2018年高考数学命题角度4.4立体几何中的折叠问题大题狂练理

1、 命题角度4.4 :立体几何中的折叠问题 1.1.在正方形ABCD中，BC的中点为点E , CD的中点为点F,沿DE将ACDE向上折 起得到ACDE，使得面BCD丄面ABCD，此时点F位于点F处. （I）证明： AF_ DE ; （n）求面 ADC与面BEC所成二面角的正弦值. 【解析】试题分析：（I）利用折叠前后的不变量得到有关垂直关系，进而利用线面垂直的判 定定理得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直； （n）同（I）证明有关线面垂 直和线线垂直，进而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解. 试题解析：试题解析：（I ）证明证明 连接连接曲，曲，交交QE于点于点P,交交于点

2、连接于点连接FFJ MF 如图所示，在正如图所示，在正方形曲方形曲CD中，中，F为为CD中点，中点，E为中点所以血为中点所以血丄丄DE, 由于尸严为由于尸严为PF沿看沿看DE翻折翻折而来，从而丹而来，从而丹 丄丄DE,所以所以DE丄面丄面FPF 而亦而亦 在平面在平面FFF内丿所以内丿所以AFIDE. （n）设AB中点为Q，连接CQ，交BD于点N，连接NC. .同（I）可证DE _ CQC , 从而面 CQC 7/面FPF ，所以 CN/FM ；由DE _面CQC ，可得面 CQC _面 【答案】3J0 10 A B -2 - ABCD，又因为面BDC _面ABCD，且面BCD与面CQC 相交

3、于CN，所以CN _面-3 - ABCD 设N为原点，过点 N作x轴平行于AB，作y轴平行于BC , NC 为z轴，如图所示，不 妨设正方形 ABCD 边长为 3 3，从而 B 1,一1,0 , C 1,2,0 , A -2,-1,0 , D -2,2,0 , AF =3 5， MF J 5， 2 2 又因为：DP DCE，所以PF =35， PM = 1 5，在直角.F PM中，由勾股定理 10 5 可得FM， 2 T T 所以NC =1，即C 0,0,1， 所以可以求得面 BCC的法向量n为1,0,1 ，面ADC的法 向量n为1,0, -2 3.10 10 所以可以得出法向量 ，则所求二面

4、角的正弦值为 -4 - 2J6 【答案】(1 1) BH二 32.2.如图甲，已知矩形 ABCD中，AB =2=2、3, BC = 2,H为CD上一点，且BH _ AC，垂足 B-ADC. . (I)在图乙中，若 BH _ AD，求BH的长度； (n)当二面角 BACD等于60帀寸，求二面角 A DC B的余弦值 (2 (2 )余弦值为 -5 - 【解析】试题分析：(I)当BH _AD时，由线面垂直的判定定理，可得 BH _平面ADC , 所以BH丄DC , ,由勾股定理求出 BHBH 的长度；(n)以0为坐标原点， 0H为x轴，0C为 y y 轴，垂直于平面 ADC的方向为 z z 轴建系，

5、可得平面 ADCADC 的法向量为 m m = = 0,0,1，由当二 A - DC - B的余弦值. . 试题解析：试题解析：( (1 )由由丄月丄月可得折蠡后可得折蠡后/C丄平面丄平面BOH, 所所V.AC丄砲，又我H丄ZD,所以所以. .血血丄平面丄平面ADC,所以所以丄丄DC, 2厅厅 解得解得CR =三一三一，BC = 2,由勾股定理由勾股定理, , 0C为y轴，垂直于平面 ADC的方向为z轴 即有 0B =3,0H ,0C =1，再由二面角 3 (J3 3) (J3 ) 可得 B 点坐标为 ,0,- ,H ,0,0 ,C(0,1,0 ), I2 2丿 设平面BDC的法向量r2二x,

6、y,z ,B,CB,C, H H 三点的坐标，假设平面BDC的法向量 ，根据两向量的夹角公式，求出二面角 所以HC 3 ,1,0【HM0i， 丿 I6 2丿 B - AC - D 等于 60 , I3 丿 面角B - AC - D等于60 ,求出点 压二 x,y,z，由 n2 _ HC, n? _ HB ,求出亚 可得平面ADC的法向量为= 0,0,1 , (n)如图，以0为坐标原点，0H为x轴, -6 - 折起至EBHD，如图 2.2. E2 (1) 求证：DE _ 面 ABE ； (2) 若二面角A-DE -H的大小为2，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值 3 【解析】试题分析：

7、 (1)(1) 利用直线与平面垂直的判断定理结合题意证得线面垂直即可； (2)(2) 首先建立空间直角坐标系，然后平面的法向量即可球的最终结果 试题解析：BWQ 大于Hi呵0,0 I2 2丿 I3 丿 由横坐标 横坐标, .3 x y 二0 则 _3 v3x 3z=0 6 2 y7 T = _ = n2 L z = 二 x 9 所以COST二 所以二面角A -DC -B为钝角，所以余弦值为 .37 37 3.3.如图 1 1，已知在菱形 ABCD中，.B =120 , E为AB的中点，现将四边形EBCD沿DC 【答案】(1 1)见解析; (2)(2) 3、13 13 37 37 -7 - 证明

8、：四边形 ABCDABCD 为菱形,且.B=120, .DE _面ABE （注：三个条件中,每少一个扣 1 1 分） （2 2）以点 E E 为坐标原点，分别以线段 ED, EAED, EA 所在直线为 x x，y y 轴，再以过点 E E 且垂直于平面 ADEADE 且向上的直线为 z z 轴，建立空间直角坐标系如图所示 . . ；DE _面ABE， . . AEB为二面角 A A- -DEDE- -H H 的一个平面角, 设 AE = 1 则 E。,。,。AOIOB0,*； Q 0 由 DH =2EB 得 H 3, -仆 3 3 75 y亠z = 0 设平面ABH的法向量为n = x, y

9、,z，则 2 2 _2y +V3z = 0 而平面ADE的一个法向量为 m二0,0,1 设平面ABH与平面ADE所成锐二面角的大小为 二 3、13 所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为 3 13 1313 13 :ABD为正三角形, / E为AB的中点 DE _ AE, DE _ BE 心 022 ,AH =(V3,-2,73 ) 令y二,3得 -13,3 -8 - 4.4.如图1,在正方形ABCD中，点E, F分别是AB,BC的中点，BD与EF交于点H,G为BD 0 .现将A E DC F D厶B E F分别沿 RH DE,DF , EF折起，使点 A,C重合于点B (该点记为P

10、)，如图 2 2 所示. . (1)若，=2，求证：GR_平面PEF ； 的值；若不存在，请说明理由 1 【答案】 详见解析；(2 2) =. . 3 【解析】 试題分析：(1)因为点4 C重合于点月该点记为尸h由原團可知，尸瓦卩用“三条直线两两垂直： 那么辺尸丄平面PEFt又根据图中给的比例关系，可知器=学=2,根据平行关系可知GRHDP,平行 RH GH PJ? 线与同一平面垂直很卩证明;先以点尸为原点建立空间直角坐标系,求平面。宓的法向量胡=A, Rff 用乂表示点左的坐标，根攤戋面角的向量方法表示sin 3 = 试题解析：(1 1)由题意，可知 PE,PF ,PD三条直线两两垂直. P

11、D丄平面PEF . 3 3 分 又 G 在 BD 的中点，_DG =2GH . 亠厉 c PR BR c DG 在图 2 2 中，T= 2，且 一 2 , RH RH IGH 在也PDH 中，GR/PD GR丄平面PEF . . 6分 在图 1 1 中， E,F分别是AB,BC的中点, 5 5 分 (2)由题意，分别以 PF,PE,PD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐 中点，点R在线段BH上，且 (2)是否存在正实数，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为 2、p2 ?若存在, 求出 EF / /AC , GB =2GH . 求兄. -9 - 标系Pxyz-10 - x 设

12、 PD =4，则 P 0,0,0 ,F 2,0,0 ,E 0,2,0 ,D 0,0,4 .二 H 1,1,0 PR , PR= PH , R ,0 RH 1 +九 匕+扎1 +扎丿 1 RF 12 ,0 V 1+扎 1中九 又 EF 二 2,-2,0 , DE 二 0,2,-4， 设平面DEF的一个法向量为 m= x, y, z . EFLm =0一 DE_m =0_ 2x -2y =0 2y -4z =0 .取 z=1，则 m 二 2,2,1 直线FR与平面 DEF所成角的正弦值为 cos m RF 4 1 厂2 一 2 i . 1 2 2 5 1111 2 2 3, 2 2， 2 9扎2+

13、18扎一7= 0,解得丸=1或丸=-（不合题意，舍去） 3 故存在正实数，=1 3 ，使得直线FR与平面DEF所成有的正弦值为 22 5 5.5.如图，已知ABCD是矩形，M , 沿MN将矩形MNCD折起，设AB = 2 , N分别为边AD , BC = 4，二面角BMNC的大小为日. BC的中点, MN与AC交于点O， -11 - （1） 当 v - 90 时，求 cosAOC 的值； （2） 点日=60*时，点 P是线段 MD上一点，直线 【解析】 试题解析:当&二狩时,根据二面角走义可知:平面丄平面CDNM，于是丄NC, 可決过O点建立空间直角坐标系然后根將堀=2，号 U 二斗，

14、求出4C两点坐标，然后根將 求得点C（】丄苗），设平面AOC的法向量为分=（兀”巧，求出法向量云的坐标，因为F为践段上一 点，所以可设丽=昴皿叮0.1,然后可以将尸点坐标用久表示，从而得出乔的坐标，然后可次与 平面AOC的法向量厉进行运算得出久的值，就可以得到线段血的长度. 二 cosAOC = OA|OC (2)由 v -60 得C 1,1/ 3， D 1,-1,、3， M 0,-1,0，1 1 2 （MP MD =5 3 3 求线段MP的长. . 【答案】 （1 1） COSUZJO C = OAOC 即可求出结果；（2） 0二 3时即ZBNC = 60 为等边三角形，于是可以 AP与平面

15、AOC所成角为:. .若 sin : -12 - 2x_y = 0 x y 3z=0 取 n = 12 一. 3, 由题意，得i n i= |AP| 恂 ，即 3, 2 -103 = 0 ,1 、 -或 _ 3 （舍去）， 3 1 2 .在线段MD上存在点P，且MP二 MD . . 3 3 6.6.如图 1 1，在矩形 ABCD中， AB=5,AD =2，点E,F分别在边AB CD上，且 A E = 4 , D F= 1， AC交DE于点G 现将.ADF沿AF折起，使得平面 ADF _平面 ABCF，得到图 2 2. （I）在图 2 2 中，求证：CE _ DG ; （n）若点 M是线段DE上

16、的一动点，问点 M在什么位置时，二面角 M - AF - D的余弦 值为3. 5 1 【答案】（I）见解析；（n） DM = 1 DE . 4 【解析】试题分析：（1 1）先证明【DO丄CE , ,再证明CE丄OE, ,证明CE丄平面DOE , ,从而可 得 CE _ DG ; ; 建立直角坐标系,设EM = ED , ,求出平面ADF、平面AFM的一个法向量,利用向量的 3 夹角公式，结合二面角M -AF -D的余弦值为3, ,即可得出结论. . 5.MD MP =1,0, i. 3 , - MD 0 _ _1，则 AP =OPOA - - -2,o, OP.OM MPJ.3 设平面AOC的

17、法向量为n =（x, y, z ）, ： nOA二0, noCe D -13 - 试题解析：试题解析：c I厂厂在矩形在矩形血血CD中，中，ABJADJ 应应 tauND/F = DF XAKD , AD AE 二在團二在團2中，中，DO丄OF . EO丄揮. 又又T平面平面 QF丄平面丄平面ABCF ,平面平面ADFc平面平面ABCF = AF , /- DO 丄平面丄平面 ABCF 、 A DO 丄 CE , 依依题意，题意，AEll CFAE = CF f 四四边形血边形血CF为平行四边形为平行四边形. . /.CEll AFt -CE丄丄OE又又ODrOE = O , / E0 _ AF , 0E _ 平面 ADF , 厲=（0,1,0 ）为平面ADF的法向量 设 EM = ED，则 AM = AE ED = = tanZAED , :.ZAOE = 9 即即 DE 丄丄 二二CE丄平面丄平面DOE ? 又又T DG u u 平面平面DOE :.CE 丄丄 DG. (n)如图 1 1,在 Rt A