(完整word版)人教A版高中数学必修2知识点

1、必修 2 知识点归纳第一章空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的 旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合 体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。V柱体V台体=S h；V锥体飞S h；球的表面积和体积:243$球=4 R2，V球R3.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。3第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理 1 ：如果一条直线上两点在一

2、个平面内，那么这条直线在此平面内。A. I,B. I =1二圧A三二，B三：公理1的作用：判断直线是否在平面内2、棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做 棱台。1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯

3、视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。几何体的正视图、侧视图和俯视 图统称为几何体的 三视图。（2） 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正,” “高平齐” “宽相等”2、 空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画 岀的图形.3、斜二测画法的基本步骤：1建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）2建立斜坐标系ZxOy，使NxOy=45（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；3画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 丫轴的线段，在直观图中画成平行于 丫轴，且长度变为原来

4、的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的2 . 2倍，即S原图=2、2S直观2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。A B若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面:-推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面4、空间几何体的表面积与体积圆锥的侧面展开图是扇形,:为 1 1，的长提醒圆心角n6060-弧度，3 34545 J J 弧度，9090亍弧度等等）推论2过两条相交直线有日只有一个平面-H-*若m|n = A，则m, n确定平面:-推论3:过两条平行直线有且只有一个平面nan，贝U m, n确定平面：公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理 3:如

5、果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。4、公理 4:也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.aL|b,cb= aLIc公理4作用：证明两直线平行。5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。b bb方向相同则/1=Z2J_二b方向相反则/1+/2=180乳a；b_ b且1与2方向相归.1 . 2=180aL a ,bL b且1与三2方向相同=.1=Z2作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系：平行、相交、异面。a b,a|b二A, a,

6、b异面(1)(2)(3)没有任何公共点的两条直线平行有一个公共点的两条直线相交不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系:1三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；2平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；3线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面， 经过这条直线的平面与这个平面相交,定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,（2）两平面平行的性质:（1） 直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；a二:.（2） 直线和平面平行，直线与平面无任何公共点；a :.（3） 直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点；aR= A性质H：平行于同一平面/$ /L

7、P9、线面平行：（即直线与平面无任何公共判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行则该直线与此平面平行。性质山：夹在两平行平面间的平行线段相等;（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）a-b：= a/:a/bA, C三：B, D匸I-ABLCDAC = BD平行线的传递性：aJb,cb aL|c面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行;性质垂直于同一直线的两平面平行aL b12、面面垂直:直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的）a _二丨b_ :aL b10、面面平行:

8、（即两平面无任何公共点）（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行线烦垂葭的定文图证明两直线平行的主要方法是:11、线面垂直:那么就说这条直线和这个平面垂直。性质：两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两a,b -二I aDbA aLa ,b_ba,b判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。I _ 1:（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）I :蛊面垂宜的性质定理证明两直线垂直和主要方法:利用勾股定理证明两相交直线垂直;利用等腰

9、三角形三线合一证明两相交直线垂直;利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面“”影垂”，“线斜垂”如图：PO . OA是PA在平面-上的射影a _PA如图：0为P在平面：.上的射影,线段OP的长度为点P到平面的距离求法通常有：定义法和等体积法等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高中有：VS _ABC第三章。如图在三棱锥V _ ABC=VA_SBC =VB _SAC =VC _SAB直线与方程又直线a二芒,且a | OA即：线影垂直二.线斜垂直，反之也成立。利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论

10、。空间角及空间距离的计算1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点,，过该点作另一条直线平行乡直线 a 与 b 异面，b/b，直线 a 与直线 b 的夹角为两异面直线 a 与 b 所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90 2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面：.的一条斜线,A为斜足，o为垂，OA叫斜线PA在平面上射影，乙PAO为线面角。1.直线方程的概念：一条直线I与一个二元一次方程F（x, y）Ax By C=0有如下两个对应:直线I上任意一点的坐标（x, y）都满足方程F（x,y）=Ax.-By:C=0；以方

11、程F（x,y）=AxBy=O的解为坐标的点（x, y）都在直线丨上。则称方程F（x y） =Ax By C =0为直线丨的方程，直线丨为方程的直线。2.直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与x轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。3直线倾斜角的范围:4.直线斜率的定义当倾斜角为0- 180，当直线与x轴平行或者是重合时，倾斜角为0:倾斜角不为90直线，倾斜角的正切值叫直线的斜率90时直线的斜率不存在。5、直线l过点P（x“ yj, F2（X2, y?），则直线的斜率为:6、直线方程的表示形式:点斜式：y - y0= k x - x0，当斜率不存在时，直线与x轴垂直，倾斜角为90，环个半平面形成

12、的图形3.二面角：从条直 f，如图为二面角-I -此时直线方程为：X =x，如右图，特别地y轴所在面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直如图： 在二面角-I-冲，0棱上一点，OA二OB二1,且 OA_I,OB _1,则 ZAOB 为二面角：-I-詁勺平面角。用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:明确构成二面角两个半平面和棱;明确二面角的平面角是哪个?而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”“三计算y4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的直线方程为x=0。当直线斜

13、率k = 0时，直线与x轴平行或者是重合直线方程为：y = y0，x轴所在的直线方程为y =0。斜截式：y = kx b（b为直线在y轴上的截距）当直线过y轴上一定点（0, b）时，通常设直线方程为:(0,2)，设I : y二kx 2。当直线过x轴上一定点（a,0）时，通常设直线方程为:点(2, 0)，设I : x = my 2两点式:亠x %X2公垂线段的长度。如图PQ是两异面直线间的距离x y截距式：1(a = 0, b = 0)，a b（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的1射影的连线段的长度。zU_许丨1 1-/fl/flr

14、Ay kx b，例如直线丨过定点b线xmy a，例如直线I过定一般地，问题中出现两个 截距时，通常设直线方程为 -1（- 0, 0）。2 2一般式：Ax By C=0(A B =0)，所有直线方程都可化为一般式。A当B = 0，直线的斜率k，当B7、两直线的位置关系的判定A B2二A?B1；(2)l1和丨2相交二A1B2二A2B1;B1C2B2C1(1)待定系数法：使用待定系数法求圆方程的一般步骤:AB2启；(4)l1A1A2B1B2=0.B1C2二B2C1解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。(2)利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标(1)两直线l1: kxB1y1=0,

15、L：Ax - B?y - C2 =0的交点坐标需将两直线方程组成三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是外心;当两直线倾斜角相等时，即：.二1时,两直线平行；3、圆的一般方程：x2y2Dx Ey 0(D2E2_4F . 0)。当两直线倾斜角满足|，| =90时,两直线垂直；D E1J_2- 2-圆心为(,)，半径rD E _4F。2 22当两直线倾斜角不相当时，两直线相交。2 2 2 2 _D ED HE . 4F二0时，方程x卷y卷Dx亠Ey A F二0表示点(_,_)2 2对于直线l1: y=：kX -,-b1, l2: y=k?x b2有:2 22 2D亠E . 4F :0时，方

16、程x亠y亠Dx亠Ey亠F=0不表示任何图形。K =&km:|b1b24、点P0(X0,y0)与圆x_aj亠的位置关系的判定:(1 )2 :当P(Xo, yo)满足x0_ a亠y0_ b时点P在圆上;l1和l2重合：kq =k212；4l1= gb1 =b2(2)当p(x0, y)满足xa亠iy_.b2时点P在圆内;对于直线l1: A,xB1y C1= 0, l2: A2xB2y C2=0有:(3)当P(x0, y)满足x0a j亠jy0b2时点P在圆外;根据条件列出关于b、r 或 D、E、F 的方程组;方程组求解，即:AxB1ycoA2x亠B2y亠C2= 0垂径定理：垂直于弦的半径平分

17、弦并平分弦所对的弧;当有唯一解时,两直线相交；当无解时,两直线平行；当有无数个解时，两直线重合。弦的垂直平分线必经过圆心，因此求出两条弦的垂直平分线方程，联立解方程组求(2)过两直线l1: Ax By C =0, l2: A2xB2y C0交点的直线系方程 为:得圆心坐标，而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，最终写岀圆的标准方程。6、直线与圆的位置关系的判定:)=02将含有一个参数的直线方程化为直线系方程几何法(1)相切：圆心到直线的距离d=r;的样式就可解决直线恒过定点问题。(3)两点间距离公式:(4)(5)直线系方程的结构+也=0(2)(3)相交：圆心到直线的距离相离：圆心到直线的距离:

18、r;pP21 = J(X2_X1 ) +(y2_y1 )点P(x, y)到直线I : Ax+By+c=0距离公式：d=lAx)+By十两平行线间的距离公式：对于直线. A2B2l:Ax+By+C=0dC(a,b)|Ax) )+Byo+C|d= 一厂2A +B圆 C: (x-a) +(y-b) =r相切：d=rl:Ax+By+C=0d2 _2C(a,b)|Axo+Byo+C|d=、A +B2圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2相切：dr|C _C |l1: A x B y C0,l2: A x B y C0,l1与|2间的距离为：d 二1JA2+B2代数法：将直线方程与圆的方程联立组成方程组

19、y二kx b22J x y Dx Ey F = 0(6)线段中点坐标公式:x1x2x =2,A(X1, yj, B(X2, y：),M(x,y)是线段AB的中点。y2第四章圆与方程1、圆的第一定义:到定点的距离等于定长的点的集合.P二 M (x, y) | MO | = r的动点,| PH |为点P到直线|的距离，设dCB =0时，直线斜率不存在，方程可化为x二11/I2二5、求圆方程的方法，主要有两种:l1和l2重合二根据提设，选择标准方程或一般方程;8、交点与距离公式:到两个定点的距离之比等于常数(不等于1)的点的集合。x -a i亠y -b $ = r2，圆心为(a, b)，半径为r。为

20、圆心到直线I的距离，则圆的第二定义2、圆的标准方程:| PH | d r,| PH | d _r. maxmin直线与圆相切，求圆的切线方程：一般用圆心到直线的距离等于半径来求解1 过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立；k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 二半径，求解 k,得到直线方程【一定有两解】2 2 22 过圆上一点的切线方程：圆 x _a 亠y _br，圆上一点为（人，y0），则2过此点的切线方程为 x0_a x_a 厂y0_b y _b =r（2）若方程有两个不同解，两圆相交；（3）若方程有无解，两圆外离或内含2 2 2 2特别地，方程x : y npxEy R （x

21、: y D2x E2y F ） - 0表示过两圆交点的圆系方程。若直线|过轴上的定点（a,0）则可设直线| : X =my - a若直线过定点为（0, b），则一般设若圆心Ci到公共弦的距离等于 小于r1，或者是圆心C2到公共弦的距离 小于半径r2，则两圆直线l : kx b；若直线过点（x0, y0），则设直线l : y -y0=k（x-x0）请注意：在写空间中点的坐标遇到困难时，通常先写岀该点在xOy平面上的射影点的的坐标，然后加上相应的竖坐标即可。2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手 拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴 的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角

22、坐标系3.空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M,作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组（x, y, z）叫做M点在此空间直角坐标系-2 2x亠y亠Dx亠Ey亠F1二0在这个方程组中用-消去平方项后得一个直线方程，该2 2x y D2XE?y F?二0两圆的公共弦所在的直线方程X 两惕郴空肘*连心线GG巧两网柑切时准出线|当苗园相切时注心线* 垂ft平分介共強RR过切点N过切点N注意解决直线与圆位置关系问题时,经常需要设定直线方程，设直线方程的技巧:若圆心C到公共弦的距离 等于半径ri，或者是圆心C2到公共弦的距离 等于半

23、径r2，则两圆相切（外切或者内切）；7、两圆位置关系的判定：设圆心距d =Ci5几何法相离：d . R r；外切：d =R r；相交：|R一r I：d : Rr内切：d斗Rr |；内含：d：|R_r|.圆Ci：x2+y2+DiX+Eiy+Fi=0圆C2：x2+y2+D2X+E2y+F2=0C22、2外切：有一个公共点,圆心距| C1C2| =相交:有两个公共点，圆心距圆 Ci:x2+y2+Dix+Eiy+F1=0圆 C2:x2+Y2+D2X+E2y+F2=0&坐标法是解决几何问题的重要方法，其步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何 问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代