2019-2020年高中数学人教A版必修4学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+

1、2019-2020 年高中数学人教 A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Word 版含解析第 2 课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性1.周期函数(1)周期函数.条件对于函数 f(x)，存在一个非零常数 T当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)结论函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)最小正周期.条件周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小

2、的正数结论这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数 f(x)C，对于任意非零常数 T，都有 f(xT)f(x)，即任意常数 T 都是函数的周期，因此没有最小正周期(2)对于函数 yAsin(x)B，yAcos(x)B，可以利用2公式 T|求最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x周期最小正周期2k(kZ 且     2k(kZ

3、60;且k0)           k0)2               2奇偶性奇函数偶函数状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形提醒：诱导公

4、式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式- 1 - / 10解析：对于 A，T 1  4，对于 B，T，对于 C，T8，对于 D，T  .2019-2020 年高中数学人教 A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Word 版含解析小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“×”)(1)如果存在常数 T，使得当 

5、;x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为 T.()(2)如果存在非零常数 T，使得定义域内存在一个值 x，有 f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为 T.()(3)函数 ysin x，x(，是奇函数()答案：(1)×(2)×(3)×2下列函数中，周期为2的是()xAysin2Bysin 2xxCycos4Dycos 4x2222221424答案：D3函数 f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既

6、是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析：由于 xR，且 f(x)sin xsin(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数，故选 A.答案：A4下列函数中是偶函数的是()Aysin 2xBysin xCysin|x|Dysin x1解析：A、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合 f(x)sin|x|sin|x|f(x)，ysin|x|是偶函数答案：C- 2 - / 10(2)函数 y2sinç36÷的周期为

7、_æxöæxö  2 2sin      ，(2)方法一因为 2sinç36ç36÷øùéæöêú即 2sin   (x6)   2sinç    ÷.æö所以 y2sinç &#

8、160;  ÷的最小正周期是 6.方法二函数的周期 T|6. 是常数，且 A0)，可利用 T|来求2019-2020 年高中数学人教 A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Word 版含解析类型一求三角函数的周期例 1(1)下列函数中，不是周期函数的是()A.y|cos x|Bycos|x|Cy|sin x|Dysin|x|æxöèø【解析】(1)画出

9、 ysin|x|的图象，易知 ysin|x|不是周期函数÷èøè1xë36ûè36øxè36ø2213【答案】(1)D(2)6(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断(2)利用周期的定义，需要满足 f(xT)f(x) ；也可利用公式 T2|计算周期方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(xT)f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数(2)公式法：对形

10、如 yAsin(x)和 yAcos(x)(其中 A，2(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法跟踪训练 1求下列函数的周期(1)y2sin 2x；- 3 - / 10(2)ycosç2x6÷.方法二 T.2019-2020 年高中数学人教 A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Word 版含解析æ1ö

11、2;ø解析：(1)方法一因为 2sin(2x2)2sin 2x，即 2sin 2(x)2sin2x.由周期函数的定义，可知原函数的周期为 .22因  为cos  êç2x6÷2ú    cos  ç2x6÷  ，  即(2) 方 法 一öéæ1   

12、    ù      æ1 öëè      ø     û         è      øcosê2(x4)6ú&#

13、160;cosæç  x  ö÷.方法二 T4(1)f(x)cosç2x 2 ÷；【解析】 (1)函数的定义域为 R.且 f(x)cosç2cosç2x 2 ÷是奇函数é1ù1ëûè26ø由周期函数的定义，可知原函数的周期为 4.212(1)利用周期的定义求函数周期2(2)利用公式 T| |求函数周

14、期类型二正、余弦函数的奇偶性问题例 2判断下列函数的奇偶性æ5öèø(2)f(x)sin(cos x)÷æ2xösin 2x.èø因 为 f(  x)  sin(  2x)  sin 2x  f(x) ， 所以 函数 f(x) æ5öèø(2)函数的定义域为&

15、#160;R.且 f(x)sincos(x)sin(cos x)f(x)，所以函数 f(x)sin(cos x)是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤- 4 - / 102019-2020 年高中数学人教 A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Word 版含解析最小正周期是 ，且当 xê0，2ú时，f(x)sin 

16、x，求 fç 3 ÷的值所以 fæçö÷fæç2ö÷fæç  ö÷，所以 fæç  ö÷fæç  ö÷sin     3.fç 3 ÷f  ç32&#

17、247;fç  ÷，再利用奇偶性 fç  ÷fç  ÷，最后代入注意：若函数 f(x)的定义域不关于原点对称，无论 f(x)与 f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数跟踪训练 2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|sin x|cos x；(2)f(x) 1cos x cos x1.解析：(1)函数的定义域为 R，又 f(x)|sin(x)|

18、cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以 f(x)是偶函数(2)由 1cos x0 且 cos x10，得 cos x1，从而 x2k，kZ，此时 f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数(1)利用定义法判断函数的奇偶性(2)由偶次根式被开方数大于等于 0 求出 cos x 的值以及 x 的值，最后判断函数的奇偶性类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例 3定义在 R

19、0;上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的ùéæ5öëûèø【解析】因为 f(x)的最小正周期是 ，55è 3 øè 3øè3ø因为 f(x)是 R 上的偶函数，è3øè3ø32利用周期性æ5öæ5öæöæöæ&

20、#246;èøèøè3øè3øè3ø求值- 5 - / 10求 fç 6 ÷的值解析：因为 f(x)的最小正周期是2，所以 fæçö÷fæç3  ö÷fæç6×    ö÷fæç&

21、#160; ö÷sin  1利用周期性 fç  6 ÷fç36÷fç6÷代入求值2019-2020 年高中数学人教 A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Word 版含解析方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式，再利用公式求解(2)

22、判断函数 yAsin(x)或 yAcos(x)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 yAsin x(A0)或 yAcosx(A0)其中的一个跟踪训练 3若本例中函数的最小正周期变为2，其他条件不变，æ17 öèø17è6 øè6øè26øè6ø62æ17 öæöæöèøèø&#

23、232; ø1.4.1-2.2解析：该函数的最小正周期 T   3 .基础巩固(25 分钟，60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1函数 y5cos(3x1)的最小正周期为()A.3B323C. 3D. 222答案：C2函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数- 6 - / 10解析：f

24、(x)sinç   2   2 010x÷éæöùsinêç  2 010x÷1 005úæöçsin   2 010x÷cos 2 010x，æöx xcos x，所以 f(x)(x)·cos(x)xcos xf(x)

25、，所xsinç2çysin 2ycosç 2  ç3函数 f(x)sin2   2 010x÷是()  4函数 f(x)xsinç2x÷()Cysinç22x÷Dycosç 2 2x÷2019-2020 年高中数学人教 A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Wor

26、d 版含解析解析：因为 f(x)的定义域是 R，且 f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x)，所以函数 f(x)为奇函数答案：Aæ2 011öèøA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数æ2 011öèøëè2øûè2øf(x)定义域为 R，且 f(x)cos(2 010x)cos 2

27、 010xf(x)，所以函数 f(x)为偶函数答案：BæöèøA是奇函数B是非奇非偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)÷èø以函数 f(x)为奇函数答案：A5下列函数中是奇函数，且最小正周期是  的函数是()Aycos|2x|By|sin x|æöæ3öèøèø解析：ycos|2x|是偶

28、函数；y|sin x|是偶函数；÷æ2xöcos 2x 是偶函数；èø÷æ32xösin 2x 是奇函数，且其最小正周期 T.èø答案：D- 7 - / 10       æ222×  4.ç÷解析：ycos2x2ç÷(1)ycos 2x6

29、 ；(2)y|sin2|.解析：(1)利用公式 T|，可得函数öæ2ycos 2x   的最小正周期为 T.ïx2的最小正周期为 T4，而函数 yïï的，此时函数周期减半，即 yïsin  ï的最小正周期为 2.(2)f(x)sinç 4  2 ÷；  2的最小正周期是_2019-2020 年高中数学人教&#

30、160;A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Word 版含解析二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6f(x)sin xcos x 是_(填“奇”或“偶”)函数f解析：xR 时， (x)sin(x)cos(x)sin xcos xf(x)，即f(x)是奇函数答案：奇(1x)7函数 ycosöèø2答案：48函数 f(x)是以 2 为周期

31、的函数，且 f(2)3，则 f(8)_.解析：f(x)的周期为 2，f(x2)f(x)，f(8)f(23×2)f(2)3.答案：3三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9求下列函数的最小正周期：öæxèø2øè6÷|2|xï    (2)易知函数 ysin21ïsin2ï2的图象是由函数 ysinx的图象将在 x 轴下方部分翻折到上

32、方后得到2xï2ï10判断下列函数的奇偶性(1)f(x) 3cos 2x；æ3x3öèø(3)f(x)x·cos x.解析：(1)因为 xR，- 8 - / 10æ3x3öcos3x，所以 f(x)cos3(x)cos3xf(x)，所以函数 f(x)sinæçö÷是偶函数A当 x2时，sinçx6÷sin x，所以6不是

33、0;f(x)sin x 的周期B当 x12时，sinçx6÷sin x，所以6是 f(x)sin x 的一个周期D因为 cosç2x÷sin x，所以2是 ycos x 的一个周期2019-2020 年高中数学人教 A 版必修 4 学案：1.4.2.2+正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性+Word 版含解析f(x) 3cos(2x) 3cos 2x

34、f(x)，所以 f(x) 3cos 2x 是偶函数f(øè(2)因为 xR， x)sinç 42 ÷443x34è 42 ø(3)因为 xR，f(x)x·cos(x)x·cos xf(x)，所以 f(x)xcos x 是奇函数能力提升(20 分钟，40 分)11下列说法中正确的是()öæèøöæ5èøC因为 sin(x)sin x，所以  是 ysin x 的一个周期æöèø解析：若 T 是 f(x)的周期，则对于 f(x)的定义域内任意 x 都有 f(xT)f(x)成立，B，C，D 错误答案：A312若函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期为 2 ，且满足&