D隐函数的求导方法学习教案

1、会计学1D隐函数的求导方法隐函数的求导方法1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共32页定理定理1.1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数第2页/共32页两边对 x 求导在的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共32页若F(

2、 x , y ) 的二阶偏导数也都连续,xy则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共32页在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解: 令连续 ,由 定理1 可知, )(xfy 导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求第5页/共32页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共32页两边对 x 求导1两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共32页若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x

3、, y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共32页两边对 x 求偏导同样可得则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共32页解法解法1 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导第10页/共32页设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共32页设F( x , y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第12页/共32页对方程两边求微分:解法解法2 微分法. 2F机动 目录 上页 下页

4、返回 结束 第13页/共32页隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共32页的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共32页定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P86-P87)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxGFyyGF第16页/共32页有隐函数组则两边对 x 求导得在点P

5、 的某邻域内xuxvxF00公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式第17页/共32页同样可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共32页解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习: 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:由题设故有第19页/共32页在点(u,v) 的某一1) 证明函数组( x, y) 的某一邻域内2) 求解解: 1) 令对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共32页式两边对 x 求导, 得xuxv机动 目录

6、 上页 下页 返回 结束 则有由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. 第21页/共32页机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得第22页/共32页的反变换的导数 .同样有所以由于uyJ 1r机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共32页1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共32页 11f 2f 211fyxf21fzyf1f 2f 21fzy

7、f机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共32页),(zyxzyxfz2f 21fzyf第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d y, d z 的系数即可得第26页/共32页分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得x x(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得因此第27页/共32页是由方程和0),(zyxF所确定的函数 , 求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得(99考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页对各方程两边分别求微分:化简得消去机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得第29页/共32页解解:第30页/共32页德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分