2021年全国高考甲卷数学(理)试卷解析版

1、高考真题3试题1.设集合 M = x|0<x<4,N = x*x45、则用 C|N=()xO<x<-3B. x - <x <4 >c, x|4<x <5 d, x|0<x<5j答案：B 思路：根据交集定义运算即可 解：因为0cx<4,N = x|；4x«5,所以McN = .v|gwx<4,故选：B.点评：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调有数根据此频率分布直方图，卜面结论中不

2、正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4. 5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10. 5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6. 5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案:c思路；根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘 以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可 判定C.解：因为频率宜方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率 即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.

3、5万元的农户的比率估计值为0.02 + 0.04 = 0.06 = 6%,故A正确： 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04 + 0.02x3 = 0.10 = 10%,故B正 确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为 0.10 + 0.14 +0.20x2 = 0.64 = 64% >50%,故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 3 x 0 02 + 4 x 0.04 + 5 x 0 10+ 6 x 0 14 + 7 x 0.20 + 8x0 20 + 9 x 0 10+10 x 0 10+11x0 04+12 x 0 0

4、2+13x0.02+14 x 0.02 - 7 68（万元），超过6. 5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.点评：本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础即，样本的频率可作为总体的 频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于频率X组距.3.已知(l i)z = 3 + 2i, Mz=()C.D.答案：B思路：由已知得2 = 二，根据当数除法运算法则，即可求解.-2/解：(1 -iZ = -2iz = 3 + 2i,3 + 2/ (3 + 2i)i 2 + 3i . 3.7 =

5、 = = 1 H1-2/-27 /22故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通陆用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据£和小数记录表的数据2的满足L = 5 + lgV.已知某同学而若真题视力的五分记录法的数据为4. 9,则其视力的小数记录法的数据为（）（016 = 1.259）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6答案：C分析】根据L，V关系，当L = 4.9时，求出IgV,再用指数表示V,即可求解.解:由 L = 5+lgV,当 L = 4.9 时，lgV = 0.1,11则 V = l（）e = 10 10=-=、0.

6、8.啊 1.259故选：C.5.已知冗,A是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且4；尸尼二60。,|尸用二3忸q，则C的离 心率为（）A.立B.姮C. J7D. J1322答案：A思路：根据双曲线的定义及条件，表示出归国产田，结合余弦定理可得答案.解：因为|P娟二3|上山,由双曲线的定义可得|尸周一|"| = 2|尸尼| =北,所以|桃| 二 ，|尸周二 3。：因为4桃=60。，由余弦定理可得4c? = 9a2 + n2-2x3n- - cos60°，整理可得4/=7/，所以e?=二=N,即6 =也.cr 42故选：A点评：关健点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立。

7、，。间的等量关系是求解的关键.6 .在一个正方体中，过顶点/的三条棱的中点分别为E F, G.该正方体截去三棱锥A-EFG后, 所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）正视图#试题高考真题思路：根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.解：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，7 .等比数列q的公比为q,前/项和为S“，设甲：q>0,乙：，是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件8 .甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B 思路：当4>。时，通过举反例说明甲不

8、是乙的充分条件：当，是递增数列时，必有为。成 立即可说明4>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.解：由题，当数列 -2,-4,-8,时,满足q>0,试胭但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.若*是递增数列，则必有4 >0成立，若4>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的,则 >0成立，所以甲是乙的必要条件.故选：B.点评：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证 明过程.8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848. 86 （单位：m）,三角高 程测量法是珠峰高程测量方法之一.如

9、图是三角高程测量法的一个示意图，现有4 8。三点，且4 B, C在同一水平面上的投影满足N/VC'6' = 45。，NAS'C'= 60。.由。点测得8点 的仰角为15。, BB'与CC的差为100：由6点测得4点的仰角为45。,则4 C两点到水平面AEC 的高度差4A-CC'约为（0 = 1.732）（）答案:B思路：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得;V6L进而得到答案.详解】高考真题而写真题过。作C/JL88L 过。作 故 A4-Ca = A4-(88-B/) = A4-Rr+100 = AO+100,由即，易

10、知AO3为等腰直角三角形，所以AO = O8.所以 A4'-CC'= 06 + 100 = H6'+100.因为N5C” = 15。，所以CH = C'8'= 100 tan 15°在AbC'中，由正弦定理得：A® _ CB' _100_ 100sin45° sin 75° tanl50cosl50 sin 150 '/T_ /T而 sm 15° = sm(45° - 30°) = sin 45° cos 30° - cos 45°

11、 sm 30° = 点评；关键点北；本题考杏三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.100x4x 立2= 100(73 +1)273所以/U'CC'=A'Zr+100%373.故选：B.点评：本题关键点在于如何正确将AA'-CC'的长度通过作辅助线的方式转化为A'8'+100.9.若aw。,，tan2a=侬。，则匕na=() 2 J2-sinaA.R .D.5D.姮3答案：A思路：由二倍角公式可得式n2a = sm " = suyzcos”,再结合已知可求得sma =:，利用同 cos 2a l

12、-2sin- a4角三角函数的基本关系即可求解.fc cos a解：tan 2a =2 - sin a_ sin 2a 2 sin a cos acos atail 2a =；=cos2al-2sur a 2 - sm a2smacos a h 0 , /.；=l-2sur a 2-sina，解得sina =，4=717?=巫-=型=史.4cos a 15故选：A.10,将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）1224A，3B，5C，3D，5答案：C思路：采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个。不相邻进行求解.解：将4个1和2个。随机排成一行，可利用插空法，4个1产生

13、5个空，若2个0相邻，则有。；=5种排法，若2个。不相邻，则有C；=10种排法，所以2个0不相邻的概率为=? = ：.5 + 10 3故选：C.11.已如4 B, C是半径为1的球0的球面上的三个点，且AC_15cAe=5C = 1,则三棱锥 O-A6C的体积为（）、6b "c 夜D "A* ,De 1lz«121244答案：A思路：由题可得人3c为等腰直角三角形，得出A3C外接圆的半径，则可.求得。到平面A8C 的距离，进而求得体积.解：.AC_L6cAe = 6C = 1, .A6C为等腰直角三角形，.A5 = J5，则ABC外接圆的半径为,又球的半径为1.2

14、设。到平面A8C的距离为d ,所以匕.c = LsA8cd =x!xlxlx = ./ Anc 33 2212故选：A点评：关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到 截面距离的勾股关系求解.12.设函数/（刈的定义域为R, /卜+1）为奇函数，/（x+2）为偶函数，当xwl,2时，试题高考真题f(x) = ax2+b.若0)+ 3)= 6,则/9A，-4一D，2答案：D 思路：通过/(x+1)是奇函数和/(戈+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式 /(x) = -2x2 + 2,进而利用定义或周期性结论，即可得到答案.解：因为/(x+1)是奇函数，所以

15、/(-x+l) = -/(x+l)；因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2) = /(-x+2).令x = l,由得：/(0)= /(2)= _(4n + b),由得：/(3)= /(l) = a+, 因为/(0)+ /(3)= 6,所以一(4«+/?)+ + = 6 =>。= -2,令x = 0,由得:/(l) = -/(l)=>f(l) = 0=>fe = 2,所以<(力=一*+2.思路一：从定义入手.(9所以电啰M3(4+2卜/信)思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数/(力的周期7 = 4.所以/ 故选：D.点评：在解决函数性质类问题的时候，我们

16、通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简 便计算的效果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9试题而若真题所以 64 =+ fi)2 = in2 + Zinn + n2 =48 + 2nui,mn = 8,即四边形面积等于8.故答案：8.16.已知函数x) = 2cos(5+。的部分图像如图所示，则满足条件 /(刈一/(一号)(/(*)一/子)0的最小正整数%为.11试题思路：先根据图象求出函数/J)的解析式，再求出-勺 J(g 的值，然后求解三角不等式可 43得最小正整数或验证数值可得.解：由图可知=坐一三="，即7 = 2&=4，所以3=2: 4123

17、4co由五点法可得2x；+。=彳，即。=一7： 326所以 /(X)= 2 cos j 2x - 占).6 /7 7Z(因为/(-/ = 2对一11*r 4n 、(5兀) 八=1, /() = 2cos =0；3k 2 /ra所以由(“X)-V)(/(x)-令 。可得加或X)。：因为/(l) = 2cos(2-今卜 2cos26=1,所以,io方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/（x）<0,即COS lx- <0,V 6）解得出兀十2<X<&7T+女,女£ Z ,令女=0,可得£<X<把， 3636可得X的最小正整数为2.方

18、法二：结合图形可知，最小正整数应该满足/。）<0,又f（2） = 2cos（4 2）<0,符合题意,可得x的最小正整数为2.故答案为：2.点评：关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解根据特殊点求 解。.三、解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如卜表：一级品二级品合计甲机床1505

19、0200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?, n(ad -be)2附：K-(a + b)(c+d)(a + c)(b + d)p(kF)0. 0500.0100. 001k3. 8416. 63510. 828答案：（1） 75%： 60%；（2）能.而考真题思路；本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可 解：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为糅 = 75%,120乙机床生产的产品中的一级品的频率为住 =60% .200,介、400(

20、150x80-120x50)- 400270x130x200x20039<2)K2 = L = _>10>6.635>故能行99%的把握认为甲机床的产品ij乙机床的产品质量有差异.18.已知数列q的各项均为正数，记S,为q的前4项和，从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列“是等差数列：数列JT是等差数列；生=3q.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.答案：答案见解析思路：选©作条件证明时，可设出户，结介外,S”的关系求出利用q是等差数列可证以=3a ； 一 *选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出£,结合等差数列定义可证

21、；选作条件证明时，设出病 = + %,结合q,S.的关系求出q,根据%=3%可求人，然后可证q是等差数列.解：选作条件证明：设 + ba > 0),则 S = ( + /?)-,当 ” =1 时，q = S = (a +当 2 2 时，aH = Stl -Sn_ = (an + b) -(«/-a + b) = a(2an-a-2b)-因为q也是等差数列，所以( + /?=(2“一4 + 2投)，解得 =0；所以二/(2-1),所以生=3q.诜©作条件证明：因为%= 3q, q,是等差数列，所以公差=2q,所以S“ = q + Md = n2aL,即邓7 二7，因为7

22、7一叵二向(+1) 一廊?二府，所以折是等差数列.选作条件证明：设 yfs = a + ba > 0),则 S = ( + /?)-,当 ” =1 时，q = S = (a + ).：当 N 2 时，aH = Stl - Sti_k = (an + b) - («/ -a + b) = a(2an-a + 2b)-,4a因为生=3q,所以a(3a + 2h) = 3(a+b),解得6 = 0或=一彳；当 =0时，aL=a2,an =«2(2/?-1),当 22时，q,/”4=2/满足等差数列的定义，此时 为等差数列：当”=一三-时，y/S = an + b=an-a

23、t 百=一§<0不合题趋，舍去.综上可知q为等差数列.点评：这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演, 等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19.已知直三棱柱A8C-A4G中，侧面例5/为正方形，A8 = 6C = 2, E,尸分别为AC和CG的中点，为棱A4上的点.8尸JLA4(1)证明：BF工DE ；13试胭而考真题（2）当4。为何值时，面64GC与面。尸君所成的二面角的正弦值最小？答案：（1）见解析：（2） BQ = g思路：通过已知条件，确定三条互相垂直的立线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明 线线垂直和求出二面

24、角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案.解：因为三桢柱A6C-A耳£是直三棱柱，所以底面46C,所以因为 A4/AB, BF 1,所以 3/_LA3,又 BB>cBF = B,所以平面 8CC1sl.所以B4,8C,B线两两垂直.以8为坐标原点，分别以8ABe,64所在直线为x,y,Z轴建立空间直角坐标系，如图.所以 5（0,0,0）,4（2,0,0）,0（020）,4（0,0,2）, A（2。,2）,G（O，Z2）,E（U.O）,尸（0,2,1）.由题设。（0.2）（0<«<2）.（1）因为丽=（0,2.1）,诙=（1-41,一2）,所以 6户.瓦=

25、 0x（l-a） + 2xl + lx（-2） = 0,所以 8尸 _L£）E.（2）设平面。尸石的法向量为江= （x,y,z），因为屏'= （一“1）,诙=（1-。.-2）,一 iri-EF = O一工+ y+z = O所以 _,即/f, A.iri-DE = O (l-a)x+y-2z = 0令Z = 2-a,则加=(3,l + a,2-a)因为平面BCCR的法向量为丽=(2,0,0),设平面5C£4与平面。七尸的二面角的平面角为。，|玩,5川63则 |cos q="1=|=z= 网 WN 2x,2/ _2a +14 q2a2 -2a+ 141 27当

26、。=7时，2a° 2a+ 4取最小值为二，2 23 _ 5/6此时cos。取最大值为J一亍.所以(sin。)1mli =当 j = ¥ , 此时BQ = ；.点评：本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出。(a,0,2)(0WaW2),在第二问中通 过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步.20.抛物线。的顶点为坐标原点0.焦点在工轴上，直线上k = 1交。于产,。两点，且OP上。.已 知点A/(2,0),且O"与相切.(1)求C, OM的方程；(2)设A，A，A是c上的三个点，直线AA，AA均与。例相切.判断直线AA与0M的位 置关系，并说明理由.答案：(1)

27、抛物线C:y?=x, 0M方程为(x2)2 + y=l； (2)相切，理由见解析思路：(1)根据已知抛物线与x = l相交，可得出抛物线开II向右，设出标准方程，再利用对称性 设出R。坐标，由OPLO。，即可求出P：由圆M与直线x = l相切，求出半径，即可得出结 论：(2)先考虑A4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论：若AA.AA，AA斜率存在，由 A，A，a三点在抛物线上，将直线AA，AA，AA斜率分别用纵坐标表示，再由4与圆M相切，得出X + %，力 %与其的关系，最后求出M点到直线A4的距离，即可得出结论.解： 依题意设抛物线C:y2 = 2pMp>O）,P（l，No）,0（L

28、-%），. OP1OQ.OP OQ = l-y = l-2p = 0.：.2p=lt所以抛物线。的方程为）尸=x,M（0,2）,G）M与x = l相切，所以半径为1，所以0M的方程为（x - 2）2 + / = 1；（2）设 A （&）, A （毛，y? ），A （入3，.%）若A&斜率不存在，贝URA?方程为工=1或工=3,若AA方程为X = l，根据对称性不妨设A（L1），则过A与圆M相切的另一条直线方程为y = i,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A,不合即意;若AA方程为x = 3，根据对称性不妨设a（3,J5），a（3,-J5）,则过A与圆m相切的直线AA为y

29、JJ=4（x3），又 ki =B、：,y =o,M不一看弘+ X B必3"占=0,4（o,o）,此时直线AA，A4关于x轴对称， 所以直线AA与圆m相切: 若直线AA，AA，AA斜率均存在，z iii则 kg =，&aa =，X + K M + K / + %1 z 、所以直线A4方程为y-y1 =（人一七），K + K整理得 x-S + yJy+yjLO,同理直线A A的方程为工一（弘+ %）y+乂/=°，15试题高若真题直线a2a3的方程为工一（k + y3）y+y2y3 = o,12 + y.y | tAA与圆M相切，； i"-Ji+（M + y）整

30、理得（y； - 1）货 + 2yM + 3 - y； = 0,AA与圆M相切，同理（椁-1）4+ 2其力+ 3），；=0所以K，片为方程（y； -1）/ + 2yJ + 3 - y： = 0的两根,m到直线A A的距离为:Jl+ （/ + %11+（_ 2KV K-lT（57 -1）2 + 4）7 y； + 所以直线A A与圆m相切；综上若直线A4，AA与圆m相切，则直线44与圆m相切.点评：关键白点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转 化为只与纵坐标（或横坐标）有关：（2）要充分利用AA，A4的对称性，抽象出为+ %，3与 乂关系，把治,%的关系转化为用

31、其表示.21.已知1>0 且4H1,函数/（X）= ±（X>0）.ax（1）当 =2时，求/（»的单调区间；（2）若曲线），= /（x）与直线），=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.答案：（1）/上单调递增：,+8上单调递减：（2） （l,e）u（e,+s）.1112JIn2 ）思路：（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性： （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线），= /（工）与直线丁 = 1有且仅有两个交点等价转化为方程处=皿有两个不同的实数根，即曲线y=g(x)与直线)，=二有两个交点，利用导函数 x aIna

32、研究g(x)的单调性,并结合g")的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到04则 L a e发现这正好是Ovg(a)vg(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到a的取值范围.解：(1)当4 = 2时,/(x) = > J(x)=-Vx”(2 xln2)4"19试题779令尸(加0得"菽，当0xR时，小)。，当*菽时，f'(x)。.函数f(x)在(o.、5上单调递增;看上单调递减:,、 尸 r liix Ina / 包 / hix(2) f(x) = = 1<=>« =x <=>xlnn = «li

33、ix<=>=,i殳函数g(x) =,axx ax则 g'3 J ? '，令 g'(x) =。,得x = e在(O,e)内g'(x)>0, g(x)单调递增;在(4+8)上g'(x)vO, g(x)单调递减;g(xL = g(e)= F又g(l)=o.当X趋近于+8时，g(x)趋近于0,所以曲线y = f(x)与直线y = i有且仅有两个交点，即曲线y = g(x)与直线y = /L有两个交点 Ina的充分必要条件是0拶 ：,这即是0vg(a)vg(e),所以。的取值范围是(Le)u(e,+oo).点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，

34、根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题， 属较难试题，关健是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最 值，图象，利用数形结合思想求解.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所 做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，才轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=2cos 0.而若真题(1)将。的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点月的直角坐标为(1,0),必为，上的动点，点尸满足Q = 奇，写出的轨迹£的 参数方程，并判断。与£是否有公共点./f X = 3 y/l + 2 COS 0答案：(1)(X-V2 +)厂=2： (2)尸的轨迹G的参数方程为(。为参数), Jy = 2sin 夕，与G没有公共点.