数学f1初中数学十、解直角三角形

1、本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考十、解直角三角形葛泉云 苏州市文昌实验中学【课标要求】1. 掌握直角三角形的判定、性质.2. 能用而积法求直角三角形斜边上的高.3. 掌握勾股定理及其逆定理，能川勾股定理解决简单的实际问题.4. 理解锐角三角函数定义（止弦、余弦、止切、余切），知道四个三角函数间的关系.5. 能根据已知条件求锐角三和函数值.6. 掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值.7. 能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题.8. 能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题.【课时分布】解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排（仅供

2、参考）.【知识回顾】1.知识脉络直接构建直角i 三角形,|建模出数学图形， 再添设辅助线求解已知斜边一锐已知一边i锐角解直角三角角解冇角三角已知一直角边一<已知两边解直锐角解直角三角角三角形已知两直角边 解ft角三角形添辅助线解直角三角形已知斜边一直角边解直角三角形课时数内容1直角三角形边也关系、锐角三角函数、简单 的解直角三角形2解直角三角形的应用2解宜角三角形单元测试及评析2. 基础知识直角三角形的特征直和三和形两个锐角互余;ft角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的半;勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即:在 r

3、t/abc 中，若zc=90° ,则 a2+b2=c2； 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和, 则这个三角形是直角三角形，即：在aabc中，若a,则zc=90° ；射影定理：ac2=ad ab,b&=bd ab,cd?=da db. 锐角三角函数的定义：如图，在 rt/xabc 中，zc=90° ,za, zb, zc所对的边分别为a,b,c,nir aba则 sina= ,cosa ,tana=r ,cotaccd特殊角的三角函数值：(并会观察其三角函数值随q的变化情况)asin acos atan acot a30

4、6;122迈345°返2返21160°亚212豆3解直角三角形(&abc,zc=90° ) 三边之间的关系：a2+b2=c2.两锐和之间的关系：za + zb=90° .边角之间的关系:sina=za的对边_a乙4的邻边_b斜边心宀斜边 vza的对边_aza的邻边_btana=人 一 =,cota=za的邻边 bza的对边 a解直角三角形中常见类型： 己知一边一锐角. 己知两边. 解直角三角形的应用.2.能力要求例 1 在 rt/abc 中，zacb = 90° , ac=6, bc=8, cd丄ab 于点 d,求zbcd 的四个三角

5、函数值.【分析】求zbcd的四个三角函数值，关键要弄清英定义，山于zbcd是在rt/xbcd中的一 个内角，根据定义，仅一边bc是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出和cd,二是 把zbcd转化成z4,显然走第二条路较方便，因为在&zsabc屮，三边均可得出，利川三和 函数定义即可求出答案.d【解】 在 rt/abc 中， zacb = 90° a zbcd+zacd = 90° , vcd丄ab, a zacd+ za=90q , :.zbcd=za.rt/xabc 中，由勾股定理得，jac'+bc? =10, bc 4ac 3 sin zbcd=sin

6、a=r.cos zbcd=cosa,/bc 4/、4 ac 3tanzbcd=tcma韦、cotzbcd=cota= 壬.【说明】本题主要是要学牛了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，即本题 中角的转换.（或可利用射影定理，求出bd、dc,从而利用三角函数定义直接求出） 例2如图，在电线杆上的c处引拉线ce、cf固定电线杆，拉线ce和地而成60°角，在离 电线杆6米的b处安置测尤仪，在a处测得电线杆上c处的仰和为30° ,己知测也仪离为c1.5米，求拉线ce的长.（结果保留根号）【分析】求ce的长，此时就要借助丁-另一个直角三角形, 故过点a作4g丄cd,垂足

7、为g,在rt/xacg中，可求 出cg,从而求得cd,在raced中，即可求出ce的 长.【解】过点a作4g丄cd,垂足为点g,在 rt/acg 中，.zcag = 30° , bd = 6,:.tan30°cg=ag:.cg=6 xcd=2书 +1.5,在 rfaced 中血60。='cdeccd2 巧+1.5=4+3 .答：拉线ce的长为4+羽x.【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往 是解决这类问题的关键.老师在复习过程屮应加以引导和总结.例3如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡

8、度均 为1 : 0.5, 断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求坡角的度数；完成该 大坝的加固工作需要多少立方米的土？【分析】大坝需要的土方=橫断而而积x坝长；所以问题就转化为求梯形adnm的而积，在此 问题中，主要抓住坡度不变，即与ab的坡度均为1 ： 0.5.【解】（1）门=伽5即出=右 =2,zb=63.43°过点m、n分别作me丄ad, nf丄ad, 垂足分别为e、f.me 1山题意可知：me=nf=5,云巨=67， :.ae=df=2.5,vaz)=4,:.mn=ef=.5,；s adnm = 2(1.5+4) x 1=2.75./需要土方为 2.75 x 90=

9、247.5 (/) 【说明】木题的关键在丁抓住前后坡比不变来解决问题,坡度=坡角的正切值，虽然2007年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使川计算器，所以建议老师还是要复习一下 计算器的使用方法.例4某风景区的湖心岛有一凉亭a,其正东方向有一棵人树b，小明想测量a、b之间的距离， 他从湖边的c处测得a在北偏西45°方向上，测得b在北偏东32°方向上，h量得3、c间距 离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算a、b之间的距离.(结果粘确到1米，参考 数据：劝?32° 0.5299,cw32° 0.8480,? $32° 0.6249,“&

10、quot;32° 1.600)【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出ab的长，只要去解rt/xadc和rtbdc即可.【解】过点c作cd丄ab,垂足为d.由题知:za=45° , z0=32° .b /)在 rl'bdc 中，咖32° =,bbd=100s 加 32°5299.cos 32° =卑， 0)=100 cos 32° =84.80.在 rt/adc 中，v zacd=45° , a ad=/)c=84.80.:.ab=ad+bd 138 米.答：ab间距离约为138米.【说明】木题屮涉及到方位角

11、的问题，引导学生画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公 共边是解题的关键，教师在复习屮应及时进行归纳、总结由两个直和三和形构成的各种情形. 例5在某海滨城市0附近海而有一股台风，据监测，当询台风中心位于该城市的东偏南70° 方向200千米的海而p处 并以20千米/时的速度向西偏北25°的pq的方向移动，台风侵袭 范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张.(1) 当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；又台风中心移动/小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米.(2) 当台风中心移动到与城市0距离最近时，这股台风是否侵

12、袭这座海滨城市？请说明理山(参 考数据血= 1.41,弟u 1.73).【分析】由题意易知.先要计算出0h和的反，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区 域半径，此圆半径与0h比钱 即可.【解】(1)100；(60 + 10/).作0丄p0于点h,可算得0/ =100>/2«141 (千米)，设经过方小时时，台风中心从p移动到则ph = 20/ = loox/2 ,算得f = 5近（小时），此时,受台风侵袭地区的圆的半径为：60 + 10x5血"30.5 （千米）141 （千 米）.城市。不会受到侵袭.【说明】木题是在新的情境卜涉及到方位角的解直角三角形问

13、题,对于此类问题常常要构造直 角三角形，利用三角函数知识来解决.例6如图所示：如图，某人在山坡坡脚a处测得电视塔尖点c的仰角为60°,沿山坡向上走到p处再测得点c的仰角为45°,已知04二100米，山坡坡度为£ ,即tanzpab= ）x 0、a、b在同一条直线上。求电视塔oc的高度以及所在位置点p的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留）.【分析】很显然，电视塔oc的高在rtaoac 中即可求得.要求点p的铅直高度，即求pe的长，由坡 度匸1:2,可设pe=x,则ae=2x.此吋只要 列出关于x的的方程即可.而此时要借助于 45°所在的心4来解决.

14、故过点p作pf丄 oc,垂足为 f.在 rtapcf 中，rll pf=cf, 得100+2x=10（）v3 - x,即可求得pe的长.【解】过点p作pf丄oc,垂足为f.在 rtaoac 中，由zoac=60° , 04 = 100,得 oc=oa tan 过点p作pe丄43,垂足为e.由匸1:2,设pe二x,则ae=2x. pf=oe=100+2x, cf=10()v3 -x.在 rtapcf 4l,由 zcpf=45° ,:pf=cf、即 100+2尸 10廉即pe=1001003答：电视塔oc高为100v3米.点p的铅直高度为申°°zoac=10(a/3 米.100 心 100-x, . .x=、米.【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时，当不能直接解出三角形 的边时，可设未知数，利用方程思想來解决，这是解决数学问题中常用的方法，沟通了方程与 解直角三角形之间的联系.【复习建议】1、立足教材，打好基础，学生