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1、天 津 师 范 大 学本科毕业论文题目：一类具比例时滞的递归神经网络的全局指数稳定性学 院：数学科学学院学生姓名：赵宁学 号：1130050048专 业：数学与应用数学年 级：2011级完成日期：2015年5月13日指导教师：周立群 一类具比例时滞的递归神经网络的全局指数稳定性摘要：对一类具比例时滞的递归神经网络进行研究利用一类非线性变换，将一类具比例时滞的递归神经网络等价变换成一类变系数常时滞的递归神经网络，再利用M-矩阵和同胚映射定理，及时滞微分不等式技巧，得到了一个时滞无关的充分条件，该条件确保该系统的平衡点是存在唯一且全局指数稳定的最后给出一个数值算例及其仿真，验证了所得结论的正确性关

2、键词：比例时滞因子；递归神经网络；全局指数稳定性；M-矩阵；时滞微分不等式Global Exponential Stability of a Class of Recurrent Neural Networks with Proportional DelaysAbstract: A class of recurrent neural networks with proportional delays is studied in this paper. Firstly, by using non-linear transformation, a class of recurrent neural

3、 networks with proportional delays is transformed equivalently into a class of recurrent neural networks with constant delays and variable coefficients. Secondly, based on the properties of M-matrix and the homeomorphism mapping theorem, by using delay differential inequality technique, a delay-inde

4、pendent sufficient condition ensuring the existence, uniqueness and global exponential stability of the equilibrium point of such neural networks is obtained. A numerical example and its simulation are shown to verify the correctness of the obtained condition.Keywords: proportional delays factor；rec

5、urrent neural networks；global exponential stability；M-matrix；delay differential inequality目 录1时滞递归神经网络的研究现状11.1 时滞递归神经网络11.2 比例时滞递归神经网络21.3 主要工作22数学模型及预备知识32.1 数学模型32.2 预备知识43主要结果53.1 平衡点的存在性与唯一性53.2 平衡点的全局指数稳定性84数值算例及仿真115结论12参考文献12II天津师范大学数学科学学院 一类具比例时滞的递归神经网络的全局指数稳定性1 时滞递归神经网络的研究现状1.1 时滞递归神经网络根据拓

6、扑结构可将神经网络基本划分为两类：前馈神经网络和递归（反馈）神经网络前馈神经网络是多层网，基于变换机理，信息从输入层开始逐层传播，输出不能返回调节输入建立动态关系，信息通过隐层最终到达输出层；在递归神经网络中，神经元之间互相连接从而实现信息的反馈，使某时刻神经元的输出除了受到该时刻输入信息的控制，还会受到其它神经元输出信号的控制，因此整个递归神经网络呈现出非线性动态特性1递归神经网络主要分为以下三类：(1) Hopfield神经网络Hopfield模型首次由美国物理学家J.Hopfield在1982年提出，该网络具有联想记忆功能，可在集成电路上实现，同时引入了网络能量函数即Lyapunov函数

7、，提供了理论研究依据2Hopfield模型分为离散型和连续型离散型是一种单层全反馈网络，其中每个神经元都通过连接权接收所有其它神经元输出反馈来的信息，各个神经元能相互制约；连续型中各个神经元并行工作，在信息处理方面的性能比离散结构更贴近实际Hopfield神经网络已被广泛应用于联想记忆、图像处理和组合优化计算等方面(2) Cohen-Grossberg神经网络Cohen和Grossberg于1983年给出了Hopfield递归神经网络的另一种推广形式，被称为Cohen-Grossberg神经网络与Hopfield神经网络相比，Cohen-Grossberg网络更具一般性，它不仅与生物网络紧密相

8、联系，而且在应用方面较好地解决了系统非线性和不确定问题，在信号处理、联想记忆等领域得到了利用3，从而吸引了国内外大量专家、学者对它的动态特性进行分析和研究(3) 细胞神经网络细胞神经网络(CNNs)是由L.O.Chua和L.Yang于1988年首先提出的4，它是一种非线性大规模模拟系统Hopfield神经网络之间的连接是全局性的，CNNs的连接是局部性的它由“细胞”组成，每个细胞只与邻近的细胞相连，具有细胞自动机的动力学特征这种特性使它特别适用于超大规模集成电路，在模式识别、优化处理和图像处理等领域得到了广泛的利用由于信息传递于神经元时存在的时滞不可避免，时滞会极大的影响到神经网络的稳定性，而

9、递归神经网络在信号处理、优化与控制、人工智能、传感器等诸多领域有着重要的应用，因此对时滞递归神经网络稳定性的研究有着重要的理论和实践意义1.2 比例时滞递归神经网络近些年来，对时滞递归神经网络的研究引起国内外学者的广泛关注，早期的研究多数集中于简单的常时滞递归神经网络，随着对神经网络的研究方法的不断拓展，逐渐开始对较为复杂的有界时变时滞、无界分布时滞、比例时滞的递归神经网络等进行研究文献5将非奇异M-矩阵的性质与构造Lyapunov泛函的方法相结合，得到确保一类常时滞递归神经网络全局渐近稳定性的充分条件文献6,7分别应用线性矩阵不等式分析(LMIs)、连续性定理等获得了时变时滞递归神经网络指数

10、稳定性的新判据文献8,9对具分布时滞的递归神经网络进行研究，通过Lyapunov-Krasovskii函数法、Young不等式和矩阵代数法得到该系统全局指数稳定性与全局渐近稳定性判定依据比例时滞是一种客观存在的无界时变时滞，作为一种重要的数学模型，在物理、生理、生物学、电子与计算机科学等领域发挥着举足轻重的作用，对推动多个领域的新发展必不可少但是过去的研究中有关具比例时滞的递归神经网络稳定性的课题相对较少10-17，文献10研究了具比例时滞细胞神经网络，利用Lyapunov函数法研究其反周期解的存在性及指数稳定性文献11运用内积性质和矩阵理论得到了一类具比例时滞细胞神经网络全局散逸性的判定依据

11、文献12,13通过运用非线性测度方法以及Lyapunov函数法获得了保证一类具多比例时滞神经网络的指数稳定性的充分条件文献14-16通过应用矩阵谱半径理论与Barbalat引理，并构造合适的Lyapunov泛函，获得了具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性的新判据文献17通过Brouwer不动点定理和不等式技巧构造了拟Halanay型不等式系统，得到了确保具比例时滞双向联想记忆神经网络全局指数稳定性的充分条件1.3 主要工作对如下具比例时滞递归神经网络进行了研究研究该类神经网络所用最多的方法是Lyapunov方法，本文不是通过构造合适的Lyapunov泛函，而是通过应用M-矩阵性质和同胚映射定

12、理，结合时滞微分不等式技巧，研究该系统平衡点的存在唯一性及全局指数稳定性为支持所得条件的正确性，通过数值算例及其仿真进行了证明2 数学模型及预备知识2.1 数学模型所研究的神经网络可以用非线性微分方程式(1)描述 (1)其中是神经元的状态变量，表示神经元的个数；表示输入对神经元的影响大小，是连接权值矩阵；是激励函数；表示比例时滞因子， ，与成比例，且，所以它是无界函数；是偏置性输入常向量；表示系统(1)的初始状态，作变换 (2)由式(1)知，变换应满足，此时，易知 (3)由式(2)可知 (4)这里将式(2)和式(4)代入式(1)得 (5)将式(5)代入式(3)得由式(1)知，其中，即因此作变换

13、后系统(1)的初始状态为综上所述，系统(1)的等价变换可表示为 (6)其中表示神经元的状态向量，表示维欧几里得空间，2.2 预备知识首先介绍一些下文所用数学符号的含义表示向量的绝对值，表示向量的范数，表示矩阵的绝对值，表示矩阵的范数，其中表示的最大特征值假定和函数分别满足以下条件： 在上连续，且对，满足 对于任意，是全局Lipschitz函数，即存在Lipschitz常数，使得对，满足并且记，定义118 和是拓扑空间，映射称为同胚映射，若具有下列性质：(1) 是双射；(2) 是连续的；(3) 反函数也是连续的定义215 实矩阵，若满足条件当时，当时，且所有主子式都是正的，则称矩阵是M-矩阵 定

14、义319 系统(6)的平衡点是全局指数稳定的，如果存在常数和使得其中引理120 对于，如下各条件是等价的：(1) 为M-矩阵；(2) 的所有特征根的实部是正的；(3) 是可逆的，且，表示为非负矩阵；(4) 存在一个向量，使得；(5) 存在正定对角矩阵，使得是正定的引理220 如果函数是连续的，且满足以下条件，则函数是上的同胚映射：(1) 是上的单射；(2) 引理3 （Cauchy-Schwarz不等式）已知为实数，有等式成立的充分必要条件是，其中为常数3 主要结果3.1 平衡点的存在性与唯一性由上文知系统(6)与系统(1)是等价的，并且易证系统(6)与系统(1)具有相同的平衡点，所以只要能够证

15、明系统(6)平衡点的存在性、唯一性与全局指数稳定性，就可以证明系统(1)的平衡点的存在性、唯一性与全局指数稳定性易知，时，表示系统(6)达到平衡状态由于，所以当系统达到平衡状态时必有 (7)因此设非线性映射为 (8)其中 ，即的解是系统(6)的平衡点如果可以证明映射为上的一个同胚，根据定义1可知，是一个满射，即一定存在一个点，满足；同时又是一个单射，说明只存在唯一的点满足，由此即可证明系统(6)平衡点的存在性与唯一性定理1 如果和成立，且是M-矩阵，则系统(6)存在唯一的平衡点证明 由和可知在上是连续的，下面将根据引理2，分两步证明是一个同胚映射(1) 证明是上的单射利用反证法，假设存在，使得

16、，根据，式(8)和三角不等式得由于，则，若上式成立，必有因为是一个M-矩阵，根据引理1知，则有又因为，所以，与上式矛盾因此不存在，使得，即映射是上的单射(2) 证明因为是M-矩阵，根据引理1知一定存在一个正定对角矩阵，使得由于为对角矩阵，所以，则由于非正定矩阵的转置也是非正定的，所以如果，则可得到其转置，即，所以由上式可知，必存在一个充分小的正数，使得其中为单位矩阵令，根据，式(8)以及矩阵乘法的结合律和三角不等式有 (9)由引理3可得结合式(9)得所以，当时，即由此证明了综合以上两步，根据引理2可知，对于任意的，映射是上的一个同胚，因此系统(6)存在唯一的平衡点3.2 平衡点的全局指数稳定性

17、 定理2 如果和成立，且是M-矩阵，则系统(6)存在唯一的平衡点，且该平衡点是全局指数稳定的证明 由已证明的定理1知系统(6)存在唯一的平衡点令，可将系统(6)改写为 (10)其中 ，且仍然满足和根据系统(6)的初始状态可知系统(10)的初始状态为由于是一个M-矩阵，根据引理1可知，存在一个向量，使得即存在，使得所以有构造函数易知，因为关于在上连续，且当时，因此存在常数，使得于是，一定存在，使得 (11)令根据式(10)，和可得结合上式计算时的右上导数 (12)其中令，并且取，其中，为常数不难得到 (13)这里我们断言 (14)如果式(14)不成立，由式(13)的不等式关系知存在和某个，使得

18、(15)其中另一方面将式(15)带入式(12)，利用式(11)可以得到 (16)有式(16)与式(15)矛盾，所以对，有因此可以得到所以，其中当时，则有根据定义3可知系统(6)的平衡点是全局指数稳定的，由于系统(6)与系统(1)等价，所以系统(1)的平衡点也是全局指数稳定的4 数值算例及仿真例1 考虑如下神经网络模型其中，容易得到满足，并且；取，易知它们是Lipschitz连续的，满足，有Lipschitz常数分别为；所以计算，得由定义2可知为M-矩阵，根据定理2可判断该神经网络存在唯一的平衡点，由Matlab计算得该系统的平衡点为，且平衡点是全局指数稳定的，见仿真图1图1 例1中系统平衡点的

19、全局指数稳定性5 结论通过变换，将一类具比例时滞的递归神经网络等价地变换成另一类具常时滞变系数的递归神经网络利用M-矩阵的性质结合拓扑学同胚映射的相关知识，通过反正法和求极限方法研究了具比例时滞的递归神经网络平衡点的存在性与唯一性再应用时滞微分不等式技巧通过求右导数建立了不等式系统，克服了Lyapunov方法中构建合适的Lyapunov函数的困难，最终得到了该系统平衡点的存在性、唯一性与全局指数稳定性时滞无关的充分判据同时这种方法还可以用于研究其他类型递归神经网络的平衡点的全局指数稳定性参考文献1 章国升. 基于递归神经网络的非线性系统识别研究D. 兰州: 兰州大学, 2010.2 王林山.

20、时滞递归神经网络M. 北京: 科学出版社, 2008.3 Takahashi Y. Solving optimization problems with variable-constraint by an extended Crossberg model J. Theoretical Computer Science, 1996, 158(l-2): 279-341.4 Chua L O, Yang L. Cellular neural networks theory and applications J. IEEE Transactions on Circuits and Systems,

21、1988, 35(1): 1257-1290.5 Arik S, Tavsanoglu V. Equilibrium analysis of delayed CNNs J. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1998, 45(2): 168-171.6 Zhang Q, Wei X P, Xu J. Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with time-varying delays J. Chaos, Solitons and Fractals,

22、 2005, 23(4): 1363-1369.7 刘艳青, 唐万生. 带有周期系数和时滞的细胞神经网络模型的周期解存在性和全局指数稳定性J. 工程数学学报, 2007, 24(6): 995-1006.8 Yao H X, Zhou J Y. Global exponential stability of mixed discrete and distributively delayed cellular neural networks J. Chinese Physical Society B, 2011, 20(1): 245-257.9 Chen W, Zheng W. Global asymptotic stability of a class of neural networks with distributed delays J. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 2006, 53(3): 644-652.10 秦梅. 一类具比例时滞细胞神经网络的反周期解D. 天津: 天津师范大学, 2014.11