EMF14 静态场边值问题1

1、第第1414讲讲 静态场边值问题静态场边值问题授课内容授课内容唯一性定理唯一性定理镜像法镜像法静态场静态场：静电场、恒定电场和恒定磁场等不随时间变化的场：静电场、恒定电场和恒定磁场等不随时间变化的场场计算的两大类问题场计算的两大类问题 已知场量分布求与之相应的场源分布已知场量分布求与之相应的场源分布Dr炎vJH汛vv已知场源分布求该源产生的场量分布已知场源分布求该源产生的场量分布2 1 1 静态场边值问题的基本概念静态场边值问题的基本概念20AJm= -vv 静态场计算方法静态场计算方法2 20AJ在工程上常遇场源分布常较复杂，而在工程上常遇场源分布常较复杂，而且场域往往是由某种边界条件限制的

2、、形状且场域往往是由某种边界条件限制的、形状不一定规则的有限区域。为此，在场论中引不一定规则的有限区域。为此，在场论中引入了辅助计算量入了辅助计算量位函数位函数。 内内已知已知 外外未知未知边界场已知边界场已知数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。对于某一特定的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值初始值与与边界值边界值，这些初始值和，这些初始值和边界值分别称为边界值分别称为初始条件初始条件和和边界条件边界条件，两者又统称为该方程的，两者又统称为该方程的定解条件定解条件。静电场的场量与时

3、间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解场域的场（一定边界条件求解场域的场（一定边界条件下微分方程的解）的问题，称为下微分方程的解）的问题，称为边值问题边值问题。 边值问题边值问题 边值问题求解方法边值问题求解方法Analysis of Boundary-Value ProblemsAnalysis of Boundary-Value Problems有限值l i mrr 自然边界条件自然边界条件 （无界空间）（无界空间） 周期边界条件周期边界

4、条件(2 ) 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如121212,nn1212rS2 静态场问题可以归结为求解满足三类边值的泊松方程（或拉普拉斯方程）的所谓边值问题，它们分别称为狄里赫利问题，纽曼问题和混合问题。 第一类边值：已知场域边界上位函数 第二类边值：已知场域边界上位函数的法向导数（对于静电场，相当于给出了电荷在导体表面的面电荷分布密度。）1( )sf s2( )Sf sn 第三类边值：已知场域一部分边界上的位函数和其余部分边界上的位函数的法向导数1212( )( )SSf sf sn为什么说静电场第二类边界条件与导体上给定电荷分布的条件是等价的？

5、 内内已知已知22220 xy例：例：(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU（第一类边值问题）（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0 x0 x22220 xy00,0 xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。解的解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的解的稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发是指当定解条件发生微小

6、变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。生很大的变化。解的解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。此，解的稳定性具有重要的实际意义。泊松方程泊松方程及及拉普拉斯方程拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。证明

7、电位微分方程解也是惟一的。【唯一性定理唯一性定理】如果给定如果给定 V V 中的电荷分布、边界中的电荷分布、边界S S上的电位值上的电位值或或其方向导数其方向导数值值或或S S中一部分面上给定中一部分面上给定电位值电位值，其余部分给定，其余部分给定电位法向导数值电位法向导数值，则，则V V中的电中的电位唯一确定。位唯一确定。2212= -, = -rrffee蜒证明证明：设场中任意一点有两组解 ，都满足Possion方程12, ff0sf*=()22221212=0fffff*- = -=则电位差 满足Laplace方程12fff*=-0snf*=120, 0ssnff*=电位差 满足齐次边界

8、条件f*（第一类）（第二类）（第三类）vr11sVV=20sVun=应用Green第一定理()2vSdVdSnffffff*炎蝌()2vSdVdSnjfjfjf炎蝌fjf*=令：则显然，在给定三类边界条件中任何一类的情况下，上式的右边都为零。左边第一项也为零，得0f*=20vf*=()122kvSSSdVdSdSdSnnnffffffffff*抖炎+抖蝌蝌L蜒12Cff=20f*殉若为第一类边界条件，在既满足场域，又满足边界条件的情况下，C0。若为第二类边界条件，当选择相同的电位参考点时，C0.对第三类混合边值问题，只要将闭合面积分写成各部分表面的面积分之和，对每一部分采用上述的方法处理，结论

9、相同。唯一性定理给出了唯一性定理给出了定解定解的充分必要条件，虽然没有给的充分必要条件，虽然没有给出出具体的求解方法具体的求解方法，但对于求解有着重要的指导意义：，但对于求解有着重要的指导意义：【唯一性定理的指导意义唯一性定理的指导意义】 一方面，我们在构造求解方程时，可以依据唯一性定理一方面，我们在构造求解方程时，可以依据唯一性定理设置必要的设置必要的边界条件边界条件； 另一方面，如果我们另一方面，如果我们利用某种方法获得了解利用某种方法获得了解，则可以肯，则可以肯定解是定解是唯一唯一的。即使采用不同的方法获得了的。即使采用不同的方法获得了不同形式的解不同形式的解，也可以肯定这些解是也可以肯

10、定这些解是等价等价的。的。2. 2. 镜像法镜像法 实质实质: :是以一个或几个是以一个或几个等效电荷（或电流）等效电荷（或电流）代替边界的影响，代替边界的影响，将原来具有边界的将原来具有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而自由空间，从而使计算过程大为使计算过程大为简化简化。 依据：依据：惟一性定理。因此，等效电荷（或电流）的引入必须惟一性定理。因此，等效电荷（或电流）的引入必须维持原来的维持原来的边界条件不变边界条件不变，从而保证原来区域中静态场没有改变，从而保证原来区域中静态场没有改变，这是确定等效电荷（或电流）的这是确定等效电荷（或电流）的大小大小及其

11、及其位置位置的依据。这些等效的依据。这些等效电荷（电流）通常处于电荷（电流）通常处于镜像位置（待求场域之外）镜像位置（待求场域之外），因此称为，因此称为镜镜像电荷像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。关键：关键：确定镜像电荷的个数、大小及其位置。确定镜像电荷的个数、大小及其位置。 局限性：局限性：仅仅对于某些仅仅对于某些特殊的边界特殊的边界以及特殊分布的电荷（或以及特殊分布的电荷（或电流）才有可能确定其镜像电荷。电流）才有可能确定其镜像电荷。 （1）点电荷与无限大的导体平面。）点电荷与无限大的导体平面。 介质 导体 q r P 介质 q r P hhrq 介质 以一个处于镜像位置

12、的点电荷代替边界的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 44qqrrfpepe=+考虑到无限大导体平面的电位为零考虑到无限大导体平面的电位为零，求得，求得qq边值问题：（导板及无穷远处）（除 q 所在点外的区域）（S 为包围 q 的闭合面）200sDdSqff= 平面导体的镜像 上半场域边值问题：2000044qqrrffpepe=-=（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）（S 为包围q 的闭合面）sDdSq=

13、电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半上半部分部分完全相同。完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。表面吻合。电场线等位线 z 电荷守恒：电荷守恒：当点电荷当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜

14、像法的实质是以一个异性的的镜像点电荷镜像点电荷代替导体表面上异性的代替导体表面上异性的感应电荷感应电荷的作用。根据电荷守恒的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，可以根据原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。半空间等效：半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，为在上半空间中，源及边界条件未变源及边界条件未变。（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为pEEE+-=+2

15、02cos4pqErqpe=22 3/202()qhhxpe=+022 3/22 ()ppqhEhxsep= -= -+22 3/2022 ()pSqhdSxdxhxspp-=+蝌22 1/201()qhhx轾犏=犏+臌q【例例19.119.1】 求空气中一个点电荷求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。在地面引起的感应电荷分布情况。q解: 设点电荷 离地面高度为h，则q 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布qq仅当这种导体劈的夹角仅当这种导体劈的夹角=180/n(n为整数）时，才可求出其镜像，才可求出其镜像电荷，电荷，镜像电荷为2n-1个。分布在半径为r0的圆上（r0为点电荷到角顶点

16、的距离）。镜像的角度为2m, m=1,2,电荷量为q，为点电荷与劈的一平面的夹角。/3/3q 连续分布的连续分布的线电荷线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。原理得知，同样可以应用镜像法求解。 （2 2）导体劈的镜像法）导体劈的镜像法abq0f=abqab-qab-qabq直角形导体平面镜像0 10 20 30 44444qqqqrrrrfpepepepe-=+r1r2r3r4为整数nn /1800qq-q-qq-q镜像电荷加在区域外只用于求区域内的场（3 3）电介质分界面的镜像）电介质分界面的镜像12ttEE=12nnDD=边值问题：210f=220f=(下半空间)(除 q点外的上半空间)112 qqqqqqeee+=-= 点电荷对无限大介质分界面的镜像 coscoscos222444112 si nsi nsi n222444qqqrrrqqqrrrqqqpepepeqqqppp+=-=和1212qqeeee-=+