2018年高考数学一轮复习专题34基本不等式教学案理

1、专题34基本不等式1. 了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.a+b1. 均值不等式：abwy(1)均值不等式成立的条件：a0,b0.等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号a+b(其中=称为正数a,b的算术平均数，ab称为正数a,b的几何平均数2. 几个重要的不等式a2+b22ab(a,b R)，当且仅当a=b时取等号b awb+2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号a b3.利用均值不等式求最值已知x0,y 0,贝 U如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2*p(简记：积定和最小).2如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时，xy有最

2、大值是(简记：和定积最大).高频孝点突破高频考点一配凑法求最值考情解abw(a,bR)，当且仅当a=b时取等号a,b R)，当且仅当a=b时取等号2 . 2a+b2-2 -51【例 1】(1)已知x0,W （5竝）+3=-2+3=L当且仅当5 -敗二需7即1时，等号成立.故人为=抵一2 +石士的最大值为1.2）令f二钻匚I刁0,贝|二十1所叹尸尹+1；3 +尸刖才当(=0,即x=l时，y-0j当即工1时,因为卄性2心二4（当且仅当t=2时取等号:b所以尸十-誌卄；+1即y的最大值为*当f=2,即工=5时丁取得最大值）*【方法规律】（1）应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”所

3、谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，是指满足等号成立的条件.（2）在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式, 然后再利用均值不等式则皿二転_2+二“三相-4 -1【变式探究】若对?x X不等式x+R -1a恒成立，则实数a的取值范围是【答案】汽 2(2)2 3+ 211【解析】析(1)因为函数f(x) = X-1 在1 ,+)上单调递增，所以函数g(x) =x+ 1-xX十 I2 在0,十8)上单调递增，所以函数g(x)在1，十)的最小值为g(1) = g,因此对?x 11 1不等式x十x 1a恒成立，所以awg(x)最小值

4、=2，故实数a的取值范围是2(x 2x+ 1 )十(2x 2)十 3 x12(x 1)十 2 (X 1 )十 3x 1=(x1)十x十 223 十 2.当且仅当x 1= 土，即x=3+ 1 时，等号成立x1高频考点二常数代换或消元法求最值【例 2】(1)若正数x,y满足x十 3y= 5xy，则 3x十 4y的最小值为 _.(2)已知x0,y0,x十 3y十xy= 9，贝U x十 3y的最小值为 _.【答案】(1)5(2)613【解析】析 法一由x+可得弃+寿=1、_ *:去+4尸+4呛+寻)一9 4 , , 1勾*13斗口m斗女_121/nn亠、= +亦+證刁三+壬=当且仅当亦二，即x二1,尸

5、尹專节成乂力二去+知的最小值是5.函数 yx2+ 2x- 1(x1)的最小值为1.-5 -由x+ 3y= 5xy，得x=3y5y1,/x0,1二y5，-6 -【答案】 (1)18(2)A3x+ 4y=-+ 4y=5y 113 y 5 + 5+54y13 945151y5+4y-1当且仅当y= 2 时等号成立，二（3x+ 4y）min= 5.由已知得x=越.法一（消元法）因为x0,y 0,所以 0vyv3,所以x+ 3y=：+?+ 3y12存y+3(y+1)6212=3(y+1),1+y当且仅当121+y 3 (y+ 1) 6 = 6,即y= 1,x= 3 时，(x+ 3y)min= 6.法二/

6、x 0,y 0,1 19 (x+ 3y) =xy= (3y) 0，则t2+ 12t 1080,(t 6)(t+ 18) 0,又Tt0,二t6.故当x= 3,y= 1 时，(x+ 3y)min= 6.【方法规律】条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式,建立所求目标函数的不等式求解82【变式探究】已知x0,y0且x+y= X 则-+勺的最小值为已知正数x,y满足x+ 2yxy= 0,贝 Ux+ 2y的最小值为（

7、A.8B.4C.2D.0=5,1354-7 -【解析（IX常数代换法）因为且j+y=b所谭+MC+鼬+M= 10 +里+空刁10 + 2、）乔二1叫jr vV v当且仅当竽=黑 即x=2y时等号成立JT V所以当菱二扌，尸*寸，+输最小值血k21由x+ 2yxy=0,得殳+y= 1,且x0,y0.21 4y x X+2y=（x+2y）Xx+y=7+y+44+4=8.高频考点三 均值不等式在实际问题中的应用【例 3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50Wx 100（单位：千米/时）假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 2+ 360 升，司机的工资是每

8、小时 14 元.（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值【解析】 设所用时间为尸竿助尸学 X2X（2+韵十 14*学，|50, 100.所儿 己閃亍化頁用壬于询烹 5 杲尸葺亘耳洛疋闻 毗血门=罟十卷 心您360Xf即工=比個寸等号成立一故当厂 1 仇丽米耐，这次行车的总罄用最低：最低裁用的值为 2$何元_100),130X18 2X130 c尸一；+卡矿谡两当且仅当 130X18 2X130-8 -【方法规律】（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数-9 -（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函

9、数的最值（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）求解【变式探究】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒），平 均车长1（单位：米）的值有关，其公式为F=v2+7680OV20l*（1）_如果不限定车型，I= 6.05，则最大车流量为辆/时；（2）_如果限定车型，I= 5,则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 _辆/时【答案】 (1)1 900(2)100【解析】析Z76 000v(1)当丨6.05时，尸一v2+ 18v+ 20X6.05，121

10、当且仅当v=即v=11时取最大车流量F为 1 900 辆/时.二最大车济重比中的最大车流量增加2呗-1 900= 100辆舟左真题廉悟工 x - y 2 _ 0,1.【2016 高考天津理数】设变量x,y满足约束条件 2x，3y-6_0,则目标函数 z=2x，5y 的 3x 2y 9 乞 0.76 000vF=v2+ 18v+ 12176 000w121v+18v76 000=1 9002v+1876 000当且仅当76 000v_ 1 1V2+18V+20X5_=2 000,+ 1876 000v+100v+ 1,即v=10时取二”-10 -(A)-4(B) 6(C) 10(D) 17最小值

11、为（）【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A(0,2), B(3,0),C(1,3)，直线z=2x，5y过点 B 时取最小值 6，选 B.?x+ y ? 2,2.【2016 高考山东理数】若变量x,y满足/x- 3y? 9,则 x2+ y2的最大值是()锍0,(A) 4( B) 9( C) 10( D) 12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域，X2 y22表示点(x,y)到原点距离的平方，最大值必在顶点处取到，经验证最大值为0C =10,故选C.、1h【2015高考四川，理9】如果函数f x m-2x2

12、n- 8xTm_0, n_0在区间1,2上单调递减，则mn的最大值为()_281(A) 16( B) 18( C) 25(D)2【答案】B【解析】刑工 2 时，抛物线的对称轴为-空一据题劭 当时，-=二 2即m-2m-22m + n12r yjlm n 用 由 2 且 2 用丰沖二 12 得朋=3 卫=6.当用丈 2 时抛物线开口向下，1S 题竜得，即擀+2 科兰丁 佑不兰竺 p 兰 9财兰里由 2 心酬且m2222/M2n=l8得胡=9a2；故应舍去一要使得朋用取得最大值应有朋+2 用=18(JMCZ心 8)”所叹mn-(18-2pi) )Kx8 = 16?所以最大值为 但选 B 一一2.【

13、2015 高考陕西，理 9】设f(x)=l nx,0：a：b，若p = f(Jab),f (-),21r (f(a) f (b)，则下列关系式中正确的是()2A.q=r：pB.q=r pC.p=r：qD. p =r q-11 -【答案】C)=ln【解析】-12 -1 1 _r (f(a) f (b) In ab = I n.ab，函数f(x)=l nx在0,亠j 上单调递增，因为ab，所以f(青3 f ( ab)，所以q p =r，故选C.3.(2014 辽宁卷)对于c0，当非零实数a,b满足 4a2 2ab+ 4b2c= 0 且使|2a+b|最345大时，-一+-的最小值为a b c-【答案

14、】2【解析】由题知 2c= (2a+b)2+ 3(4a2+ 3b2).1-4-2-2,315345当且仅当a= 3,b= 1c= 5 时，3 4+5取最小值一 2.422a b c4. (2014 山东卷)若jax2+的展开式中X3项的系数为 20,则a2+b2的最小值为 _【答案】2【解析】Tr+1= C6(ax2)6r ix= C6a6rb x123，令 12 3r= 3,得r= 3，所以 C6a6 3b3= 20,即a3b3= 1,所以ab= 1,所以a2+b22ab= 2,当且仅当a=b,且ab= 1 时，等号成立故a2+b2的最小值是 2.5. (2014 福建卷)要制作一个容积为

15、4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面 造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A. 80 元B. 120 元C. 160 元D. 240 元【答案】C【解析】设底面矩形的长和宽分别为am,bm,则ab= 4(m2).容器的总造价为 20ab+ 2(a+b)x10= 80 + 20(a+b)80+ 40. ab= 160(元)(当且仅当a=b时等号成立).故选 C.2 2、22 f122?3252(4a+ 3b) 1 + 3 (2a+b) ? 4a+ 3b4(2a+b)，即 2c-(2a+b),3b2当且仅当4a2即 2a= 3b=

16、 6 入(同号)时,|2a+b|取得最大值5C,此时c= 40 入2.-13 -6.（2014 重庆卷）若 log4（3a+ 4b） = logab，贝Ua+b的最小值是 _【答案】7+ 4 3【解析】由log4（3+44）3fi+4A=aft,43且旨0,一+-=1，呂b/.a+ b=（a+ b）7 +丫 +2/半丸二7 + 4皈 当且仅当岂二匀寸取等号.b ab a5.（2014 四川卷）已知F为抛物线y2=x的焦点，点 A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA-OB=2（其中O为坐标原点），则ABOWAFC面积之和的最小值是（【答案】B【解析】由题意可知，硝 0）设越込 Vi）,冼已 H

17、）,二励-血=肋滋+痢=2,解得或 yiH 二一 2 又因为儿$两点位于打釉两侧丿所叹 V 凹0 丿即-2, 当丼#灰时3血所在直线方程为丁-弹二曹盘 0-貝尸頁+（H-曲），令尸 0,得 X 二-九尸人即直线血过定点弟，臥于是 汕JD+Sajoo + Sfiaoo+ SkFZJx2|yi | +舟2 囤+舟汉扌卜町+呂阳 蛙弋 2 寸 9 凹卜$凹|=3当且仅当 9 网二且旳尸 T 时，等号成立-当卅二妙寸，取沖二迈则心 所在直线的方程为工2f此 fl 寸求得SJBO+SZIJAJX|X2XA/2 +f而拎区矢 故选 B6 . （2013 年高考山东卷）设正实数x,y,z满足x2 3xy+

18、4y2z= 0,则当取得最小值时,xyx+ 2yz的最大值为（）99A. 0 B. C . 2 D.-84【答案】CA. 2 B . 3 C.专D. .10-14 -【解析】含三个参数x,y,z,消元，利用基本不等式及配方法求最值.2 2+z=x3xy+4y（x,y,zR）,-15 -z x2 3xy+ 4y2x4yx4y二一=，+ 32-3= 1.xyxyy x, y x当且仅当x=够，即x= 2y时“=”成立，此时y x2 2 2 2 2 2z=x 3xy+ 4y= 4y 6y+ 4y= 2y,2 2 2x+ 2yz= 2y+ 2y 2y= 2y+ 4y= 2 (y 1) + 2.当y=

19、1 时，x+ 2yz取最大值 2.7.(2013 重庆卷)，(3 a)( a+ 6) ( 6 algx(x0)1昵“x+亦2(XMkn，k*Z)2C.x+12|x|(x1D. 2【答案】11a+b4222A, C 不成立；a+b=苛=忒1，选项B不成立；a+b=（a+b）-2ab=16-2恥 8,选项 D 成立.1 25.若实数a,b满足a+b=* ab,则ab的最小值为（）【答案】C【解析】依题意知 QSQO,则扌+倉小 J 因为扌十寻価，所以股刁吿，即恥&仇 所以ab的最小值为 2 迈，故选 C6. 若正数x,y满足 4x2+ 9y2+ 3xy= 30,则xy的最大值是（）455A

20、3B.3C.2D.4【答案】 C【解析】由x 0,y0,得4X2+9y2+ 3xy2 （2x） （3y）+ 3xy（当且仅当2x= 3y时等号成立）， 12xy+ 3xyw30,即卩xyw2,.xy的最大值为 2.1 11 27. 已知a0,b0,a+b= + ，贝 U + 的最小值为（）a ba bA.4B.22C.8D.16A.7B.8C.9D.10【答【解a,b都是正数，4ab= 9,当且仅当b=2a0 时取等号.故选 C.4.若a0,b0.且a+b=4，则下列不等式恒成立的是1 1A 一w -ab41 1B.a+bw1【解4 =a+b2ab（当且仅当a=b时，等号成立即abw2,1 1abw4,4,选项A. 2B.2C.22D.4詁鴛当且仅当兄即片加时,h 成立一-18 -【答案】B1 ia+b【解析】由a0,b0,a+b= -