言的，在本章最后讨论专门问题时将会遇到。在三相制中，负载一般也是由三个部分电路组成的，每一部分称为

5、负载的一个相，这样的负载称为三相负载(three-phase load)，常见的三相感应电动机便是一例。如果三相负载中各相的参数都相同，则称为对称三相负载。有了三相负载的概念以后，以前用二端网络表示的交流负载称为单相负载(single-phase load)。在三相制中通常把若干单相负载分成三组，组合而成三相负载，再与三相电源相接。由三相电源、三相负载(包括个别单相负载)和联接导线所组成的电路称为三相电路(three-phase circuit)。当三相电源和三相负载都对称而且三相的导线阻抗都相等时，则称为对称三相电路。三相电路实际上是一种复杂交流电路，可用第六章介绍的方法进行分析。由于对称三

6、相电路中存在一些特殊规律，掌握了这些规律可以简化分析过程，这在工程实际中很实用，因此才把三相电路作为一个单独内容加以讨论。上述有关三相制的概念可以推广。在理论上可以制造出任意相数的电源，产生二相、三相、四相电压，统称为多相电源。由多相电源供电的体系称为多相制(multi-phase system)。对称m相正弦电压中包含m个振幅相等、频率相同的正弦电压，在相位上相邻的两个电压间具有的相位差。例如对称六相电压中，相位相邻两电压的相位差为60°。二相制是一种例外，两个相的电压振幅相等，但其相位差不是180°而是90°，其实可以把它看成是对称四相制的一半，可称之为“半四

7、相制”。除三相制以外的多相制只在某些特殊场合才会遇到。例如自动控制系统和电气测量仪表中有时用到二相制；在某些整流设备中要应用六相或十二相正弦电源。三相电源和三相负载都有两种基本的联接方式，即星形接法和三角形接法。下面分别介绍这两种接法。1星形接法图7.4中三相电源和负载均为星形，或称Y形。所谓把电源接成星形就是把三个电压源的末端X、Y、Z连在一起(也可以把始端A、B、C连在一起)，而另三个端分别连出。三个相连在一起的公共点称为中性点(neutral point)，即图7.4中N点。从中性点引出的导线称为中线(neutral wire)。分别从始端A、B、C引出的三根导线称为端线(termina

8、l wire)，俗称火线。在这种联接方式中，电源和负载之间用了四根导线，故称三相四线制。图7.4 三相四线制在对称三相电路中(如无特殊说明，对称三相电路均指对称三相正弦电路，相序为正序)，各相电流必然是对称的，电流、的振幅相等，而相位互差120°，即。此时中线电流为 (7.4)上式说明，如果端线电流、是对称三相电流，则中线的电流等于零。在这种情况下，中线不起载送电流的作用，可以把它省去，于是原来的三相四线制就变成了三相三线制，如图7.5所示。端线电流、称为线电流(line current)，每两条端线之间的电压称为线电压(line voltage)。电源和负载中各相的电流称为相电流(

9、phase current)，各相上的电压(在星形接法中也就是端线与中性点间的电压)称为相电压(phase voltage)。工程上所说的三相电路的电压都是指线电压而言，例如说110kV的输电线，是说它的线电压是110kV。 图7.5 三相三线制 图7.6 Y形接法各电压相量图在星形联接中，不论有无中线，相电流均等于相应线电流，而线电压则等于相应的两个相电压之差，用相量表示为 (7.5)在相电压对称的情况下，线电压与相电压的关系可进一步简化：同理可以得出另外两个线电压与相电压的关系。将它们合写在一起便是 (7.6)图7.6画出了图7.5电源的对称相电压和线电压的相量图。此相量图和式(7.6)表

10、明：在星形电路中，当正弦相电压为对称时，线电压也是对称的，其有效值等于相电压有效值的倍。用和分别表示线电压和相电压的有效值，则有 (7.7)按照一般习惯，通常选择相电压的参考方向是由端线到中性点，线电压的参考方向是由相位上的先行相到后续相，即按照A-B-C-A的顺序，在这样选择电压参考方向的条件下，线电压在相位上越前于先行相电压30°见式(7.6)。在对称情况下，三个相电流有效值相等，用表示；三个线电流有效值也相等，用表示。在星形联接中，线电流就是相电流，故 (7.8)上面式(7.5)到(7.8)结论都是就对称三相电路得出的。当相电压不对称时，线电压与相电压的关系只服从式(7.5)。

11、2三角形接法图7.7中三相电源和负载都是接成三角形的。对于电源，必须把三个电压源的始端和末端依次相接，即X接B，Y接C，Z接A，再从各联接点引出端线。只有这样联接才能保证在没有负载(即端线开路)的情况下，正弦电压源内部不致于有循环电流。由于一般电源内阻抗极小，既使三相电压相量和很小，接成三角形回路时也会产生很大的回路电流，甚至有烧毁电源的危险。设电源中所产生的是对称三相电压，则三相总电压为图7.7电源和负载都接成三角形 与上式对应的电压相量图如图7.8(a)所示。假如把其中一相反接，例如C相反接(X接B，Y接Z，C接A)，则三相总电压为 图7.8 三相电压代数和 (a)正确联接 (b)非正确联

12、接 图7.9 测量三相总电压相应的相量图如图7.8(b)所示。总电压有效值为相电压有效值的二倍，显然会造成极大的危险。因此当把三相电源联接成三角形时，应当先用一个电压表接到尚未联接的最后一对联接点，如图7.9所示，用以测量三相电压之和是否为零。当把负载接成三角形时，如果各相负载的两端有极性差异(例如各相之间存在互感，便有星标端和非星标端的差异)，也须按始端和末端依次相连的方法接成三角形，否则将造成不对称。如果各相负载的两端无极性差异便可随意联接。在三角形联接中没有中性点和中线，因此这种联接方式只能用于三相三线制电路中。在三角形联接中，线电压就是相电压，而线电流和相电流是不同的。按照习惯，在电源

13、中选取相电流与相电压的参考方向相反；而在负载中选取相电流与相电压的参考方向相同，在图7.7中只标出线电流的参考方向，是由电源流向负载的，而相电流的参考方向将用双下标来表示。这样，无论在电源端或在负载端，线电流都等于两个相电流之差，用相量表示为：在电源端 (7.9)在负载端 (7.10)图7.10 三角形接法各电流相量图如果三个相电流是对称的，则线电流与相电流的关系更为简明： (7.11)相电流对称时的相量图如图7.10所示。可见在三角形联接中，当正弦相电流对称时，线电流有效值等于相电流有效值的倍，即 (7.12)当按上述习惯选择各电流参考方向时，线电流在相位上滞后于后续相电流30°。

14、在对称情况下，三角形联接中各相电压和各线电压的有效值彼此相等，即 (7.13)上面式(7.11)到(7.13)结论是就对称三相电路得到的。当相电流不对称时，只能根据式(7.9)或(7.10)由已知相电流求线电流，而不能从线电流求相电流。在三相电路中，电源接成星形或三角形与负载接成星形或三角形是无关的，要根据各自的技术要求确定。例如在三相四线制电网中电源必须接成星形，这样才能引出中线，使用户从端线之间或从端线与中线之间得到两种电压，即线电压和相电压。一般三相四线低压电网的标准相电压为220V，线电压则为。一个三相负载应当接成星形或三角形，要根据其额定电压和电源线电压的量值决定。若把负载接成三角形

15、，其每相所承受的电压为电源的线电压；若接成星形则每相承受的电压为线电压的。许多小功率负载，例如家用电器都是单相负载，其额定电压是220V，因此它们应接在端线与中线之间。 图7.11所示对称三相电路已知，负载阻抗。求负载每相电压、电流及线电流的相量值。图7.11 例题7.1由星形联接相电压与线电压的关系得由对称性得其它线电压根据欧姆定律求得负载相电流由对称性得其它相电流由三角形联接线电流与相电流的关系得由对称性求得其它线电流图7.12表示一个电源向一个负载供电的最简单的三相电路，虽然说最简单，也含有四条支路和两个节点，可用第六章介绍的方法来列电路方程求解。对于含有多个电源和负载的对称三相电路，如

16、果仍按以前介绍的方法来列电路方程，不仅十分麻烦，而且不必要。因此这一节要根据对称三相电路的特点找出更为简便的分析方法。设图7.12中三相电源是对称的，即、的有效值相等，相位相差120°。以电源中性点N为电位参考点，对负载中性点列节点电压方程： (7.14)因为三相电源是对称的，故+=0，可解得。这说明：在对称星形联接三相正弦电流电路中，无论中线阻抗为何值(包括或)。负载中性点和电源中性点之间的电压恒为零。根据这一特点，假想用一无阻抗的导线将电源和负载的中性点直接联接起来(如图7.12中虚线所示)，是不会影响电路工作的。由于添上这一假想中线，便可简化计算过程。对由A相和假想中线构成的回

17、路所列的回路电压方程为 (7.15)上式表明A相的电流可以通过A相的电源电压和阻抗Z与求得。与式(7.15)相对应的等效电路如图7.13所示。由此可见，对于对称三相星形联接的正弦电流电路，可取出一相按单相电路计算。其余两相的电流、电压可根据这一相的计算结果和各相之间的关系直接写出。 图7.12 把中性点与直接相连 图7.13 从图7.12中取出A相对于比较复杂的对称三相正弦电流电路，也可化为单相电路进行计算。其步骤为：(1)把各三角形联接的电源和负载都等效为星形联接；(2)画一条无阻抗的假想中线把所有的电源和负载的中性点都联接起来，原有中线上的阻抗均被假想中线短路；(3)取出一相进行计算；(4

18、)根据对称关系推算其它两相的电压、电流。 对称三相正弦电流电路如图7.14(a)所示，其中，。设电源电压，试求负载电压和各负载的相电流。(须核算一遍)图7.14 例题7.2首先将已知的电源和三角形联接的负载都用等效星形联接电路代替，如图(b)所示。图中A相的相电压和等效星形联接负载的阻抗分别为其次在图(b)中添上假想中线，取出A相，如图(c)所示。根据节点电压法，可直接写出图(c)中和点之间的电压，即星形联接负载的相电压 待求的负载电压是指线电压，故阻抗Z1中的电流为星形联接负载的A相的相电流：故 三角形联接负载Z2的相电流：当三相电路中电源电压不对称或电路参数不对称时，电路中的电流一般也是不

19、对称的，这种电路称为不对称三相电路。三相电路中不对称问题是大量存在的。首先，三相电路中有许多小功率单相负载，很难把它们凑成完全对称的三相电路；其次，对称三相电路发生断线、短路等故障时，则成为不对称三相电路；再次，有的电气设备或仪器正是利用不对称三相电路的某些特性而工作的。不对称三相电路中各相电流之间一般不存在有效值相等、相位相差120°的关系，所以不能直接化为单相电路计算，而要作为一般正弦电流电路分析。图7.15所示为最常见的低压三相四线制系统。由于低压系统中有大量单相负载，在一般情况下三个相的等效阻抗ZA、ZB、ZC互不相同，而电源电压通常可认为是对称的。这样就形成了对称三相电源向

20、不对称三相负载供电的情形。图7.15所示电路有两个节点，根据节点电压法可直接写出两节点间电压： (7.16)上式中电源电压是对称的，但因负载不对称，使得电源中性点和负载中性点之间的电压一般不为零，即。根据基尔霍夫电压定律可写出负载的各相电压为 (7.17)与上式对应的各电压相量图如图7.16所示。 图7.15 负载阻抗不对称 图7.16 负载中性点位移 式(7.17)和图7.16都表明，负载相电压、不对称的程度与两中性点间的电压的量值有关。这种负载中性点与电源中性点的电位不重合的现象称为负载中性点的位移(shifting of the neutral point)。中性点位移越大，负载相电压不

21、对称越严重，有的相电压过高，有的相电压又太低。在图7.16中相电压过高，可能造成该相负载因电压超过定额太多而击穿，或因电流超过定额太多而致热烧毁；而相电压又太低，使得该相负载不能正常工作。由式(7.16)可见，为了减小或消除负载中性点的位移，应尽量减小中线阻抗ZN。假如中线阻抗ZN=0，则，因而尽管负载阻抗不对称也能保持负载相电压对称，保证负载正常工作。这就是低压电网广泛采用三相四线制的原因之一。在没有中线时，因负载不对称而引起的中性点位移最为严重。为了避免因中线断路而造成负载相电压严重不对称，要求中线安装牢固，而且在中线上不安装开关和保险丝。以上讨论的是力求避免出现不对称的问题，然而有的电路

22、则是利用三相电路不对称特性工作的，相序指示器便是一例。 图7.17中由电容器和两个相同的白炽灯接成的星形电路可用于测定三相电源的相序，称为相序指示器。设，试说明如何根据两个白炽灯亮度差异确定对称三相电源的相序。图7.17 例题7.3(相序指示器)首先假设三相电源的相序如图7.17所示，然后计算各白炽灯上的电压，从中确定两白炽灯的亮度与三相电源相序的关系。对图7.17列节点电压方程可得B相和C相所接的白炽灯电压分别为因为，所以若把接电容器的作为A相，则白炽灯较亮的那一相是B相，较暗的是C相。在第六章从瞬时功率入手讨论了单相电路的平均功率和无功功率的计算。本节仍从瞬时功率入手研究三相电路的功率。设

23、在对称三相负载中各相的电压与电流取关联联参考方向，且取A相相电压为参考正弦量，即，利用求得A相负载吸收的瞬时功率为 (7.18)同样求得B相和C相的瞬时功率分别为 (7.19) (7.20)三相电路的瞬时功率应等于各相瞬时功率的代数和。注意上述三式中的时间余弦函数在时间上互差三分之二周期，所以这三个余弦函数之和等于零。故 (7.21)由此可见，在对称三相正弦电路中瞬时功率等于常量。这种性质称为瞬时功率平衡(balance)。三相制是一种平衡制，这是三相制的优点之一。对发电机而言，由于任何瞬间转换成的电功率都不变,因此它所需要的机械转矩也是恒定的,这可免除电机在运转时的震动。对电动机而言也有与此

24、类似的优点。式(7.21)中和表示相电压和相电流有效值， 是相电压越前于相电流的相位差，所以是负载各相的功率因数，也是对称三相负载的功率因数。由于式(7.21)表示的瞬时功率是常量，因此它也是对称三相正弦电路的平均功率，即 (7.22)上式表明，对称三相电路的平均功率等于其中一相平均功率的三倍。同理，对称三相电路的无功功率也等于一相无功功率的三倍，即 (7.23)由于三相电源和三相负载的外部特性是用线电压和线电流表示的，所以通常用线电压和线电流来计算平均功率。在对称三相电路中，当电源或负载接成星形时，有和，以此代入式(7.22)，得 (7.24)若电源或负载接成三角形，则有和 ，以此代入式(7

25、.22)仍然得到上面的结果。因此，在对称三相正弦电流电路中，不论接成星形或三角形，平均功率总是等于线电压、线电流和功率因数三者乘积的倍。同理，在对称三相电路中，电源或负载不论接成星形或三角形，其无功功率均为 (7.25)式(7.24)和(7.25)中仍为相电压越前于相电流的相位差。三相正弦电流电路的视在功率定义为 (7.26)将式(7.24)和(7.25)代入上式，得到对称三相电路的视在功率： (7.27)在不对称三相电路中，各相电压之间和各相电流之间均无特定关系，只能分别计算各相的功率。而三相电源或负载的平均功率应等于其中各相的平均功率之和，即 (7.28)同理，不对称三相电路的无功功率为

26、(7.29)不对称三相电路的视在功率仍按式(7.26)确定，不对称三相负载的功率因数定义为 (7.30)但不能用表示，因为没有实际意义。已知对称三相星形负载(感性)的线电压、线电流及平均功率分别为。(1)求三相负载的功率因数及等效阻抗；(2)设C相负载短路，再求各相电流、线电流和平均功率。 (1) 由式(7.24)得各相等效阻抗的阻抗角 对称三相负载的等效电路如图7.18所示，等效阻抗为 图7.18 对称三相负载的等效电路 图7.19 C相短时路的电路图(2)图7.19表示C相负载短路的情形，这时A、B两相负载均承受线电压。取为参考相量，即。于是电压、电流相量图如图7.20所示。对于不对称三相

27、电路，只能根据式(7.28)计算平均功率。由相量图可知，A、B两相的相电压和相电流和相位差均为30°，故平均功率为图7.20 C相短路时的相量图图7.21(a)所示对称三相电路，已知负载额定电压为380V，额定功率为3.3kW，功率因数为0.5(感性)，线路阻抗。(1) 若要求负载端线电压为额定电压，问电源线电压应为多少？(2) 若电源线电压为380V，求负载端线电压和负载实际消耗的平均功率。 图7.21 例题7.5 (1) 要求负载端线电压为380V，求电源线电压时可采用倒推法。设负载为星接，取出A相，如图(b)所示。取为参考相量，即线电流 A越前于的相位差故 A电源相电压 V所求

28、电源线电压为V(2) 当电源线电压为380V时，根据响应与激励的齐性关系，得如下比例式由此求得负载线电压为V由于功率与电压的平方成正比，所以当电源电压为380V时，负载消耗的平均功率为 1 对称三相电路功率的测量测量对称三相电路的功率时，只需用一个功率表测量其一相功率，然后乘以3。在某些情况下，星形联接的负载中性点不易引出，或负载为三角形连接，此时必须制造一个人工中性点，如图7.22。也就是用三个相等的大电阻联成星形并引出其中性点。 图7.22用单个功率表测量对称电路功率 图7.23二表法测量三相三线制功率2 任意三相三线制功率的测量要测量任意(对称或不对称)三相三线制的功率需用两个功率表，即

29、二功率表法，如图7.23。两个功率表读数的和等于总功率，证明如下： 将图7.23等效成YY连接，如图7.24。因为负载吸收的总瞬时功率等于三个电源发出的瞬时功率之和，所以 (7.31)在三相三线制中，线电流满足，即。代入式(7.47)，得 (7.32)对上式各项取平均值便得三相平均功率 (7.33)式中表示与的相位差；表示与的相位差。根据图7.23中功率表的接法可见，式(7.33)等号右端两项分别是两个功率表的读数。这就证明了无论是对称还是不对称情况，两个功率表读数的和都等于总功率。但是，两个功率表的读数一般是不相等的，既使在对称情况也是如此。下面对此作进一步分析。 图7.24对称三相三线制Y

30、Y等效电路 图7.25 YY等效电路的相量图 设图7.24为对称三相电路，则和是等电位点，每个等效负载上的电压等于所在相的相电压。如选为参考相量，用表示负载的功率因数角，根据星形连接特点，可作出图7.25 所示的相量图。此相量图中有关电压、电流为 据此得功率表W1、W2的读数分别为 (7.34) (7.35)式(7.34)、(7.35)表明，当相电压越前于相电流的相位差(非纯电阻负载)时，。特别是当功率因数在0.5以下，即时，将有一个功率表的读数(即)为负(显示负值或指针反偏，这时需改接 “*”标位置)。这时三相电路的功率应等于两个功率表读数之差。在对称情况下，根据二功率表的读数和还可推算出负

31、载的无功功率和功率因数角。因若将式(7.34)与(7.35)相减，则得 (7.36)因此对称负载的无功功率为 (7.37)式(7.34)与(7.35)之和为有功功率，所以功率因数角 (7.38)但是，如果仅要测量对称三相电路的无功功率，用一个功率表便足矣，测量电路见习题7.13。3 三相四线制功率的测量在三相四线制中要应用三个功率表，即三功率表法，才能测量功率，如图7.26 。根据图中各功率表的接法可知，每个功率表测得的功率都是所在相负载吸收的功率，所以它们的和就等于三相四线制负载吸收的总功率。 图7.26三表法测量三相四线制功率三功率表法也可用来测量三线制的功率，这只要把各功率表的电压线圈的

32、另一端彼此联接在一起即可。但如这个公共连接点未与三相负载的中性点相联，则各功率表读数并不指示各相功率，仅各读数的和才指示各相功率的和。 1在星形联接的三相正弦电流电路中，线电流等于相电流，若相电压对称，则线电压有效值为相电压有效值的倍。2在三角形联接的三相正弦电流电路中，线电压等于相电压，若相电流对称，则线电流的有效值为相电流有效值的倍。3对称三相正弦电流电路不论接成星形或三角形，其平均功率等于线电压、线电流和功率因数三者乘积的倍，即，式中是相电流滞后于相电压的相位差。4计算对称星形联接的电路时，可用无阻抗的中线将各中性点连通，然后取出一相进行计算，若对称三相电路中有三角形联接的部分，则应先将其等效变换为星形联接，再取出一相计算。5不对称三相电路不能直接取出一相计算，应视为一般正弦电流电路选择适当的分析方法。7.1已知对称星形联接三相电源的A相电压为，试写出各线电压瞬时表达式，并作各相电压和线电压的相量图。7.2已知星形联接的负载各相电压相量分别