(完整版)初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

1、初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （a, b,c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22 .二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增

2、大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.22. y ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .2 ，,，一4. y a x hk的性质:3. y a x h的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , 0X=hx

3、h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0.a 0问卜h , 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0.左加右减。2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h , kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k ,确定其顶点坐标h , k ； 保持抛物线y a

4、x2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下:y=ax2y=a (x-h)2+k向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位y=a(x-h)2向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位 > y=ax 2+ k向上（k>0）【或下（k<0）l平移|k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减,h值正右移，负左移;上加下减”k值正上移，负下移四、二次函

5、数2 axbx c的比较从解析式上看,2 axbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y ab2a4ac4ab2a4ac b24a六、二次函数y2 axbxc的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b2a顶点坐标为b2a24ac b4a平移|k|个单位y随x的增大而减小;x 2时,2ay随x的增大而增大;2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为b2a顶点坐标为b2a4ac b24a当x 2时,2a2y随x的增大而增大；当x 2时，y随x的增大而减小；当x 9时，y有最大值4ac b2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1 . 一般式：y ax2 bx c （a, b ,

6、 c 为常数，a 0）； 22 .顶点式：y a（x h） k （a, h, k为吊数，a 0）;3 .两根式（交点式）：y a（x xi）（x x2） （a 0, %, x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a 当a 0时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下， a的值越小，开口

7、越小，反之 a的值越大，开口越大.2. 一次项系数b3.常数项c当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b为0对称轴为y轴）y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负.y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象

8、与x轴的交点个数：当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点A为，0 , B x2 , 0 （xi x2）,其中的x1 , 加是一元次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y 0 ；2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 .22.抛物线y ax bx c的图象与y轴一te相交，交点坐标为 （0, c）；二次函数对应练习试题一、选择题1 .二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是（）A.（2, -11） B. （2, 7） C.（2, 11）

9、 D.（2, 3）2 .把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A.个即可）二、填空题11. 一个函数具有下列性质：图象过点（一 1, 2）,当X<0时，函数值y随自变量x的增大而增12.抛物线y 2（x 2）2 6的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐标轴所围八_一一_2_一一_2_2_2-A. y 2(x 1) B. y 2( x 1) C. y 2x 1 D. y 2x 12. k3.函数y kx k和y -（k 0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）x确的个数是（）( )9.二次函数y2,则 b 10.已知抛物线y=-2 （x+3） 35,如果y

10、随x的增大而减小，那么大；满足上述两条性质的函数的解析式是成的三角形面积为4.已知二次函数 y ax2 bx c（a 0）的图象如图所示，则下列结论：a,b同号；当x 1和x 3时，函数值相等；4a b 0当y2时，x的值只能取0.其中正5.已知二次函数y ax2 bx c（a由图象可知关于x的一元二次方程 ax2 bx c 0的两个根分别是 Xi1.邓口 x2A. 1 . 3B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则点（ac,bc）在（)7.方程2x x22的正根的个数为（）xA.0个B.1 个C.2个.3 个与y轴交于点C,且OC=2.则这条

11、抛物线的解析式为2 x2 xbx 3的对称轴是xx的取值范围是A.1个B.2 个 C. 3个 D. 40）的顶点坐标（-1 , -3.2 ）及部分图象（如图）,B.第二象限D.第四象限8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),B.X22C. y xx 2或y2 xx 2D.yx2 或 yx2x 2A. y x2x2y2 x13 .二次函数y 2x2 4x 1的图象是由y 2x2 bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个 单位得到的，则b= ,c=。14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 J兀取3.14).三、

12、解答题:515 .已知二次函数图象的对称轴是x 3 0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-).2第15题图(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？1216 .某种爆竹点燃后，其上升图度h (米)和时间t (秒)符合关系式h v0t gt2 (0<tw2),其2中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以 V0=20米/秒的初速度上升，(1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

13、y x 3与坐标轴的两个交C,抛物线顶点为D.APC ： S ACD 5 : 4 的点 P17 .如图，抛物线y x2 bx c经过直线点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为(1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使 S的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再 进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经 营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用

14、100元.设每吨材料售彳介为x (元)，该经销店的月利润为 y (元).(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出 x的取值范围)；(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分)之间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0< x< 30).(1)当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时， 学生的接受能力逐步减弱？(2)第10分

15、钟时，学生的接受能力是多少?(3)第几分钟时，学生的接受能力最强?2、如图，已知 ABC是一等腰三角形铁板余料，其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在4ABC 上截出一矩形零件 DEFG使EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少？3、如图，4ABC中,/B=90° ,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发，问经过几秒钟4PBQ的面积最大？最大面积是多少？4、如图，一位运动员在距篮下 4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当

16、球运行 的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的 距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25米处出手，问：球出手时, 他跳离地面的高度是多少.5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m?(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m?比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？6、某商场以每件20元的

17、价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140 2x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的销售价x间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？二次函数专题复习图像特征与a、b、c、符号的关系1、已知二次函数y ax2 bx c,如图所示，若a 0,c 0 ,那么它的图象大致是()2、3、A.第一象限B.第二象限C a+b+c>0 d a- b+c< 04、二次函数y=ax2+bx+c (aw0)的图象如图所示，则下列结论: a>0;c>0;

18、 ?b2-4ac>0,其中正确的个数是()A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个c5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1,则点M (b, a)在()C.第三象限D.第四象限8、已知二次函数y=ax 2+bx+c (aw 0)的图象如图所示,有下列结论:b2 -4ac>0; abc> 0; 8a+c>0; 9a+3b+cv0其中，正确结论的个数是（A、1B、2）C、3D、46、二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则（）22A、a0,b4ac0b、a0, b4ac022C、a0,b4ac0d、a0, b4ac07、已知二次函数 y=ax 2+bx+c的

19、图象如图所示，那么下列判断不正确的是()A、acv 0B、a-b+c> 0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是xi=-1, x2=5二次函数对应练习试题参考答案一，选择题、1 . A 2 , C 3 . A 4 . B 5.D 6 . B 7.C 8.C二、填空题、9. b 4 10 . x<-3 11 .如 y 2x2 4, y 2x 4 等(答案不唯一)12. 1 13 . -8 7 14. 15三、解答题2aa b c 65c215. (1)设抛物线的解析式为 y ax2 bx c,由题意可得151o5斛得 a, b3, c-所以 y x3x2222(2)

20、 x 1 或-5 (2) x 31216. (1)由已知得，15 20t 10 t2,解得t1 3,t 2 1当t 3时不合题意，舍去。所以当爆竹2点燃后1秒离地15米.(2)由题意得, 又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的225t 20t = 5(t 2)20 ,可知顶点的横坐标 t 2,1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升.17. (1)直线y x 3与坐标轴的交点A (3, 0), B (0, -3).则9 3b c 0c 3解得所以此抛物线解析式为y x2 2x 3. (2)抛物线的顶点D (1, 4),与X轴的另一个交点 C. 一 、r _212I 1 2_(1, 0).设 P(

21、a,a2a 3),则(一 4 a 2a 3) : ( 4 4) 5: 4.化简得 a 2a 3 522当 a22a3>0 时，a2 2a 3 5得 a 4,a2. . P (4, 5)或 P (2, 5)当a22a3v0时，a2 2a 3 5即a2 2a20 ,此方程无解.综上所述，满足条件的点的坐标为(4, 5)或(一2, 5).18. (1) 45 260 240 7.5=60 (吨).(2) y (x 100)(45 260 x 7.5),化简得：10103 23 232y -x 315x 24000. (3) y x2 315x 24000 (x 210)9075 .4 44红星

22、经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.x为210元，而对于月销售额(4)我认为，小静说的不对.理由：方法一：当月利润最大时,260 x 、3160)2 19200来说,x(457.5)3(x104，小静说的不对.当x为160元时，月销售额 W最大.，当x为210元时，月销售额 W不是最大.方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为 17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元. 17325V 18000,，当月利润最大时，月销售额W不是最大.，小静说的不对.二次函数应用题训练参考答案1、(1) 0<x<13, 13Vx<30; (2) 59; (3) 13.2、过 A 作 AM ±BC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=5202 122 =16cm.设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由 zXADGABC,ANAMDG即回2BC '16劈，故 DG=|(16-x). y=DG - DE= 3 (16-x)x=-§ (x2-16x)=-"3 (x-8)2+96,从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大