平面向量经典例题讲解

1、平面向量经典例题讲解讲课时间:_姓名：_课时：_讲课教师：_一、选择题（题型注释）1 空间四边形OABC中，, ,点M在OA上，且，为的中点，则=（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：因为为的中点，则，选考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；2已知平面向量，满足，且，则及的夹角是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：，设夹角为，则 考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到的值，求出角3若、三个单位向量两两之间夹角为60°，则A.3 B. C.6 D.【答案】D【解析】试题分析：、三个单位向量两两之间夹角为6

2、0°考点:向量的数量积.4在平行四边形中，及交于点是线段的中点，的延长线及交于点,若，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，及相似，且相似比为，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知，解得，由向量加法的三角形法则可知，,故D正确。考点：平面向量的加减法5在边长为的等边中，分别在边BC及AC上，且，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由已知分别在边BC及AC上，且， 则是的中轴点，为的三等分点，以为坐标原点，所在直线为轴，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，由可得：，解得：，则，考点：平面向量的坐标运算6在平行四边形中，为一条对角线，则

3、（ ）A（2,4） B（3,5） C（1，1） D（1，1）【答案】C【解析】试题分析：考点：平面向量的线性运算7已知向量，则可以为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：设，则，因，所以，只有A满足考点：向量共线的条件8已知向量，若及共线，则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由已知得，又因为及共线，所以有，故选D考点：1向量的坐标运算；2向量平行的坐标条件9已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（ ） A B C D【答案】D【解析】试题分析：平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）的充要条件是,不共线,

4、即,故选D.考点：平面向量的基底及向量共线10若向量,则下列说法中错误的是（ ）A. B. 向量及向量的夹角为 C. D.对同一平面内的任意向量,都存在一对实数,使得【答案】D【解析】试题分析：，故A正确；，所以B正确；，故C正确；因为是共线的，不能作为基底，故D错考点：向量的夹角11已知向量，若，则实数的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，因为，所以，解得：，故选D考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模12若向量，则以下向量中及垂直的是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：向量，而，以下向量中及垂直的是.考点：向量垂直的充要条件.13在边长为的正三角形中

5、，设，若，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：，所以.考点：向量的应用.14已知向量， ，若为实数，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：,因为,所以,解得.故D正确.考点：向量垂直;向量的数量积.15在ABC中，已知，则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果.，故选D考点：平面向量的数量积二、填空题（题型注释）16已知两个非零向量a及b，定义|a×b|a|·|b|sin ，其中为a及b的夹角

6、若a(3,4)，b(0,2)，则|a×b|的值为_【答案】6【解析】|a|5，|b|2，a·b3×04×28，所以cos ，又因为0，所以sin .故根据定义可知|a×b|a|·|b|sin 5×2×6.17ABC中AB2，AC3，点D是ABC的重心，则·_【答案】【解析】设E为边BC的中点，因为点D是ABC的重心，所以× ()()，又，所以·()·()(22)18已知=（2,0），的夹角为60°，则 【答案】【解析】试题分析：.考点：向量的基本运算.19已知A、B

7、、C是球O的球面上三点，BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面积为，则异面直线及所成角余弦值为 .【答案】【解析】试题分析：过作的垂线，垂足为，以所在线为轴，以所在线为轴，以所在线为轴，建立直角坐标系，所以，所以.考点：1.空间向量法；2.夹角公式.20已知，及的夹角为，则及的夹角为 【答案】【解析】试题分析：要求及的夹角一般可先求两向量的数量积，而，因此，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故，夹角为考点：向量的夹角21已知，且及的夹角为，则等于 .【答案】【解析】试题分析：，考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.22已知点为的重心，过点作直线及，两边分别交于两点

8、，且 ，则 【答案】【解析】试题分析：根据题意画出图像，因为为的重心,所以,因为:三点共线,所以,所以,所以答案为: 考点：1向量的运算；2三点共线的性质23已知向量，若，则 ；【答案】-6【解析】试题分析：由可知，所以.考点：空间向量共线定理. 24设向量，若，则实数 .【答案】【解析】试题分析：由已知得，；由得所以有即，解得故答案为：.考点：向量的数量积的坐标运算.25已知向量，若及的夹角为钝角，则实数的取值范围是 【答案】且【解析】试题分析：， ，若及的夹角为钝角，则，即：，又不共线，则,即：，则且考点：1向量的夹角；2向量的数量积；3共线向量；4向量的坐标运算公式；26已知向量满足，且

9、，则在上的投影为_【答案】【解析】试题分析：设及的夹角为，向量，满足，且，=1cos=，再由的范围为0，可得 =，则在上的投影为考点：向量的数量积。27若向量及满足，则向量及的夹角等于 ； 【答案】，.【解析】试题分析：，考点：平面向量数量积的运算和性质.28已知向量满足，且，则及的夹角为 .【答案】【解析】试题分析：，所以，考点：向量的数量积及向量的夹角三、解答题（题型注释）29设为平面内的四点，且（1）若求点的坐标；（2）设向量若及平行，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）两向量相等即坐标相同，设出即可就得；（2）两向量平行，满足条件是.试题解析：设由，得，则， 3

10、分所以解得 5分所以点的坐标为 6分因为，, 8分所以， 10分由及平行，得， 12分所以 14分考点：1.向量相等；2.向量共线.30平行四边形OADB的对角线交点为C，a，b，用a、b表示、.【答案】ab【解析】ab，ab，ab.ab，ab.ab31（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知向量的夹角为.（1）求 ；（2）若，求的值.【答案】（1）-12；（2）【解析】试题分析：（1）由题意得，（2），考点：平面向量的数量积的定义的应用，平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件点评：解决此题的关键是掌握平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件32（本小题满分1

11、4分）己知向量 ， （1）若 ，求 的值：（2）若 ，且 ，求 的值【答案】（1） ，（2）【解析】试题分析：（1）先由向量垂直得等量关系：，再利用两角和正弦展开得 ，因为，所以（2）先由向量平行得等量关系：，再利用两角和正弦展开得，根据二倍角公式化简得，由配角公式整理得，结合，解出试题解析：（1）因为，所以， 2分所以，即 4分因为，所以 6分（2）由，得， 8分即，即，整理得， 11分又，所以，所以，即 14分考点：向量平行及垂直，两角和正弦及二倍角公式33（本题满分9分）已知向量，。（1）求的值； （2）若且，求的值。【答案】（1）；（2） ；【解析】试题分析：（1）由向量的坐标运算及模的计算公式得出等式，然后由恒等变形即可得解；（2）把角变形，然后用恒等变形公式即得解；试题解析：解：（1）由已知，22·2 , 且221，所以·即，所以 （2）由已知，所以，考点：向量的坐标运算及三角恒等变换。34已知且.（1）在中，若，求的大小；（2）若，将图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到的图像，求的单调减区间.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）利用数量积公式以及二倍角公式