历考研数学三真题及详细答案解析

1、2021 年全国硕士研究生入学统数学三试题选择题：18小题，每题 4分，共32分，以下每题给岀的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)y曲线2X X2X-1渐近线的条数为(A)(B) 1(C) 2(D) 3(2)设函数f(x)珥ex-1)(e2x_2)(e - ®，其中n为正整数，那么f (0)=(A)(-1)n" n-1)!(B)(-1)n( n-1)!(C)(D)(-1)n n!(3)设函数f(t)连续，那么二次积分22d =02cos vf (r2)rdr=(A)2dx 二 jx2 y2f (x2 y2)dy2odX.4x22

2、2J(x y)dy(B)级数Zi TX2 y2 f (X2f(x2 y2)dy(T)气 nsin 1(4)Ctn绝对收敛,(A)<0< ：-(C)y2)dyQOzi =1C1)n2fn条件收敛，那么范围为()(B) 2< : - 1(D) 2 <<2(5)设-101“3 =卜11<C1 <C2丿kC3丿<C4 J)C1? C2, C3，C4为任意常数，那么以下向量组线性相关的是(6)设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵，且 P-1AP=P= (S 2,)Q=(+ 2,1、(1I12(A)1(B) 1z2广21(C)2(D '(7)设随机变量X

3、与丫相互独立，且都服从区间0，)11(A)4(B) 2(C)8 设X1，X2，X3, X4为来自总体N 1，V 那么 Q，AQ=12丿21>1上的均匀分布，那么+- 131318 D42匚匚 0的简单随机样本，那么统计量X1 -X|X3+X4-2| 的分布(A) N( 0，1)(B) t(1)(C)2(1)(D) F(1,1)、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上lim(tan x)cosx"inx(9)%4(A)112-3(B)2-4J.，ot ,a小a ,(C)113?4(D)2?3?410设函数x=0=0,(11)函数 z = f(x,y)

4、满足订1Jx2 + (y-1)2那么 dZ(°,i厂12 由曲线x和直线y =x及y = 4x在第一象限中所围图形的面积为 .13 设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，假设交换 A的第一行与第二行得到矩阵B,那么|BA*|=14设A,B,C是随机事件，A,C互不相容,P(AB)二解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写岀文字说明、证明过程或演算步(15) (此题总分值 10分)x 22 -2cos xe - elim 4 计算xx(16) (此题总分值 10分)exxydxdyy = ；x与 y =计算二重积分 D，其中D为由曲线x所围区域1

5、0000 万元，设该17此题总分值10分某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定本钱为企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x件和y件，且固定两种产品的边际本钱分别为20+ 2 万元/件与6+y 万元/件.1 求生产甲乙两种产品的总本钱函数Cx, y万元2当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总本钱最小？求最小的本钱3求总产量为50件时且总本钱最小时甲产品的边际本钱，并解释其经济意义18此题总分值 10分xln x cosx 一 1', 一1 ： x ： 1.证明：1 _ x219 此题总分值10分函数fx满足方程f X f x_2fx = 0及f (x) f (x)二 2

6、ex1)求表达式f(x)2 x22求曲线的拐点y = f (x ) ° f (-t )dt20此题总分值 10分1a00、r 1、101a0-1A =001a，b =10 1设<a001<0.(I )求 |A|ii线性方程组 Ax = b有无穷多解，求a，并求 Ax = b的通解.21此题总分值10分10A= -1-0求实数a的值；二次型f(N，X2，X3)= xx的秩为2，求正交变换x=Qy将f化为标准型22此题总分值10分随机变量 X,Y以及XY的分布律如下表所示:X012pY012PXY0124P0求(1) P(X=2Y); cov(X-Y,Y)与 J23此题总分值

7、 10分求(1)随机变量 V的概率密度；(2)E(U V).2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题要求的。假设v Un收敛，那么7 (u2n J u2n)收敛n 二 1(5)(B)(C)(D)(A)0假设v(U2n4 U2n)收敛，那么aun收敛假设'二un收敛，那么二(u2n J -u2n)收敛n =1qooa假设7 (U2n4 -u2n)收敛，那么7 un收敛n =1=o41n(sinx)dx, J 二。4 In(cotx)dx, K = o41n(cosx)dxI : J : K (B) I : K J (C) J < I : K (D)设A为3阶矩阵，将 A的第2

8、列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵记为(100<10、0110，P2 =001001J01°，那么A =R =、选择题：18小题，每题 4分，共32分。以下每题给岀的四个选项中，只有一个选项是符合题目(1)当x； 0时，函数f(x) =3sin x-sin3x与是cxk等价无穷小,(A)k 二 1,c 二4(B)k = 1,c = -4(C)k = 3,c =4(D)k = 3,c 二-4f (x)在 x=0处可导，且f(0) =x2 f (x)2 f (x3)0,那么 lim3x刃x(A)-2f'(0)(B)-f'(0)(C)f'

9、(0)(D)0设dn匚是数列,那么以下命题正确的选项是QOQO(A)那么请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1 1(A) RR (B)R P2(C)P2R(D)RTR设A为4 3矩阵，1,23是非齐次线性方程组 Ax =2的3个线性无关的解,k1, k2为任意常数，贝U Ax二-的通解为n(A) 3 - k1( 2 - 1)2(B) 二 3 k2( 2 - 1)2(C) -3 k1( 3 - 1)k2( 2 - 1)2no 讥(D) -3k2( 2- 1)k3( 3- 1)2fdx), t(x)是连续函数，那么必为概率密度的是 设F1(x), F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度(A

10、) t(X)f2(X)(B)2f2(x)Fdx)(C) f1(x)F2(x)(D)(8)设总体X服从参数 (0)的泊松分布，1 n1心1应的统计量T1Xi，T_2Xi -Xnn yn -1 ynfdx)F2(x)f2(x)R(x)X1,X1,|)|Xn(n 一2)为来自总体的简单随即样本，那么对ET( - ET2, DT| ： DT 2ET1 ；： ET2, DT 1 DT2(A) ET-! ET2, DT1 DT2(B)(C) ET1 ： ET2, DT1DT2(D)二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上x(9) 设 f(x)=四 X(1+3t)t，那么 f

11、'(x)=.xx _(10) 设函数 z=(1+)y，那么 dz|(11)=.y(11) 曲线tan(x + y+二)=ey在点(0,0)处的切线方程为 .4(12)曲线y = Jx21，直线x = 2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积 (13)设二次型f (XX2,X3)=xtAx的秩为1，A中行元素之和为 3,贝U f在正交变换下x=Qy的标准型为.(14)设二维随机变量(X,Y)服从N (巴巴2®2;。)，那么E(XY2)=三、解答题：15 - 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写岀文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (此题总

12、分值10分)1 2sin x - x-1 求极限limxpxl n(1 x)(16) (此题总分值10分)函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数,f (1,1) = 2是 f (u,v)的极值，z = f (x y), f(x, y)l。求-2:z.x .y|(1,1).(17) (此题总分值10分)arcs in 一 x Inxdx(18) (此题总分值10分)4 JTl证明4arctan x - x3=0恰有2实根3(19) (此题总分值10分)f (x)在 0,1 】有 连续的 导数，f (0) = 1 ，且 JJ f (x + y c)xdy = JJ f t c(xdy ，DtDtDt

13、 二(x, y)|0x 三 t,0yt,0Mx yM t(0: t 巴 1)，求 f (x)的表达式(20) (此题总分值11分)设3维向量组冷(1,0,)，:2(0,1,1/， : 3(1,3,5)t 不能由'-1(1,a,1T，(1,2,3)t：3 =(1,3,5)T线性标岀。求：(I)求a ；(n )将'-1，'-2，'：3 由：1，： 2，：'3 线性表岀(21) (此题总分值11分)11<-1 1)A为三阶实矩阵，R(A) =2，且a00=1001-1 1 丿<11求：(I )求A的特征值与特征向量;(n)求 A(22) (此题总分

14、值11分)X，Y的概率分布如下:X01Y-101p1/32/3P1/31/31/32 2且 p(x =Y )=1 ,求：(I ) (X, Y)的分布；(n ) Z = XY的分布；(皿)=y.(23) (此题总分值11分)设(X,Y)在G上服从均匀分布， G由x-y = O , Xy = 2与y = 0围成。求：(I)边缘密度 fx (X);(n) fxY(x|y)。2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每题 4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上_1 1 (A) 0( B) 1(C) 2(

15、D) 3目2是一 阶线性非齐次微分方程y +p(x)y=q(x)x的两个特解，假设常数丸，u使丸y< uy2是(1)假设 I叫 一 -(a)ex =1，那么 a 等于(2)设 y1，该方程的解，-% -Uy?是该方程对应的齐次方程的解，那么()11(A)九=4 =2'221(C)：3'3- 1M 1(B)认=2 2、2口2(D)1 =33(3)设函数f (x) , g(x)具有二阶导数，且g (x) :： 0。假设g(Xo)= a是g(x)的极值，那么f lg(x) 1在 Xo取极大值的一个充分条件是()(A) f'(a)：0(B) f'(a)0(D) f

16、 (a)0(C) f (a) <0 设 f(x) =ln10x , g(x)二x, h(x) =e10 ,那么当 x充分大时有()(A) g(x) : h(x) ： f (x)(B) h(x) ： g(x) ： f (x)(C) f(x) :：: g(x) :：: h(x)(D) g(x) ： f (x) ： h(x)(5)设向量组I：冷，2, : r可由向量组n： '-1, -,11(4线性表示，以下命题正确的选项是(A)假设向量组I线性无关，那么r乞s(C)假设向量组n线性无关，那么r ms(B)假设向量组I线性相关，贝Ur . s(D)假设向量组n线性相关，贝Ur . s(

17、A)11(B)1-1-0一1 0 一设A为4阶实对称矩阵,且1112AA=0,假设A的秩为3,那么A相似于(7)设随机变量的分布函数F(x)二2_x-e0 乞 x ： 1，x _1(A) 01(B)丄2(C)丄一e°2那么 PX =1?=(D) 1 - e"1-1-1(D)-1-1. 0 一L0一1-1(C)0x ： 0(8)设f,X)为标准正态分布的概率密度，f2(X)为 1-1,31 上的均匀分布的概率密度，假设(x) = af1(x) 惦(x)x 0(a 0,b0)为概率密度，那么x 0a, b应满足(A) 2a 3b =4(B) 3a 2b =4、填空题：914小题

18、，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(C) a b =1(D) a b = 2(9)设可导函数 y=y(x)由方程x yj.20 e"x 2xsint dt确定，那么0dy dXxT(10)设位于曲线1Jx(1 匚 I n2x)(e 乞 x ： ：)下方,x轴上方的无界区域为G ,那么G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是(11) 设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1 + p3，其中p为价格，且R(1) = 1，那么R(p)=.(12) 假设曲线 y =x3+ax2+bx+1 有拐点(一1,0),那么 b=.(13) 设 A， B 为 3 阶矩阵，且 |A=3， B

19、=2， A+B=2，贝U A+B =.2 1 n 2(14) 设X1，X2，Xn为来自整体N(；)(匚 0)的简单随机样本，记统计量TXi ，那么n i 二ET =.三、解答题：15 - 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写岀文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (此题总分值10分)1 1求极限 lim (xx -1)lnxx_jbc(16) (此题总分值10分)计算二重积分.(X y)3dxdy，其中D由曲线x =£1 y2与直线x 、2y = 0及x-、2y =0围成。D(17) (此题总分值10分)求函数u =xy - 2yz在约束条件x2 y2 z2

20、 =10下的最大值和最小值(18) (此题总分值10分)1 n 1(I) 比拟(lnt Un (1+t)】dt 与(tn I nt dt (n =1,2,111)的大小，说明理由(H) 设 Un = |lnt Un(1 +t) J1 dt (n =1,2,HI)，求极限 lim Un0nSC(19) (此题总分值10分)设函数f(x)在0,31上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且 2f (0) = ： f(x)dx=f (2)+f (3)，(I) 证明：存在 (0,2)，使 f ( ) = f (0)(H)证明：存在 '(0,3)，使f "()=0(20) (此题总分值11

21、分)飞1 n 荀设 A= 0九一1 0 ，b= 1'J 1门 J J线性方程组 Ax = b存在2个不同的解(I)求， a(n)求方程组 Ax = b的通解(21) (此题总分值11分)0设 A= _1'.4-13a41a ，正交矩阵Q使得QtAQ为对角矩阵，假设01Q的第1列为 (1,2,1)t ,求a，QV6(22) (此题总分值11分)设二维随机变量(X， Y)的概率密度为f (x， y) = Ae" 2xy_y，-；： x J,-： y ：,求常数A及条件概率密度 fy,X (y x)(23) (此题总分值11分)箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，

22、2，3,现在从箱中随机的取岀2个球，设X为取岀的红球个数，丫为取岀的白球个数，(I)求随机变量 (X，Y)的概率分布(H)求 Cov(X，Y)2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每题 4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上3X X(1)函数f(x)的可去间断点的个数为sin XX(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个(2) 当 Xr 0时，f(x)=x-sin ax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，那么1(A) a =1， b .61(C) a = -1，b .6,

23、1(B) a = 1， b .6(D) a = T，b =丄.6x的范围是(3)使不等式(A) (0,1).(B) (1-).(C)(一，二).2 2(D)(二(4)设函数y=f x在区间1-1,3 1上的图形为(A)-1(B)(C)(5)(D)设A, B均为2阶矩阵,A , B分别为A, B的伴随矩阵，假设| A|=2,| B|=3，那么分块矩阵LB 0丿伴随矩阵为Fo3B* "0*2B(A)*(B)*<2Ao<3A0/亠/亠*03A02A(C)*(D)*<2Bo,3B0(6)设A, P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且ptap假设P),Q=(S+ 02,020

24、3)，那么 Qtaq为2'210、10、(A)110(B)12002丿I002丿z200、00、(C)010(D)020<002丿<002丿设事件A与事件B互不相容，那么(A) P(AB)=0(B)P(AB)= P(A)P(B)(C) P(A)=：1 P(B).(D)P(A2B)：=1 .(8 )设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1) , Y的概率分布为1PY =0 =PY =1，记Fz(Z)为随机变量Z =XY的分布函数，那么函数 Fz(z)的间断点个数为(A) 0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在

25、答题纸指定位置上.COSX(9)e e四心一1(10)设 z =(x +ey)x，那么竺dx(1,0)(11)oO幕级数n吕e+)n2n的收敛半径为(12)设某产品的需求函数为Q =Q(P),其对应价格P的弹性 0.2，那么当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.广3 0(13)设 a =(1,1,1?，3 =(1,0,kf，假设矩阵 aB T 相似于 0 0I。000，贝U k=.0丿(14)设X1，X2,Xm为来自二项分布总体 B(n,p)的简单随机样本, 2X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量 T二X - S2，那么ET -.三、解答题：1523小题，共94分.请

26、将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写岀文字说明、证明过程或演算步骤(15)(此题总分值 9分)求二元函数f(x, y)=x2 2 y；i，y lny的极值.(16) (此题总分值 10分)计算不定积分M(1+F)dx(x 0).(17) (此题总分值10分)计算二重积分 jKx-yjdxdy，其中 D =( x, y) (x 1)2+(y-1)2 兰2, y Z x.D(18) (此题总分值 11分)(I)证明拉格朗日中值定理，假设函数f (x)在la,b 上连续，在a,b上可导，那么 二a, b，得证f(b) f(a) = f'( ) b_a .(n)证明：假设函数f (x)在x=

27、0处连续，在 0,匚，(二 0)内可导，且lim f'(x)=A，那么f.'(0)存在，且 f' (0) =A.(19) (此题总分值 10分)设曲线y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x) .0.曲线y=f(x)与直线y=0,x = 1及x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的二t倍，求该曲线的方程.(20) (此题总分值11分)设广1_1A=_111W1 1 134一2c2J(I)求满足 A 2 = 1， A 3=1的所有向量=2，=3 .()对(I)中的任意向量 2,3，证明,2,3线性无关.(21) (此题总分值

28、11分)设二次型f(X1,x2,X3)二ax/ ax?2 (a1)X32 2x1X32x2X3.(I) 求二次型 f的矩阵的所有特征值.(n)假设二次型 f的标准形为yj y22，求a的值.(22) (此题总分值11分)设二维随机变量(X ,Y)的概率密度为(I)求条件概率密度fY|X (y x)；(n)求条件概率 px <1 Y <.(23) (此题总分值11分)袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.(I)求 px =1 Z =o;(n)求二维随机变量 (X,Y)的概率分布.2021年全国硕士研究生入

29、学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每题 4分，共32分，以下每题给岀的四个选项中，只有-把所选项前的字母填在题后的括号内xf(t)dt(1)设函数f (x)在区间-1,1上连续，贝U x = 0是函数g(x)=的(x(A)跳跃间断点.(B)可去间断点.(C)无穷间断点.(D)振荡间断点.X、Y、Z分别项符合题目要求,a to xft(x)dx 等于()(2) 如图，曲线段方程为 y二f(X)，函数f(x)在区间0, a上有连续的导数，那么定积分(A)曲边梯形 ABOD面积.(B)梯形ABOD面积.(C)曲边三角形 ACD面积.(D)三角形ACD面积.2|4(3) f (x, y) =e

30、"x，那么(A) fx (0,0)，fy (0,0)都存在(B)fx (0,0)不存在，fy(0,0) 存在(C)fx0,0 存在， fy0,0 不存在(D)fx (0,0) , fy (0,0)都不存在4 设函数f(x2 y2)f连续，假设Fu,v二7F2Duvdxdy，其中duv为图中阴影局部，那么JCU2(A) vf (U )V 2(B)f (U )( C)Uvf(u)(D)-f(u) u(5)设A为阶非o矩阵,E为n阶单位矩阵，假设3A =0,那么(6)(8)(A)(B)(C)(D)(A)E - A不可逆,E - A不可逆,E - A可逆,E - A可逆,(1<2-2E

31、-A不可逆.E A可逆.E A可逆.EA不可逆.那么在实数域上域与 A合同的矩阵为(B)'2 1 '' 1-2'(C)(D)<12212丿随机变量X ,Y独立同分布，且 X分布函数为F x，那么Z二max'.X,Yf分布函数为(A) F2(B) F x F y .(C)1 - j -F (x )2.(D)J-F xy .随机变量XN 0,1 , YN 1,4且相关系数 -1，那么二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上x21X兰c(9)设函数 f (x) = < 2在(_OQ, +逐)内连续，那么c =x c

32、(10)31 x x设 f(X )4x 1 +x2、2，那么 2 f (x)dx 二(11)设 D =( x, y)X2 y2 乞 1，那么！! (x2 - y)dxdy 二D(12)微分方程xy' y = 0满足条件y(1) = 1的解是y =(13)设3阶矩阵A的特征值为1，2，2， E为3阶单位矩阵，那么 4AE=(14)设随机变量 X服从参数为1的泊松分布，那么 pfx = EX2 ?=三、解答题：15 - 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写岀文字说明、证明过程或演算步骤(15) (此题总分值10分)1 , sinx求极限lim 2ln .T X x(

33、16) (此题总分值10分)设z=z(x,y)是由方程x y;：x y z所确定的函数，其中 具有2阶导数且'-1时.(I)求 dz(n) 1 记 u x, y =.:z:zx-ycx cy，求乂:x(17) (此题总分值11分)计算 JJmax(xy,1)dxdy,其中 D =(x, y) 0 兰 x 兰2,0 兰 y 兰2.D(18) (此题总分值10分)设f x是周期为2的连续函数,td22(I)证明对任意的实数 t，有十f x dx f x dx ;(n)证明G x二2的周期函数.(19) (此题总分值10分)万元，第二年提取 28万元，第n年提取10+9n万元，并能按此规律一

34、直提取下去，问A至少应为多少万元?20此题总分值12 分)设n元线性方程组Ax二b，其中'2 a2a2a 1a2 2a(I)求证行列式A hn 1 an；(n)a为何值时,该方程组有唯一解，并求皿a为何值时,方程组有无穷多解，并求通解。(21)此题总分值10分Xi ；设A为3阶矩阵,x/lX2110卫一q, a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量，向量玄3 满Aa a? 玄3，I证明a1, a2,a3线性无关;(n)令 P =：a1,a2,a3，求 PAP.22此题总分值11分设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为PX = $ =丄3匸4,0, 1，Y的概率密度为f1"

35、0其2 j，记 Z = X 丫其它(I)(n)Z的概率密度fZ z.(23)此题总分值11分S2 1 n设X1,X2l,Xn是总体为N = ；2的简单随机样本.记XXi，n i# X2s2.nI证明T是j2的无偏估计量(n)当=0,；=1 时，求 DT .2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每题 4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上当Xr 0时，与 X等价的无穷小量是()(B) In(1、x)(C)1 . X -1(D) 1 - COS X 设函数f(x)在x =0处连续，以下命题错误的

36、选项是()(A) 假设lim丄存在，贝u f(0) =0x_° X(B) 假设 lim f(x) f(x)存在，那么 f(0)=0O x(C) 假设lim丄 存在，那么f'(0)存在x-0 x(D )假设limf ( x)存在，那么 f '(0)存在xjx(3) 如图，连续函数 y = f(x)在区间-3,-2，2,31上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间1-2,0 1, 0,2 上图形分别是直径为X2的上、下半圆周，设F(x) f(t)dt,那么以下结论正确的选项是()、3(A) F(3)F(-2)43(C) F(-3)F(2)4 设函数f (x, y)连续

37、，那么二次积分1兀(A)0dynyf(x,y)dx1Hdarcsin y(C).0dy 匸 f (x, y)dx25(B) F(3) F(2)45(D) F(-3)F(-2)4二 dx :xf(X, y)dy 等于()21 H(b ) dyf (x, y)dx$0 八J!_arcs iny ' 八1. arcsin y(D)0dy 匸 f(x, y)dx2(5)设某商品的需求函数为q =1602 ，其中 Q，t分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，那么商品的价格是()(A) 10( B) 20( C) 30( D) 401(6)曲线y ln(1ex),渐近线的条数为(

38、)x(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3 设向量组 二i，二2、二3线性无关，那么以下向量组线性相关的是()(A):j -2，>2 八3 ，3-宀(B) 宀+:二，2 +3，3+' 12 11、11 0 0、(8)设矩阵 A = <_12-11>，BR0 10、那么A与B()-1 -1 2 ,f 0 0(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(C):j _2_：込，-：込 _2二3,二3 _2一:(D) 一： - 2二2,二2 - 2_：込，-：込'2一：(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，

39、那么此人第4次射击恰好第 2次命中目标的概率为()2(A)3p(1 _p)2(B) 6p(1 - p)2 2(C) 3p (1-p)2 2(D) 6p (1-p)(10)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x), fy(y)分别表示X, Y的概率密度,那么在丫 = y条件下，X的条件概率密度 fX|Y (x y)为()(A) fx(X)(B) fY(y)(C) fx(x)fY(y)(D)fx(X)fY(y)(11)limx :x3x2(12)设函数2x(sin x cosx)=12x 3那么 y(n)(0)=、填空题：11-16小题，每题 4分，共24分，请将答案写在答

40、题纸指定位置上(13)设f (u,v)是二元可微函数,微分方程d = ()3满足y x# =1的特解为y二dx x 2 x(15)设距阵A =000<010000 01 00 10 0>,那么A3的秩为1(16)在区间(0,1)中随机地取两个数，这两数之差的绝对值小于丄的概率为 .2三、解答题：17-24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上解容许写岀文字说明、证明过程或演算步骤.(仃)(此题总分值 10分)设函数y = y(x)由方程ylny _xy=O确定，试判断曲线 y = y(x)在点(1, 1)附近的凹凸性。(18) (此题总分值 11分)设二元函数计算二重积分

41、jj f (x, y)dcr.其中 D = (x, y)| x + y| 兰2。D(19) (此题总分值 11分)设函数f (x) , g(x)在la,b上内二阶可导且存在相等的最大值，又f (a) = g(a) , f (b) = g(b)，证明：(i)存在 (a,b),使得 f ( ) =g()；(n)存在一 (a,b),使得 f''( Hg''()。(20) (此题总分值 10分)1将函数f (x)二二展开成X -1的幕级数，并指岀其收敛区间。X2 -3x-4(21) (此题总分值 11分)% +x2 +x3 =0设线性方程组*捲+ 2x2 + ax3 =

42、 0(1)2台 +4x2 + a x3 =0与方程有公共解，求a的值及所有公共解。(22) (此题总分值 11分)设3阶实对称矩阵 A的特征值 =12 =2,1 一 -2, r =(1,-1,1)丁是A的属于r的一个特征向量。记 B = A5 -4A3 E，其中e为3阶单位矩阵。(I)验证是矩阵B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量；(n)求矩阵 B。(23) (此题总分值 11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(I)求 pfx 2Y?；(n)求Z二X Y的概率密度fz(z)(24)(此题总分值 11分)设总体X的概率密度为C <x <1,-0,其他其中参数二(0：1)

43、未知，X1,X2,.Xn是来自总体 X的简单随机样本，X是样本均值(I)求参数 V的矩估计量V ;2 2(H)判断4X 是否为二的无偏估计量，并说明理由。2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题：1 - 6小题，每题 4分，共24分.把答案填在题中横线上(1)lim 口u n设函数f(x)在x = 2的某邻域内可导，且x二ef x， f 2 =1，那么f2二设函数1f (u)可微，且 f'(0)= 3，那么 z=f(4x2 - y2 )在点(1,2)处的全微分 dZf,2)设矩阵2 1厂12，E为2阶单位矩阵，矩阵 B满足BA=B + 2E，贝U B =设总体X的概率密度

44、为2：x：,X11X2l,Xn为总体X的简单随机样本,(5)设随机变量 X与丫相互独立，且均服从区间0,3 1上的均匀分布，那么 PmaxX,Y?空1.； =其样本方差为S2，那么ES2二二、选择题：7- 14小题，每题 4分，共32分.每题给岀的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内 设函数y = f (x)具有二阶导数，且f(X) 0, f(X) 0 ,为自变量x在点x0处的增量，厶y与dy(A)0 ： dy ： . ：y .(B)0 ： . ：y : dy.(C).：y : dy : 0 .(D) dy ： . ：y ： 0 .(8)设函数f x在x = 0

45、处连续，且f h2hm人2=i，那么()(A)f 0严0且f_ 0存在(B) f 0=1 且 f_ 0 存在(C)f 0=0且f 0存在(D) f 0=1 且 f ' 0 存在O0(9)假设级数an收敛，那么级数()n 4oOQO(A)zan收敛.(B)Z (1)nan收敛.n =1n 二(C)QOza.an+收敛.(D)£an勺曲收敛n 二n32(10) 设非齐次线性微分方程讨 P(x)y二Q(x)有两个不同的解y1(x), y2(x),C为任意常数，那么该方程的通解是()(A) Cly(x) - y2 (x)(B)%(x)Cyi(x)-y2(x)l.(C) Clyi (x

46、) y2(x) 1.(D)yi(x)C ly(x)y2(x) 1(11) 设f (x, y)与(x, y)均为可微函数，且:y (x, y) = 0，(x0, y0)是f (x, y)在约束条件(x, y0下的一个极值点，以下选项正确的选项是()(A) 假设fx(X。,y°)=0，那么fy (x0,y°)=0.(B) 假设fx(x°,y°)= 0，那么fy (x0,y°)=0.(C) 假设fx(x°,y°)= 0 ,那么fy («,y°)= 0.(D) 假设fx(x。，丫0)=0,那么彳丫化他)。.(12

47、) 设：仆2l(,均为n维列向量， A为m n矩阵，以下选项正确的选项是()(A)假设i2l(s线性相关，那么 A： i, A： 2I(,A： s线性相关.(B) 假设1,：2丨1飞线性相关，那么 A： 1, A 2,11(, A： s线性无关.(C) 假设:j,2,|l(,s线性无关，那么 A：仆A： 2,1 1(, A: s线性相关.(D) 假设:j,： 2,|l(,s线性无关，那么 A： 1,A： 2,11(,A： s线性无关.(13) 设A为3阶矩阵，将 A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记(1 1 0、 P Jo 10，那么()I0 0 b(A) C =

48、PAP .(B) C = PAP.(C) C = PtAP.(D) c =papt.(14) 设随机变量X服从正态分布N(叫,二2)，随机变量Y服从正态分布，且那么必有()(A) G ：匚2(B)二1二2(C)叫,(D)叫 J三、解答题：15- 23小题，共94分.解容许写岀文字说明、证明过程或演算步骤(15) (此题总分值 7分)HX1 - y sin 设 f x, y y£,x 0, y 0，求：1 +xy arcta nx(i) g(x )= lim f (x, y )；y-FC(n) lim g x。(16) (此题总分值 7分)计算二重积分11 . y2 - xydxdy，其中D是由直线y =x, y =1,x = 0所围成的平面区域。D(仃)(此题总分值 10分)证明：当0 a : b ： :时，(18)(此题总分值 8分)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点 M 1,0， 其上任意点 P( x, y X x式0)处的切线斜率与直线 0P的 斜率之差等于ax (常数a>0 )。(i)求L的方程;(H)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为 8时，确定a的值3(19)(此题总分值 10分)0求幕级数7n =1n _1(-1)2n 1X的收敛域及和函数s(x)(20)(此题总分值 13分)设 4维向量