全等三角形例题学习教案

1、会计学1全等三角形例题全等三角形例题(lt)第一页，共63页。全等三角形全等三角形第1页/共62页第二页，共63页。如图，如图，BE=CDBE=CD，1=21=2，则，则AB=ACAB=AC吗？为什么？吗？为什么？BD=CEBD=CE吗吗? ?第2页/共62页第三页，共63页。6. 如图，如图，CDAB于于D，BEAC与与E，BE、CD交于交于O，且，且AO平分平分(pngfn)BAC，求证：，求证：OB=OC图中有几对全等三角形图中有几对全等三角形?第3页/共62页第四页，共63页。如图，已知如图，已知RtABC RtADE，ABCADE90，BC与与DE相交于点相交于点F，连接，连接(li

2、nji)CD，EB.21(1)图中还有几对全等三角形；图中还有几对全等三角形；(2)求证：求证：CFEF.第4页/共62页第五页，共63页。ABCP条件条件(tiojin)：AP平分平分BAC，PBAB，PCAC0112()34=90 () 结结论论 ：角角平平分分线线的的意意义义 ； 垂垂直直的的意意义义 ；2()()PBPC 结结论论 ：角角平平分分线线的的性性质质定定理理角角平平分分线线上上的的点点到到角角两两边边的的距距离离相相等等3 () 5= 6()PABPACABAC结结论论 ：全全等等三三角角形形的的对对应应边边相相等等全全等等三三角角形形的的对对应应角角相相等等123456第

3、5页/共62页第六页，共63页。ABDCPO条件条件(tiojin)：CD是线段是线段AB的中的中垂线垂线1;()AOBO CDAB结结论论 ：中中垂垂线线的的意意义义 ；2()PAPB 结结论论 ：中中垂垂线线的的性性质质定定理理 ；312;34()PAOPBO 结结论论 ：；全全等等三三角角形形的的对对应应角角相相等等1234第6页/共62页第七页，共63页。要修建一个超市要修建一个超市P，要满足三个村庄，要满足三个村庄A、B、C都都到超市的距离相等到超市的距离相等(村庄的位置形成一个三角形村庄的位置形成一个三角形)，请问如何确定这个，请问如何确定这个(zh ge)超市的位置，说明超市的位

4、置，说明理由？理由？ ABCPP如如图图：点点 为为所所求求位位置置第7页/共62页第八页，共63页。3、有三条(sn tio)笔直的公路a,b,c，要修建一个水电站O，使点O到三条(sn tio)公路的距离相等.这样这样(zhyng)的点有几的点有几个？个？各内角各内角(ni jio)与外角的角平分与外角的角平分线线 4个个第8页/共62页第九页，共63页。第9页/共62页第十页，共63页。rcba)(21 第10页/共62页第十一页，共63页。手拉手模型手拉手模型(mxng)第11页/共62页第十二页，共63页。常见图形常见图形5(背靠背背靠背)例例3：把两个含有：把两个含有(hn yu)

5、45角的直角角的直角三角板如图三角板如图1放置，点放置，点D在在BC上，连结上，连结BE，AD，AD的延长线交的延长线交BE于点于点F求证：求证：(1)BE=AD；(2) AFBEAFBCED第12页/共62页第十三页，共63页。变形_1: 以点A为顶点(dngdin)作二个等腰直角三角形（ABC，ADE），如图所示，连接BD，CE（1）求证：BD=CE（2）求BFC的度数如图,已知中,BE,CF都是的高,P是BE上一点(ydin)且BP=AC,Q是CF延长线上一点(ydin)且CQ=AB,连接AP,AQ,QP,求证:第13页/共62页第十四页，共63页。以点以点A为顶点为顶点(dngdin)

6、作二个等边三角形作二个等边三角形（ABC，ADE），连接），连接CD，连接，连接BE.有哪些结论？有哪些结论？第14页/共62页第十五页，共63页。变形_2: ：以点A为顶点作二个等边三角形（ABC，ADE），连接(linji)CD，连接(linji)BE.（1）求证：BD=CE（2）求BFC的度数第15页/共62页第十六页，共63页。已知如图，已知如图，ABC与与EDC都是等边三角都是等边三角形，且形，且ADE在同一条在同一条(y tio)直线上，直线上，若若DBE86 则则ADB 第16页/共62页第十七页，共63页。例三：已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，请问

7、(qngwn)BD=CE吗？21图13第17页/共62页第十八页，共63页。如图（如图（1 1），等边），等边ABC ABC 中，中，D D是是ABAB边上的动点，边上的动点，以以CDCD为一边，向上作等边为一边，向上作等边DEC DEC ，连结，连结AEAE。1 1）试说明）试说明AEBCAEBC的理由的理由 3 3）如图（）如图（2 2），将（），将（1 1）中点）中点(zhn din)D(zhn din)D运动运动到边到边BABA的延长线上，所作仍为等边三角形。请问是的延长线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有否仍有AEBCAEBC？证明你的猜想。？证明你的猜想。 (1) E D C B

8、 A (2) E D C B A第18页/共62页第十九页，共63页。如图如图, ,已知在已知在ABCABC中中,ABAC,BE ,CF,ABAC,BE ,CF 都是都是ABCABC高高,P,P 是是BEBE 上一点且上一点且BP=AC ,QBP=AC ,Q 是是CFCF 延长线上一点且延长线上一点且CQ=AB ,CQ=AB ,连接连接(linji)AP ,AQ ,QP ,(linji)AP ,AQ ,QP ,求证求证: :（1 1）AP=AQ ;AP=AQ ;（2 2）APAQ .APAQ .第19页/共62页第二十页，共63页。如图如图1313，已知，已知BAC=DAEBAC=DAE，1=

9、21=2，BD=CEBD=CE，请说明，请说明(shumng)(shumng)ABDABDACEACE吗吗？为什么？为什么？第20页/共62页第二十一页，共63页。如图，已知如图，已知ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，直角，直角EPFEPF的顶点的顶点P P是是BCBC中点，两边中点，两边PEPE、PFPF分别交分别交ABAB、ACAC于点于点E E、F F，给出以下四个结论：，给出以下四个结论：(1)AE=CF(1)AE=CF；(2)(2)EPFEPF是等是等腰直角三角形；腰直角三角形；(3) (3) ；(4)(4)当当EPFEPF在在ABCABC内绕顶点内

10、绕顶点P P旋转时旋转时EF=AP(EF=AP(点点E E不与不与A A、B B重合重合) )。上述结论中始终上述结论中始终(shzhng)(shzhng)正确的有正确的有()()ABCAEPFS21S四边形第21页/共62页第二十二页，共63页。截长补短截长补短(ji chng b dun)法作辅助线法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取取“截长补短截长补短”法。法。 截长法，即在较长线段上截取一段等于两较截长法，即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条短线段中的一条(y tio)，再证剩下的一段等于，再证剩下的一段等于另一段较短线段

11、。另一段较短线段。 补短法，即把两短线段补成一条补短法，即把两短线段补成一条(y tio)，再证它与长线段相等。再证它与长线段相等。第22页/共62页第二十三页，共63页。如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分别分别(fnbi)平分平分ABC，BCD，且，且点点E在在AD上上.求证：求证：BC=AB+DC.常规常规(chnggu)结论有哪些：结论有哪些：第23页/共62页第二十四页，共63页。如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分别分别(fnbi)平分平分ABC，BCD，且点，且点E在在AD上上.求证：求证：BC=AB+DC.第24页

12、/共62页第二十五页，共63页。如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交于点交于点O，A=60.求证求证(qizhng)：CD+BE=BC.在线段在线段(xindun)BC取点取点F，使得，使得BF=BE，连结连结OF。结论结论(jiln)1：BOE BOF，需要证：需要证：CF=CD你能有哪些结论？你能有哪些结论？角平分线，构筝形角平分线，构筝形线段和差，截长补短线段和差，截长补短第25页/共62页第二十六页，共63页。如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交于点交于点O，A=60.求证求证(qizhng)：CD+BE=BC.在线段在线段(xindun)B

13、A或延长线上取点或延长线上取点H，使得使得BH=BC，连结，连结OH。结论结论(jiln)：BOH BOC要证：要证：EH=CD即证：即证：EOH DOC第26页/共62页第二十七页，共63页。如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证求证(qizhng)：CD+BE=BC.在线段在线段(xindun)BA或延长线上取点或延长线上取点H，使得使得CD=EH，连结，连结OH。要证要证BOH BOC，已有条件已有条件(tiojin)BO=BO，HBO=CBO.原因：没有用到角平分线模型原因：没有用到角平分线模型第27页/共62页第二十八页，共63页。如图

14、，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交于交于点点O，A=60.求证求证(qizhng)：CD+BE=BC.方法总结：方法总结：BE=BFBH=BC统一统一(tngy)模型：角平分线轴对模型：角平分线轴对称模型称模型第28页/共62页第二十九页，共63页。如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交于点交于点O，A=60.求证求证(qizhng)：CD+BE=BC.想一想，你还有什么想一想，你还有什么(shn me)方法？方法？提示：利用角平分线性质提示：利用角平分线性质(xngzh)定理定理.第29页/共62页第三十页，共63页。例例7、已知：如图所示，、已知：如

15、图所示，ABCD，PB和和PC分分别平分别平分ABC和和DCB，AD过点过点P，且与，且与AB垂垂直直求证：求证：PA=PDE第30页/共62页第三十一页，共63页。在在ABC中，中，C=90，AD平分平分(pngfn)BAC，DEAB于于E，F在在AC上，且上，且CF=EB ，求证：，求证： （1）BD=DF （2）AB+AF=2AE第31页/共62页第三十二页，共63页。0ADBACDEABEDFA20ABD.CFBECFDAF如如图图：是是的的平平分分线线，于于 ，于于 ，且且已已知知，求求的的度度数数ADBCFE第32页/共62页第三十三页，共63页。变：如图，在四边形ABCD中，AC

16、平分(pngfn)BAD，CEAB于点E，ADC与ABC互补. 求证：2AE=AD+AB第33页/共62页第三十四页，共63页。如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC平分平分(pngfn)BAD，CEAB于点于点E，2AE=AD+AB.求求ADC+ABC的度数的度数.第34页/共62页第三十五页，共63页。如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,AC平分平分(pngfn)BAD,CEAB于点于点E,且且B+D=180.求证：求证：AE=AD+BE.F第35页/共62页第三十六页，共63页。如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，且DF=BE.(1)求证(qi

17、zhng)：CE=CF;(2)若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？第36页/共62页第三十七页，共63页。(变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点(y din)，点F在AD上，且EF=BE+FD.求证：FC平分EFD.第37页/共62页第三十八页，共63页。第38页/共62页第三十九页，共63页。已知：如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点(y din) 求证：AB-ACPB-PC。 第39页/共62页第四十页，共63页。倍长中线倍长中线(zhngxin)第40页/共62页第四十一页，共63页。1.1.在在ABCABC中中,AB=8,AC=6

18、,AB=8,AC=6,则则BCBC上的中线上的中线(zhngxin)AD(zhngxin)AD的取值范围的取值范围. .A AB BC CDE第41页/共62页第四十二页，共63页。1.有两边(lingbin)和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。第42页/共62页第四十三页，共63页。.1.已知：如图，在和中，和是和上的中线，且求证：ABCA B CABA BACA CADA DBCB CADA DABCA B C 第43页/共62页第四十四页，共63页。2.已知：如图AC=BD，CAD=CDA，AE是ACD的中线(zhngxin).求证：B=CAE 第44页/共62页第四十五页，共63页

19、。变式：如图，在ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中点，求证(qizhng)：(1)AD平分BAE.(2)AB=2AE第45页/共62页第四十六页，共63页。3.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是CD的中点(zhn din)，连结AE，BE，BEAE.求证：AB=BC+AD.第46页/共62页第四十七页，共63页。4.已知：如图，AD为ABC的中线(zhngxin)，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BE+CFEF第47页/共62页第四十八页，共63页。5.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分(pngfn)ABC交AC于点D，AEBD交BD的

20、延长线于点E.求证：BD=2AE.F第48页/共62页第四十九页，共63页。第49页/共62页第五十页，共63页。 (1)如图如图1：在四边形：在四边形ABCD中，中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是分别是BC，CD上的点且上的点且EAF=60探究探究(tnji)图中线段图中线段BE，EF，FD之间的之间的数量关系数量关系第50页/共62页第五十一页，共63页。(2)如图如图2，若在四边形，若在四边形ABCD中，中，AB=AD，B+D=180E，F分别是分别是BC，CD上的点，且上的点，且EAF= BAD，上述结论是，上述结论是否仍然成立，并说明否仍然成立，并说明(sh

21、umng)理由；理由；第51页/共62页第五十二页，共63页。三垂直三垂直(chuzh)第52页/共62页第五十三页，共63页。P31 EX17P31 EX17（1 1）如图甲所示，在）如图甲所示，在ABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AB=ACAB=AC，直线，直线m m经过点经过点A A，BDBD直线直线m m，垂足，垂足(chu z)(chu z)为为D D， CE CE直线直线m m，垂足，垂足(chu z)(chu z)为为E.E.证明：证明：DE=BD+CE.DE=BD+CE.第53页/共62页第五十四页，共63页。(2)如图乙所示，将第（如图乙所示，将第（1）题中的条件

22、改为在）题中的条件改为在ABC中，中，AB=AC，D，A，E三点都在直线三点都在直线m上，并且有上，并且有BDA=AEC=BAC=，其，其中中为任意锐角为任意锐角.请问结论请问结论(jiln)DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由请说明理由.第54页/共62页第五十五页，共63页。P31 EX16P31 EX16如图，过正方形如图，过正方形ABCDABCD的顶点的顶点B B作直线作直线(zhxin)L(zhxin)L，过，过A A，C C，D D作作L L的垂线垂足分别的垂线垂足分别为点为点E E，F F，G G若若AE=2AE=2，CF=6CF=6，则，则CF+AE+DGCF+AE+DG的的值为值为 第55页/共62页第五十六页，共63页。P30 EX12P30 EX12如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，P P、E E分别是分别是边边ABAB、BCBC上的点，上的点，D D为为ABCABC外一点外一点(y (y din)din)，DEBCDEBC，DE=ECDE=EC，BE=2ECBE=2EC，BDE=PECBDE=PEC，ADPEADPE，AC=4AC=4，则线段，则线段BCBC的的长为长为 。第56页/共62页第五十七页，共63页。如图，如图，A