建筑力学静定结构的位移计算实用教案

1、位移位移(wiy)(wiy)绝对绝对(judu)(judu)位移位移相对相对(xingdu)(xingdu)位移位移广义位移广义位移三、刚架的位移举例三、刚架的位移举例 A A 点的线位移点的线位移 A水平线位移水平线位移 AH竖向线位移竖向线位移 AV截面截面A A 的角位移的角位移 A第1页/共55页第一页，共56页。C C、D D 两点的水平两点的水平(shupng)(shupng)相对线位移相对线位移 C (D)H = C +D A A、B B两个截面两个截面(jimin)(jimin)的相对转角的相对转角 AB=A+B 第2页/共55页第二页，共56页。四、引起四、引起(ynq)(y

2、nq)位移的原因位移的原因一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如图一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如图a a）、支座）、支座(zh zu)(zh zu)移移动（如图动（如图b b）材料收缩、制造误差等）材料收缩、制造误差等 第3页/共55页第三页，共56页。五、五、 计算计算(j sun)(j sun)位移的目的位移的目的 有以下有以下(yxi)(yxi)三个方面：三个方面： 1 1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过(chogu)(chogu)允许的位移限制允许的位移限制值值 2 2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用

3、静力平衡条、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。 3 3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。第4页/共55页第四页，共56页。11-2 虚功原理和单位(dnwi)荷载法 一、变形体的虚功原理一、变形体的虚功原理功： 力对物体在一段路程上累积效应的量度力对物体在一段路程上累积

4、效应的量度(lingd)(lingd)，也是传递和转换能量的量度，也是传递和转换能量的量度(lingd) (lingd) 实功 ：力在自身力在自身(zshn)(zshn)引起的位移上所作的功引起的位移上所作的功 当静力加载时，即：当静力加载时，即： F FP1P1由由0 0增加至增加至F FP1P1 由由0 0增加至增加至力力F Fp1p1在位移在位移 上作的实功上作的实功 121411P11121Fw111111第5页/共55页第五页，共56页。虚功虚功(x (x n)n)： 力在其他因素力在其他因素(yn s)(yn s)引起的位移上作的功引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在

5、作功的过程中，力的大小其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小(dxio)(dxio)保持不变保持不变梁弯曲后，再在点梁弯曲后，再在点2 2处加静力荷载处加静力荷载F FP2P2，梁产生新的弯曲。位移，梁产生新的弯曲。位移 1212为力为力F FP2P2引起的引起的F FP1P1的作的作用点沿用点沿F FP1P1方向的位移。力方向的位移。力F FP1P1在位移在位移 1212 上作了功，为虚功，大小为上作了功，为虚功，大小为 W W1212=F=FP1 P1 1212第6页/共55页第六页，共56页。在小变形条件下，在小变形条件下， 12 12由图示的原始形状、尺寸计算，并称由图示

6、的原始形状、尺寸计算，并称(bn chn)(bn chn)此状态为虚功计算的此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，位移状态。与之相应， FP1 FP1单独作用的状态单独作用的状态 为虚功计算的力状态。为虚功计算的力状态。 当力状态当力状态(zhungti)(zhungti)的外力在位移状态的外力在位移状态(zhungti)(zhungti)的位移上作外力虚功时，力状态的位移上作外力虚功时，力状态(zhungti)(zhungti)的内力也在位移状态的内力也在位移状态(zhungti)(zhungti)各微段的变形上作内力虚功。各微段的变形上作内力虚功。 第7页/共55页第七页，共56页。 根据

7、功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于(dngy)变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。 虚功原理也可以简述(jin sh)为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。第8页/共55页第八页，共56页。二、二、 单位荷载法单位荷载法 1 1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移(wiy)(wiy)的方法。的方法。2 2、计算结构位移、计算结构位移(wiy)(wiy)的一般公式的一般公式第9页/共55页第九页，共56页。M K= duF K+Ri

8、Ci=d+ N+QFFFdv式中，式中，F =1 =1 则则Md+Fdu N+FdvQ FRiCi 经进一步推导经进一步推导(tudo)(tudo)，可得，可得NNPPKF FMMdsdsEIEA QQPRiiF FdsFCGA第10页/共55页第十页，共56页。式中：E 弹性模量； G 剪切模量；A 横截面积； I 截面惯性矩；k 截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。第11页/共55页第十一页，共56页。11-3 静定结构在荷载作用下的位移(wiy)计算一、静定一、静定(jn dn)(jn dn)结构在荷载作用下的位移公式结构在荷载作用下的位移公式 如果结构只有荷载

9、作用，因支座移动引起的刚体位移如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移(wiy) (wiy) 0 0，位移，位移(wiy)(wiy)公式则为公式则为 Ci NNPPKPQQPF FMMdsdsEIEAkF FdsGA 第12页/共55页第十二页，共56页。二、各类杆件结构在荷载作用下的位移二、各类杆件结构在荷载作用下的位移(wiy)(wiy)公式公式（1 1）梁和刚架）梁和刚架 梁式杆的位移梁式杆的位移(wiy)(wiy)中弯矩的影响是主要的中弯矩的影响是主要的 ，位移，位移(wiy)(wiy)计算公式计算公式中取第一项便具有足够的工程精度中取第一项便具有足够的工程精度 PKPMMdsE

10、I第13页/共55页第十三页，共56页。（2 2）桁架）桁架(hngji) (hngji) 各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等(xingdng)(xingdng)。因而。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式只取公式中的第二项并简化为实用的形式NNNPNPKPF FF FdsdsEAEANNPKPF F lEA第14页/共55页第十四页，共56页。（3 3）组合）组合(zh)(zh)结构结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式既有梁式杆，又有链杆，取用公式(gngsh)(gngsh)中的前两项中的前两项 NNPPK

11、PF F lMMdsEIEA（4 4）拱）拱 一般一般(ybn)(ybn)计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计 NNPPKPF F lMMdsEIEA第15页/共55页第十五页，共56页。三、虚拟三、虚拟(xn)(xn)状态的选取状态的选取 欲求结构在荷载欲求结构在荷载(hzi)(hzi)作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载(hzi)(hzi)：1 1）欲求一点的线位移，加一个）欲求一

12、点的线位移，加一个(y )(y )单位集中力单位集中力2 2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶 第16页/共55页第十六页，共56页。3 3）欲求两点的相对线位移）欲求两点的相对线位移(wiy)(wiy)，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力 4 4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反(xingfn)(xingfn)的单位集中力偶的单位集中力偶 第17页/共55页第十七页，共56页。5 5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力）

13、欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为偶臂为d d ，每一力，每一力(yl)(yl)的大小为的大小为1/d1/d第18页/共55页第十八页，共56页。力和力偶力和力偶(l u)(l u)统称为广义力，统称为广义力， 单位单位(dnwi)(dnwi)广义力用广义力用X=1=1表示表示(biosh)(biosh)线位移和角位移统称广义位移，用线位移和角位移统称广义位移，用表示表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同正值表示

14、广义位移的方向与广义力所设的指向相同负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反 第19页/共55页第十九页，共56页。四、梁的位移及刚度四、梁的位移及刚度(n d)(n d)校核校核 1 1、 梁的位移梁的位移(wiy) (wiy) 挠度挠度(nod)(nod)：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用用w w 表示，表示， 规定规定w w 向下为正。向下为正。 转角：转角： 横截面的角位移横截面的角位移 ，规定顺时针转为正，规定顺时针转为正第20页/共55页第二十页，共56页。在工程设计手册中列有常见梁的位移在工程

15、设计手册中列有常见梁的位移(wiy)(wiy)的计算结果（如表的计算结果（如表11.111.1所示），可供计算所示），可供计算时查用。时查用。表表11.1 11.1 梁的挠度梁的挠度(nod)(nod)与转角公式与转角公式 22PBF lEI3max3PF lwEIBMlEI2max2MlwEI2.悬臂梁 弯曲力偶(l u)作用在自由端1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端最大挠度转角荷载类型第21页/共55页第二十一页，共56页。续表36BqlEI4max8qlwEI2labA216PBF lEIab2l3max48PF lwEI时4.简支梁 集中荷载(hzi)作用跨中位置上3.悬臂梁 均匀分布荷

16、载(hzi)作用在梁上时第22页/共55页第二十二页，共56页。6简支梁弯曲(wnq)力偶作用在梁的一端5简支梁 均匀分布荷载(hzi)作用在梁上A324BqlEI4max5384qlwEI6AM lEIB3M lEI2max9 3MlwEI3lx -（在处）续表续表-第23页/共55页第二十三页，共56页。2 2梁的刚度梁的刚度(n d)(n d)校核校核梁的位移过大，则不能正常梁的位移过大，则不能正常(zhngchng)(zhngchng)工作工作 对于梁的挠度对于梁的挠度(nod)(nod)，其许可值以许可的挠度，其许可值以许可的挠度(nod)(nod)与梁跨长之比与梁跨长之比wl为标准

17、 在工程上，吊车梁的在工程上，吊车梁的 1/600 1/600 wl铁路钢桁梁的铁路钢桁梁的 1/9001/900wl梁的刚度条件为梁的刚度条件为: :maxwwll第24页/共55页第二十四页，共56页。 例11-3 图示简支梁由工字钢制成， 跨度中点(zhn din)处承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度l l=3m ，许用应力(yngl) =160MPa，许用挠度(nod)w=/500，弹性模量E=2105MPa ，试选择工字钢的型号。ll 第25页/共55页第二十五页，共56页。解解 （1 1）按强度）按强度(qingd)(qingd)条件选择工字钢型号条件选择工字钢型号梁的最

18、大弯矩为：梁的最大弯矩为： max4PF lM3340 103 104Nmm 73 10 N mm按弯曲正应力按弯曲正应力(yngl)(yngl)强度条件选截面强度条件选截面m ax7m ax5333101601.87510187.5MWMNm mWM P am mcm第26页/共55页第二十六页，共56页。查型钢表选用查型钢表选用(xunyng)20a(xunyng)20a工字钢工字钢, ,其弯曲截面系数为其弯曲截面系数为237cm3237cm3，惯性矩，惯性矩I=2370cm4I=2370cm4（2 2）校核）校核(xio h)(xio h)梁的刚度梁的刚度33357440 10(3000

19、)4848 2 102.37 10pF lNmmwEIMPamm w30006500mmmm=4.75mm=4.75mm=梁的刚度梁的刚度(n d)(n d)足够足够 所以，选用所以，选用20a20a工字钢工字钢 第27页/共55页第二十七页，共56页。3 3、提高、提高(t go)(t go)梁抗弯刚度的措施梁抗弯刚度的措施梁的挠度梁的挠度(nod)(nod)和转角与梁的抗弯刚度和转角与梁的抗弯刚度EI EI 、梁的跨度、梁的跨度L L 、荷载作用情况有关，那、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：(1)(1) 增大增大(zn d

20、)(zn d)梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度EI EI 增大梁的增大梁的EIEI值主要是设法增大梁截面的惯性矩值主要是设法增大梁截面的惯性矩I I 值，一般不采用增大值，一般不采用增大E E 值的方法。值的方法。 在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩I I 。 第28页/共55页第二十八页，共56页。（2 2）减小梁的跨度）减小梁的跨度(kud)L(kud)L梁的变形与其跨度的梁的变形与其跨度的n n次幂成正比。设法减小梁的跨度次幂成正比。设法减小梁的跨度L L ，将有效地减小梁的变形，从而提高，将有效地减小梁的变形，从而提

21、高其刚度。在结构其刚度。在结构(jigu)(jigu)构造允许的情况下，可采用两种办法减小构造允许的情况下，可采用两种办法减小L L 值：值： 增加增加(zngji)(zngji)中间支座中间支座 45384aqlfEIbf 38af而第29页/共55页第二十九页，共56页。两端(lin dun)(lin dun)支座内移 第30页/共55页第三十页，共56页。如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载

22、分的荷载(hzi)(hzi)作用下，使梁跨中产生向上的挠度作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图（图c c），从而使梁中段在荷载），从而使梁中段在荷载(hzi)(hzi)作用下产生作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。的最大挠度值。第31页/共55页第三十一页，共56页。(3) (3) 改善荷载的作用改善荷载的作用(zuyng)(zuyng)情况情况在结构允许在结构允许(ynx)(ynx)的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中

23、力分散作用，甚至矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。 第32页/共55页第三十二页，共56页。11-3 图乘法(chngf)一、图乘法一、图乘法(chngf)(chngf)原理原理1 1、图乘法、图乘法(chngf)(chngf)的适用条件：的适用条件：（1 1）杆段的轴线为直线）杆段的轴线为直线 （2 2）杆段的弯曲刚度）杆段的弯曲刚度EIEI为常数为常数 直梁和刚架的位移公式则为直梁和刚架的位移公式则为001llppMMdsMM dxEIEI （3 3

24、） M MP P图和图和图中至少有一个直线图形图中至少有一个直线图形 M第33页/共55页第三十三页，共56页。图乘法图乘法(chngf)原理原理 dPMMsEI1dPMMsEI1tandPxMxEItandPxMxEItan1BDcBDcAxAyEIEI第34页/共55页第三十四页，共56页。图乘法求位移图乘法求位移(wiy)的一般表达式为的一般表达式为1CAyEI 注意注意(zh y)(zh y)：1. 1. 应取自直线应取自直线(zhxin)(zhxin)图中图中2.2.若若 与与 在杆件的同侧在杆件的同侧, , 取正值取正值; ;反之反之, ,取负值取负值3. 3. 如图形较复杂，可分

25、解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. .cyAcy第35页/共55页第三十五页，共56页。3.3.图乘法图乘法(chngf)(chngf)的步骤的步骤: :(1).(1).设虚拟设虚拟(xn)(xn)状态；状态；PMM(2).(2).画画图图、图图；(3).(3).图乘求位移图乘求位移(wiy)(wiy)第36页/共55页第三十六页，共56页。下面介绍几个规则图形的面积(min j)和形心位置 第37页/共55页第三十七页，共56页。第38页/共55页第三十八页，共56页。当图形的面积和形心不便当图形的面积和形心不便(bbin)(bbin)确定时，可以将其分解成几个简单的图形，确定时，

26、可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相分别与另一图形相应的纵坐标相乘。应的纵坐标相乘。4.4.图形图形(txng)(txng)的分解的分解梯梯- -梯同侧组合梯同侧组合(zh)(zh)：1122111112121()()233233CCCAyA yA yEIEIlaedlbedEI第39页/共55页第三十九页，共56页。同侧组合同侧组合(zh)(zh)：1122111111()( -b) (d( -d)223CCCAyAyA yEIEIlbd el aeEI第40页/共55页第四十页，共56页。1122111121121()()233233CCCAyAyA yEIEIladelbedE

27、I异侧组合(zh)第41页/共55页第四十一页，共56页。由区段叠加法作的弯矩图由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可以看成一个梯形，其弯矩图可以看成一个梯形(txng)(txng)和一个规则和一个规则抛物线图形的叠加抛物线图形的叠加 。第42页/共55页第四十二页，共56页。曲曲- -折组合折组合(zh)(zh)1122331cccA yA yA yEI第43页/共55页第四十三页，共56页。阶梯形截面阶梯形截面(jimin)杆杆1122331 12 23 3cccA yA yA yE IE IE I第44页/共55页第四十四页，共56页。二、二、 图乘法计算图乘法计算(j sun)(j su

28、n)直梁和刚架的位移直梁和刚架的位移 下面举例应用下面举例应用(yngyng)(yngyng)图乘法求直梁和刚架的位移图乘法求直梁和刚架的位移 例例14.4 14.4 试求图试求图a a所示外伸梁所示外伸梁C C点的竖向位移点的竖向位移(wiy) (wiy) CVCV。梁的。梁的EI=EI=常数常数 第45页/共55页第四十五页，共56页。解解 MP、 图分别图分别(fnbi)(fnbi)如图如图 (b).(c) (b).(c)所示。所示。 BC BC 段的段的MPMP图是标准图是标准(biozhn)(biozhn)二次抛物二次抛物线；线； ABAB段的段的MPMP图较复杂图较复杂(fz)(f

29、z)， 但可将其分解为一个三角形和一个标准但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形二次抛物线图形 。M第46页/共55页第四十六页，共56页。由图乘法(chngf)得 1122332111()11328342cvA yA yA yEIlAqlly221128Alql2232ly 232138Alql3122ly 第47页/共55页第四十七页，共56页。代入以上数据代入以上数据(shj),(shj),于是于是33313488163124CVqlqllqlllEI 4128qlEI第48页/共55页第四十八页，共56页。例例11.5 11.5 试求图试求图a a所示伸臂梁所示伸臂梁C C点的竖向位移点的竖向位移(wiy) cv (wiy) cv 。 设设EI=EI=25105 . 1mkN 第49页/共55页第四十九页，共56页。解: 荷载荷载(hzi)(hzi)弯矩图和单位弯矩图如图弯矩图和单位弯矩图如图 b c b c所示。所示。 在在ABAB段段, M, MP P和和图均是三角形；图均是三角形； 在在BCBC段，段，M MP P图图 可看作可看作(kn zu