2021年全国高考乙卷数学(文科)试题【含老师讲解逐题解析】

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学【文科】注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答眶卡上。 用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置,匕 将条形码横贴在答题卡右上角”条形 码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不 能答在试卷上，3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位也上：如需改动,先划拣原来的答案，然后再写上新答案：不准使用内相 和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保持答题卡的整

2、洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。适用地区：河南、安徽、江西、山西、陕西、黑龙江、吉林、甘肃、内蒙古、青海、宁夏、一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知全集。=1,2,345,集合M = 1,2,N = 3,4,则L(MuN)=()A. 5B. L2C. 3,4D.L2,3,42 .设反= 4+3i,则 Z=()A. -3-41B. -3 + 4iC. 3-41D. 3 + 413 .已知命题 ：3x£R,snixvl ；命题qWxeR ,阴N 1，则下列命题中为真命题的是()A. 八4B. 人C. 人

3、t?D.Tpvq)4.A.3兀和B. 3兀和2C. 6兀和D. 6兀和25.若苍y满足约束条件x+y 2 4,V-y < 2,则Z = 3x+ y的最小值为（ ）'«3,A. 18B. 10C. 6D. 4，兀6. COS-cos125兀121 17 .在区间0,-随机取1个数，则取到的数小于工的概率为（）8 ,下列函数中最小值为4的是（）A. y = X2 + 2x + 44B- V = |sm v|+m7C. y = 2X + 2:"rD. y = hu + Inx1 r9.设函数f（X）= T,则下列函数中为奇函数的是（）1 + XD.10 .在正方体中

4、，尸为与" 中点，则直线相与4R所成的角为（）11 .设8是椭圆C：工+尸=1的上顶点，点尸在C上，则P6的最大值为（） 5A.-2B.任C.D.2函数/Q） = S111w + COSh的最小正周期和最大值分别是（）12.设4W0,若x为函数/（x） = n（x-4）.（x-b）的极大值点，则（）A. a <bB. a>bC. ab <a2D.ab>a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知向量£ 二（2,5）石=（九4）,若"B，则人二14 .双曲线上一22 = 1右焦点到直线/ + 2）-8 = 0的距离为.45

5、15 .记.A6c的内角A, B, C的对边分别为a", c,面积为8 = 60。，a2+c2=3ac.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符公要求的一组答案即可）.H-2-H图2 -H 图三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1721为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数

6、据如卜.:旧设备9.810.310.01029.99.810.010 110.29.7新设备10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为i和亍，样本方差分别记为s；和5：. .(1)求，y , S：, S；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).18.如图，四棱锥P46co的底面是矩形，P。_1底面46。，M为8c的中点，且PBLAM (1)证明：平面RW_L平面P8O：(2)若PD

7、 = DC = 1,求四棱锥尸一A6C。的体积.19 .设,是首项为1的等比数列，数列也满足“=等.已知%, 3生,9%成等差 数列.(1)求“和“的通项公式：记S“和7；分别为,和也的前项和.证明：T“吟.20 .已知抛物线C: p = 2PHp > 0)的焦点尸到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知。为坐标原点，点P在C匕点。满足夕。=9。尸，求直线。斜率的最大值.21 .已知函数/(x) = F - V + ax + 1.（1）讨论/（X）的单调性;（2）求曲线y = /（x）过坐标原点的切线与曲线y = /（x）的公共点的坐标.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23

8、题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修44:坐标系与参数方程22 .在直角坐标系工。）,中，OC的圆心为C（2），半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作QC的两条切线.以坐标原点为极点，八轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极坐标方程.选修4-5:不等式选讲23 .已知函数/（力=0-4+卜+3卜（1）当4 = 1时，求不等式/（x）之6解集;（2）若/（x）-，求a的取值范围.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1 .己知全集 =1,2,3,4,5,集合 = L2,N = 3

9、,4,则Q(MuN)=()A. 5B. L2C. 3,4D.123,4【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：MUN = 1,23,4,则L(MUN) = 5.故选:A.2 .设七= 4+31,则2=()A. -3-41B. -3 + 4iC. 3-41D. 3 + 41【答案】C【解析】【分析】由题意结合史数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得:4 + 3/ （4 + 3i）i 4/-3 . .Z = = 不 = - = 3-4/.故选：c.3 .已知命题：3x£R.smx<l ；命题，阴之1,则下列命题中为真命题的是()

10、a. p 八qb. nc. pdfd.(pvq)【答案】a【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性, 由此确定正确选项.【详解】由于一iKsinxKl,所以命题为真命题：由于凶之0,所以心|之1,所以命题q为真命题；所以人为真命题，n、p AT、(pvq)为假命题.故选：A.X r4.函数/(x) = sin, + cos；的最小正周期和最大值分别是()A. 3兀和JJB. 3兀和2C. 6兀和&D. 6兀和2【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简/(工)，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项./rp _ 2 万 _ 6【

11、详解】由题，/(') =Sin ； +:，所以/(x)的最小正周期为丁二冗，最大4 J-值为JJ.故选：C.(x+yN4, 天一丁42,则2 = 3工+y的最小值为() ”3,A. 18B. 10C. 6D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为y = -3x+z,数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示,<x-y=2.一._1c111f4 T _4 A .2 -1° >1/23 4 5 6 x“/ -21 -3- 1-4-一5 -6(x+ y = 4'/、由jy=； 可得点A(L3),转换目标函数Z = 3x

12、+y为y = -3x+z ,上下平移直线y = 3x+z ,数形结合可得当直线过点A时,此时 Z3 =3xl + 3 = 6.故选：C.，兀，5兀6. coscos =()1212A 1b 6c 近232【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得cost- cos?二=COS? 1212即可得解.【详解】由题意，COS2 - cos2 = cos2 - cos2 y- 工NJL/1人n 5/3=cos =62故选：D.乙取最小值，D.巫 2/sin*,再由二倍角公式 JLX 幺7t, 7t=COS-Sill" 12)12126A7 .在区间（0,g随机取1个数，则取到的数小于g

13、的概率为（3 A.4【冷r B2B.-31 C.31D.- 6【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设= "区间（o,；A= ”取到的数小于;"=随机取1个数”= x|0<x 尚,/二-。邛一;,所以P缶）=湍=r°故选:B.【点睛】本题解题关键是明确事件“取到 数小于g”对应的范围，再根据几何概型的概 率公式即可准确求出.8 .卜列函数中最小值为4的是（）.4A. y = x2 +2x + 4B, y = smx +-JS111XC. y = 2' + 2-D. y = lnx+Inx【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A选项

14、不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三 相等”，即可得出5。不符合题意，C符合题意.【详解】对于A, y = x? + 2x+4 = （x+l + 3N3,当且仅当x = l时取等号，所以其最小值为3, A不符合题意；对于B,因为0卜111目41, y = |suix| + -：2/4 = 4,当且仅当卜山工| = 2时取等号, 等号取不到，所以其最小值不为4, B不符合题意;对于C,因为函数定义域为R,而2、0， = 2'+2' = 2' +二之24 = 4,当且仅当 2、2、= 2,即无=1时取等号，所以其最小值为4, C符合题意：对于D, y = lnx + 3

15、,函数定义域为（0）U（L+s）,而lax£/?且Inx工0,如当 hi xliix=-l, 丫 = -5, D不符合题意.故选：C.【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出.1 r9.设函数/（） = ,则下列函数中为奇函数的是（）1 + XA. f（X1） 1B. /（X-1） + 1C. f 1） 1D.f（x+l）+l【笞案】B【解析】【分析】分别求出选项 函数解析式，再利用奇函数的定义即可.1-x 2【详解】由题意可得/*） = - = -1 + ；, 1 + X1 +A2对于A, /（犬-1）一1 二 2不

16、是奇函数：X0对于B, /（X1） + 1 = ±是奇函数；X2对于C, /（x+l）-l = 一2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；x + 29对于D, /（X+1） + 1 = ,定义域不关于原点对称，不是奇函数.x + 2故选:B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10 .在正方体中，尸为4。的中点，则直线所与AR所成的角为（）【答案】D【解析】【分析】平移直线AR至5Q,将直线总与AR所成的角转化为必与5Q所成的角，解如图，连接BCPCPB ,因为4R8G，所以N尸5cl或其补角为直线PB与AD,所成的角，因为 平面所以 8q_LPG，又 P

17、Ci 上 BR, BBCBR = B所以PG_L平面尸8耳，所以GJ.P8,设正方体棱长为2,则8a =2jlP£ =；£>£ = &.PC i7rsmZPBCl = - = -,所以NPg = *故选:D*>11 .设8是椭圆C：二+y=l的上顶点，点P在。上，则归目的最大值为（） 5 ?A. -B, 6C. 5D. 2【答案】A【解析】【分析】设点尸（方,凡），由依题意可知，8（0,1）,今+y；=l，再根据两点间的距离公 式得到|P3，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.【详解】设点P（Xo，y。），因为5（0.1）,= 所以|尸

18、5二4+（%-1=5（1-第）+ （儿-1=-4讨-2），。+ 6 = -400-；） +个，而一14乂41,所以当/=京寸，|尸5|的最大值为，故选：A.【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想 以及二次函数的性质即可解出.12 .设若x =。为函数/（.丫）= （一4（一6）的极大值点，则（）A. a <bB. a>bC. ab<a2D.ah > a2【答案】D【解析】【分析】结合对"进行分类讨论，画出/（大）图象，由此确定正确选项.【详解】若a=，则/（x） = a（x-a）J为单调函数，无极值点，不符合题意，故依

19、题意，工=。为函数/（工）=（工一（戈一6）的极大值点， 当a<0时，由x>b, /（%）<0,画出f（x）的图象如下图所示:由图可知 <，a<0,故工 当a>0时，由x>时，/(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:由图可知b>。，a >0,故ab>/.综上所述，ab >(成立.故选:D【点睛】本小题主要考充三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解 答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知向量 a =(2,5)力二(4 4), -Fi ci/b , 则人=.【答案】|【解析】【

20、分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于义的方程，解方程即可求得实数2的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4几x5 = 0,Q解方程可得：A = -.故答案为：|.14 .双曲线二一二=1的右焦点到直线x + 2y 8 = 0的距离为.45【答案】y/5【解析】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由己知，c, = 77万= V7Z = 3,所以双曲线的右焦点为（3.0）,13 + 2x0-815 r所以右焦点（3,0）到直线x+2y -8 = 0 距离为1八 ，' =下=4 .，卜+2- 力故答案为：邪15.记AAbC的内角A, B, C

21、的对边分别为小从c,面枳为JJ, 8 = 60。，标+=3叱， 则人.【答案】2&【解析】【分析】由三角形面积公式可得。=4,再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，S ABC = -acsinB = ac = y/3 »"24所以= 12 ,所以2accos6 = 12 - 2x4x； = 8,解得b =（负值舍去）.故答案为：2丘.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.-t 132 4图干1工ZI H-2-H图图【答案】【解析】【分析】由题意结合所给的图形确

22、定,组三视图的组公即可.【详解】选择侧视图为，俯视图为,如图所示，长方体ABCQ AACR中，AB = BC=2,BB1=1,E/分别为桢BCi，BC的中点, 则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三桢锥E-AO尸.故答案为：.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中纹面的位置 关系和数量关系. 三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求 作答.（一）必考题：共60分.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新没备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备

23、和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为i和亍，样本方差分别记为S；和S；.,求3 5, s3 s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备行显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）x = 10,y = 10.3,5；= 0.036,5j= 0.04： （2）新设备生产产品的该项

24、指标的均值较旧设备没行显著提高.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.(2)根据题目所给判断依据，结合(1)的结论进行判断. .-9.8 + 10.3 + 10+10.2 + 9.9 + 9.8+10+10.1 + 10.2 + 9.7 ,八详解(D 4=-= 10,-10.1 + 10.4 + 10.1 + 10 + 10.1 + 103+10.6 + 10.5+10.4 + 10.5 .八，y = 10.3 ,10 0.22 + 0.32 + 0 + 0.22 + 0.12 + 0.22 + 0 + 0.12 +0.22 + 0.32 八八S： = 0.03

25、6,110S; = 0灸+04*+ "+-+。+。声"+。4。2 = 0.04.10依题意，y-X = 03 = 2X0,15 = 2>/o. 152 = 2>/025 » 2。兆；。4 =2,0.038 ,y-T<2jyi，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有出著提高.18.如图，四棱锥P A6c。的底面是矩形，PO_L底面A6C£>, M为8c的中点，且PBLAM.（1）证明：平面PAM_L平面P8O：（2）若尸。= £）C = 1,求四棱锥尸一A6CD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）巫.3【解析】

26、【分析】（D由PQ_L底面A5CO可得,又P3上AM ,由线面垂直的判定定理可得4W J_平面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ±平面PBD；（2）由（1）可知，AMLBD,由平面知识可知，由相似比可求出A。，再根据四棱锥P-46CZ）的体积公式即可求出.【详解】（1）因为P£>_L底面ABCD, AM u平面ABCO,所以AA7 ,又P6 J. AW , PBCPD = P，所以AM _L平面PBD ,而AM u平面PAM，所以平面24 _L平面PBD .（2）由（1）可知，AM J_平面尸80,所以4_L60,从而ZM5&46M ,设励/

27、 = x，4O=2x，则”'二丝，即2/ = 1，解得x =立，所以AD = Ji.因为尸DJL底面AB AD2ABCD,故四棱锥P-A5CZ）的体积为V = gx（lxJI）xl=*.【点睛】本题第一问解题关键是找到平面PA例或平面P8。的垂线，结合题目条件PBLAM ,所以垂线可以从尸中产生，稍加分析即可判断出AA/_L平面尸比,从 而证出；第二问关健是底面矩形面枳的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出 DW4W,从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积.19 .设qj是首项为1的等比数列，数列也满足”=等.已知可，3%, 9%成等差 数列.求q和也的通项公式；s记

28、s“和7”分别为“和也的前项和.证明：T“方.【答案】（1） “=（；）"T,=（2）证明见解析.【解析】【分析】利用等差数列的性质及&得到9片一6q + l = 0,解方程即可： 利用公式法、错位相减法分别求出S.，,，再作差比校即可.【详解】因为q是首项为1的等比数列且可，3%, 9%成等差数列, 所以6% =41 + 9%,所以6aM =4+ 9。闯二,即9寸 6q + l = 0,解得q =所以凡=（；尸,叫一 33"1x(1-!-)&.vf5I(2)证明：由(1)可得S, =，1 12r3. 1 2/1 -1 n1=§ + * + r+F

29、 2111一得/=,+尹+三+<o,所以11 =彳(1 - 9，4 DZ D所以1一1=2(1 工)一一-(1-) = - “ 243” 2V 43所以【点晴】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查 学生的数学运算能力，是一道中档题.20 .已知抛物线C :y2 = 2P0）的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）己知。为坐标原点，点尸在C上，点。满足迎=9/，求直线。斜率的最大值.【答案】（1） y?=4x； （2）最大值为;.【解析】【分析】（D由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设。（%,兄），由平面向量的知识可得（105-9,10.

30、%）,进而可得飞=旦疔2,再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线C:y2 = 2px（p>0）的焦点尸怎,0）,准线方程为x = ,所以该抛物线的方程为尸=4k；（2）设。（%,%），贝IJ网=9/=（9一9%,9稣），所以尸（10方- 9,10%）,由。在抛物线上可得（10”了=4（10% -9）,即= 2H 9k _>o_ >o _ 10>o所以直线。斜率 °。 x0 25y； + 9 25y； + 9,-io -当 乂 =。时，k°Q = o ； 当外工0时,99当 乂>。时.，因为 25yo+ N2 125yo,一= 3

31、0, %V >0193此时0<心。二，当且仅当25)，。=一，即)，o=时，等号成立；3)oJ当<0时，如<0；综上，直线。的斜率的最大值为:.【点睛】关键点点睛：解决本题的关健是利用平面向最的知识求得点。坐标的关系，在转化斜率时要注意对n取 值范围的讨论.21.已知函数/(x) = Y - V + ax + 1.(1)讨论/(x)的单调性：(2)求曲线y = /(x)过坐标原点的切线与曲线y = /(x)的公共点的坐标.【答案】答案见解析：(2)(1,n + 1).【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调 性：(2)首

32、先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可 求得公共点坐标.【详解】(I)由函数的解析式可得：r(x) = 3/2x+a.导函数的判别式 = 412a,当4=4时，/'(x)N0J(x)在 R上单调递增,2-y/4-12a_ 2 + y/4-l2a1 .x. =1626当 = 4-124>0,<；时，f'(x) = 0的解为:时，ra)>oj(x)单调递增;2 - J4- 12。2 + J4-12。 L "、八 当xw ，时，/ (x) <OJ(x)单倜速减：66 /当xw，+'：-w ,2 时，ra)&

33、gt;o,x)单调递增；6 /综上可得：当4 2；时，“X)在R上单调递增，I 1 L ” J 2-也一 12a ,J 2->/4-12 2 + -12 ,当<一时，/(x)在 口, 上单倜递增，在 , 上3 6662 +4一12单调递减，在 一三,+8上单调递增.6 /(2)由题意可得:/(.%) =石一石+。0 + 1, /'(%)= 3寸一2% + ，则切线方程为：y-(x； - £ + or。+1) = (3石- 2% + a)(x- %)，切线过坐标原点，则：0-(4一片+oro + l) =(3x： 2xo + a)(0Xo),整理可得：2只一片一1

34、= 0,即：(xo-l)(2xj+xo + l) = O, 解得：/=1，则/(%)=1) = 1-1+。+ 1 =。+ 1,即曲线y = /(x)过坐标原点的切线与曲线y = f(x)的公共点的坐标为(1M + 1).【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的 知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，在高考中的命题方向及命题 角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以卜几个角度进行：(1)考查导数的几何意义, 往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性：已知单调 性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),