2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入（解析版）

1、专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入1（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）ABCD【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.2（2021·浙江高考真题）已知，(i为虚数单位)，则（ ）AB1CD3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3（2021&#

2、183;全国高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.4（2021·北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）ABCD【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.5（2021·全国高考真题）已知，则（ ）ABCD【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.6（2021·全国高考真题（理）设，则（

3、 ）ABCD【答案】C【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，解得，因此，.故选：C.7（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.【答案】5 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到

4、，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等

5、差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.1（2021·陕西高三其他模拟（理）已知实数满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）ABCD4【答案】A【分析】作出实数满足的约束条件表示的平面区域，再由目标函数的几何意义借助几何图形求解即得.【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影区域，它是斜向上的一个开放性区域，含边界，目标函数，即，表示斜率为-3，纵截距为z的平行直线系，作出直线l0：，平移直线l0使其过点A时的直线纵截距最小，z最小，由得，即点，于是得，所以目标函数的最小值为.故选：A2（2021·重庆高三其他模拟）已知，则的最小值为（ ）A9B5CD【答案】C【详解】

6、，所以.第7题解析：由题意知，在平面和平面上的投影分别为和，取中点，连，故平面，所以点的轨迹即为平面与正方体表面的交线，取中点，连接，则，四点共面，点的轨迹即为等腰梯形，由正方体棱长为2得，故轨迹长度为.3（2021·全国高三三模）已知，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，且，所以，所以，所以，即当且仅当即，时等号成立，故的最小值4（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理）苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：

7、，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（ ）（可能用到数值ln2.4140.881，ln3.4141.23）A3.23B2.881C1.881D1.23【答案】B【分析】利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】依题意，令，则，.故选：B5（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理）若复数，则|z|=（ ）AB1C2D【答案】D【分析】首先化简复数，再求复数的模.【详解】，所以.故选：D6（2021·全国高三其他模拟（理）已知复数满足，则（ ）A1B2CD【答案】D【分析】，利用复数的运算求出复数，从而求出.【详解】解：，所以.故选：D.7（2021·广西师大附属

8、外国语学校高三其他模拟（理）复数z的虚部为，模为2，则复数z2的对应点位于复平面内（ ）A第四象限B第三象限C第二象限D第二或三象限【答案】D【分析】结合复数的概念及模长求出复数，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限.【详解】设，因为，所以，所以或，若，则，复数z2的对应点位于复平面内第二象限；若，则，复数z2的对应点位于复平面内第三象限；故选：D.8（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理）复数满足等式，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】先计算复数z，找到对应点，再判断象限.【详解】因为所以 故复数对应点为 ，

9、在第二象限.故选：B9（2021·全国高三其他模拟（理）若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为7故答案为：710（2021·全国高三其他模拟（理）已知，且，则的最小值为_.【答案】【分析】由已知构造运用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.【详解】，且，当且仅当，且，即，时取等号，的最小值为.故答案为:.11（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理）任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过_次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，