根与系数关系知识讲解及练习教学内容

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除韦达定理：对于一元二次方程ax2bx c 0( a 0) ，如果方程有两个实数根x1, x2 ，则x1 x2b , x1 x2caa说明：（ 1）定理成立的条件0（2）注意公式重 x1x2b的负号与 b 的符号的区别a根系关系的几大用处验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；例如：已知方程x2-5x+6 0，下列是它两根的是（）A 3，-2B.-2,3C.-2，-3D.3,2 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和 x2 的代数式的值，如； 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关

2、系求出一元二次方程的一般式 .求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数 .（后三种为主）（1）计算代数式的值例 若 x1 , x2 是方程 x22x 20070 的两个根，试求下列各式的值：(1)x12x22；(2)11；(3)( x15)( x25) ；(4) | x1 x2 |x1x2解： 由题意，根据根与系数的关系得：x1x22, x1 x22007(1)x12x22( x1x2 )22x1x2(2) 22(2007)4018(2)11x1x222x1x2x1 x220072007只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除(3) (

3、x1 5)( x2 5) x1 x2 5( x1 x2 ) 252007 5( 2) 251972(4)| x1x2 |( x1x2 ) 2( x1x2 )24x1x2( 2)24(2007)2 2008说明： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x12x22(x1211x1 x2， (x12(x1 x2 )2x2 )2x1x2 ，x2x1 x2x2 )4x1 x2 ，x1| xx |( xx )24 x x2， x1 x22x1 2 x2x1 x2 (x1x2 ) ，12121x13x23( x1x2 )33x1 x2 ( x1x2 ) 等等韦达定理体现了整体思想（2）构造新方程

4、理论：以两个数为根的一元二次方程是。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除例 解方程组x+y=5xy=6解：显然， x， y 是方程 z2-5z+6 0 的两根由方程解得z 1=2,z 2=3原方程组的解为x 1=2,y 1=3x 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求 k 的取值范围。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除解：设此三角形的三边长分别为a、 b、 c，且 a、b 为的两根，则c=2由题意知2 k -4 × 2×2 0， k 4

5、 或 k-4只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除为所求。【典型例题】例 1 已知关于 x 的方程 x2(k1)x1 k 210 ，根据下列条件，分别求出k 的值4(1) 方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x1 , x2 满足 | x1 | x2 分析： (1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是x1x20 ，二是x1x2 ，所以要分类讨论解： (1)方程两实根的积为5 (k 1) 24( 1 k 21) 034k41 k 2, kx x215214所以，当 k4 时，方程两实根的积为5(2)由 | x1 |x2 得知：当 x10时， x1x2 ，所以方程有两

6、相等实数根，故0k3；2当 x10时，x1x2x1x20k10k1，由于0k3，故 k1不合题意，舍去23综上可得， k时，方程的两实根x1 , x2 满足 | x1 |x2 2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值， 务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0 只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除例 2 已知 x1, x2 是一元二次方程4kx24kxk10 的两个实数根(1)是否存在实数 k ，使(2x1x2 )( x12x2 )3成立？若存在，求出 k 的值；2若不存在，请您说明理由(2)求使x1x22 的值为整数的实数k 的整数值x2x1解

7、： (1)假设存在实数 k ，使 (2x1x2 )( x12x2 )3成立2 一元二次方程 4kx24kxk1 0的两个实数根4k0k 0，( 4k)244k(k1)16k0又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx24kx k1 0 的两个实数根x1x21x1 x2k14k (2 x1x2 )( x12x2 ) 2( x12x22 ) 5x1 x22( x1 x2 ) 29x1 x2k93k9，但k 04k253不存在实数 k ，使 (2 x1x2 )( x12x2 )成立2(2)x1x22x12x222( x1x2 )244k44x2x1x1 x2x1x2k 1k 1 要使其值是整数， 只

8、需 k1能被 4 整除， 故 k11, 2,4 ，注意到 k0 ，x1x22 的值为整数的实数 k 的整数值为2, 3,5 要使x1x2说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2) 本题综合性较强，要学会对4 为整数的分析方法 k 1只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1一元二次方程 (1 k )x22x10 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ()A k 2B k 2, 且 k 1C k 2D k 2, 且 k 12若 x1 , x2 是方程 2x26x30 的两个根，

9、则11的值为 ()x1x2A 2B 2C192D 2x 的方3已知菱形 ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且 OA、OB 的长分别是关于程 x2(2 m1)xm230 的根，则 m 等于 ()A 3B 5C5或 3D 5或34t 是一元二次方程2bx c0 ( a0)24acax的根，则判别式b和完全平方若式 M(2atb)2 的关系是 ()A MB MCMD 大小关系不能确定5若实数 ab ，且 a, b 满足 a28a 50, b28b50 ，则代数式b1a1 的值为 ()a1b1A 20B 2C 2或 20D 2或206如果方程 (bc)x2(ca)x(ab)0 的两根相等，

10、则 a, b, c 之间的关系是_7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x28x70 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_8若方程 2x2(k1)xk30 的两根之差为1，则 k 的值是 _ 9设 x1, x2 是方程 x2pxq0 的两实根， x11, x21是关于 x 的方程 x2qxp0的两实根，则p = _， q = _10a,b, ca62ab9，则 a= _b = _c= _已知实数满足，只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除11对于二次三项式x210 x36 ，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理

11、由12n021mn 0m 的，关于 x 的方程x(m 2n) x有两个相等的的正实数根，求若4n值13已知关于x 的一元二次方程x2(4 m1)x2m10 (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为x1 , x2111，且满足x2，求 m 的值x1214已知关于 x 的方程 x2( k 1)x1 k21 0 的两根是一个矩形两边的长4(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是5 时，求 k 的值B 组1已知关于x 的方程 (k1)x2(2 k3) xk10 有两个不相等的实数根x1 , x2 (1) 求 k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由2已知关于 x 的方程 x23xm