2018版高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示真题演练集训理新人教A版

1、L课外拓展阅读由递推公式求通项的常用方法和技巧递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通 项公式的求法.类型 1an+1=an+f(n)把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.典例 1 已知数列an中，ai= 2,an+1=an+n+ 1，求数列an的通项公式.思路分析将已知式变为 -(沽分别令H1 ,2 ,n1 ajr+11利用累加法求得结论解因为a1= 2,an+1an=n+ 1,所以anan1= (n 1) + 1,an1an2= (n 2)

2、 + 1,an2an3= (n 3) +1,a2a1= 1 +1,由已知，a1= 2= 1+ 1,将以上各式相加，得an= (n 1) + (n 2) + (n 3) + + 2 + 1 +n+ 1n类型 2an+1=f(n)an2把原递an+1an=f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解.32n典例 2已知数列an满足ai= 3,an+1=an,求数列an的通项公式.思路分析缶小空一利用囂法+ 1-即可得出召类型 3an+1=pan+q其中p,q均为常数，pq(p 1)丰0q先用待定系数法把原递推公式转化为an+1-1=p(an-1)，其中t=百，再利用换元法 转化为等比数列求解.典例 3

3、 已知数列an中，a1= 1,an+1= 2an+ 3，求数列an的通项公式.思路分析利用待定系数法口卄=2心+3转化为t=的形式利用等比数列的知识即 可求解解设递推公式an+1= 2an+ 3 可以转化为an+1t= 2(ant),即an+1= 2ant，解得t= 3.故an+1+ 3 = 2(an+ 3).bn+1令bn=an+ 3，贝Vb1=a1+ 3 = 4，且r= 2.bnan十 3an+1=nn+ 1 &，得an+1nn+ 1当n2,nN*时,anan=anan1an2a2n 1n 2a1a1=n n 1又当n= 1 时,23X123=a1,故an23n令bn= an儿进行

4、换元4所以bn是以 4 为首项，以 2 为公比的等比数列.所以bn=4X2nT=2n+1,即an=2n+1-3.类型 4an+1=pan+qn其中p,q均为常数,anjp1其中bn=qn，得bn+1=qbn+j,再用待定系数法解决;也可在原递推公式两边同除以p+1,得pn+1=an+p p：引入辅助数列bn j 其中bn=p pPWv得bn+1bn=，再利用累加法(逐差相加法)求解.P3丿6,an+1=1an+計1,求数列an的通项公式.思路分析解解法一：将an+1= an+ 21两边分别乘以 2:得 n+1= (2 n) + 1.根据待定系数法，得bn+1 3 = 3(bn 3).35542

5、所以数列bn 3是首项为b1 3= 2X6 3 = 3,公比为勺的等比数列.所以bn 3 =即bn= 3 2 (pq(p1)丰0(1) 一般地，要先在递推公式两边同除以n+1/ 曰a“+1q,得n+1q典例 4 已知数列an中，ai卄I二+陽+(*川思路 _一賁变形,换利用待定系数法和等比数列的知识可解思路_二换利用累加法和等比数列的知识可解曰疋,bn_32an=一 n223n解法二：将an+1=如+肪+1两边分别乘以3n+1n+1J ,，得 3an+1= 3a+ 1,令bn= 2nan，贝Vbn+1=53令bn= 3an,贝Ubn+1=bn+ 才1又bi= 3ai= 3X6 = 2= 1 +

6、 26 2 2即bn=22n+1- 2.故an= 3n= |n类型 5an+1=pan+an+b(p* 1,0,a*0)这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an+1+x(n+ 1) +y=p(an+xn+y)，然后与已知递推式比较，解出x,y,从而得到an+xn+y是公比为p的等比数列.典例 5 设数列an满足a1= 4,an= 3an1+ 2n1(n2)，求数列an的通项公式.思路分析an= 3an1+ 2n 1 宀利用待定系数法得到一个等比数列宀利用等比数列的知识可解解析设递推公式可以转化为an+An+B= 3an1+A(n 1) +B,化简后与原递推式比较，得2A=2,A

7、= 1,1解得2B-3A= 1,B= 1.则an+n+ 1 = 3an1+ (n 1) + 1.令bn=an+n+ 1, (*)则bn= 3bn-1,又b1= 6,故bn= 6 3n1= 2 3n,2-+1n3-23-2所以bn=1+2+2所以bnbn1=3n,b2-b1=I2.bn1bn2=将以上各式叠加，得6代入(*)，得an= 2 3n 1.r类型 6an+1=pan(p0, a0)这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为an+1=pan+q型，再利用待定系数法7求解.典例 6 已知数列an中，a1= 1,an+1=a：(n0),思路分析12解析对an+1=m两边取对数，得1 lga

8、n+1= 2lgan+ lg 一.m1令bn= lgan，则bn+1r2bn+lgm因此得bn+1+ lgm= 2bn+ lgm,、i记 6=bn+ lg,则Cn+1= 2Cn.所以数列Cn是首项C1=bl+ lg1lgm公比为 2 的等比数列.bn=Cn lg2 3= 2n1- lgm即 lg所以2r1q若pMr，则有=p-a；+q,此时可转化为类型3来处理.所以n1Cn= 2ilgm求数列an的通项公式.等式两边适当换元后第取对数构造等比数歹即可得解所以1mlg8_pan7an+1=qan+r(p，q，这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理.亠 1r+qan1q, 1若p=r

9、，则有盯=+a=an+p，此时an典例 7 已知数列an中，a1= 1,an+1=2anan+ 2，求数列an的通项公式.类型r工0且anM0,qan+r丰0)为等差数列.an+19思路分析2a 幵+ 1 Q整理可得:先求出丄，两边取倒数为等差数列再求解析因为an+1=黑,a1=1,所以anM0,又a1= 1,则a=1,1 1所以=1 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列2*所以an=n+i(nCN)-类型 8an+1+an=f(n)将原递推关系改写成an+2+an+1=f(n+ 1)，两式相减即得an+2an=f(n+ 1) f(n)，然 后将n按奇数、偶数分类讨论即可.典例 8 已知

10、数列an中，a1= 1,an+1+an= 2n,求数列an的通项公式.思路分析将+1+at=2n改写成an+2+i=2( +1)解 因为an+1+an= 2n，所以1 1 1anri=an+21an+1所以a=1+ (n 1)Xa a1n+12=2an两式相减5+2 分类讨论a” = 21 110所以an+2+an+1= 2n+2,故an+2一an= 2,即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2 的等差数列.当n为偶数时，a2= 1,故an=a2+ 2 X 1 =n 1.当n为奇数时，因为an+1+an= 2n,an+1=n(n+ 1 为偶数)，故an=n.了n,n为奇数，*综上知，an=n1,n N.n 1,n为偶数，类型 9an+1an=f(n)an+2f n+将原递推关系改写成an+2an+1=f(n+ 1)，两式作商可得=，然后将n按anf n奇数、偶数分类讨论即可.典例 9已知数列an中，a1= 3,an+1an= 2n,求数列的通项公式.思路分析两式_分类鸣芝=2严丽解因为an+1an= 2 ,n+1an+4所以an+2an+1= 2 ，故 =2,a即数列an是奇数项与偶数项都