高等数学对坐标的曲线积分学习教案

1、会计学1高等数学对坐标的曲线积分高等数学对坐标的曲线积分第一页，编辑于星期三：七点 四十四分。求和 niiiiiiiyQxP1),(),( 取极限 niiiiiiiyQxP1),(),( niiWW1 iW 取近似取jQiPFiiiiii),(),(),( iiiiMMF1),( iiiiiiiyQxPW ),(),( 即近似值精确值 WOxy AB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM iM jyixMMiiii)()(1 或 niiiiniiiiyQxPW1010),(lim),(lim 第1页/共27页第二页，编辑于星期三：七点 四十四分。定义11.2 设L为xOy面内从点A到点B的

2、一条有向光滑用L上的点把L分成n个有向小弧段)., 2 , 1(1niMMii ,11 iiiiiiyyyxxx设设曲线弧,在L上有界.),(),(yxQyxP函数函数iiiiMM1),( 为为点点 上任意取定的点.如果当各小段长度的最大值,0时时 BMyxMyxMMAnnnn ),(,),(,1111110第2页/共27页第三页，编辑于星期三：七点 四十四分。iiniixP ),(1 的极限总存在, 记作则称此极限为函数在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线积分,或称第二型曲线积分.即类似地定义称在有向曲线弧 L上对坐标y 的曲线积分.积分弧段被积函数第3页/共27页第四页，编辑于星期三：七点 四

3、十四分。在应用中常出现组合形式其中)d,d(dddyxj yixs 或向量“点积”形式 ),(),(),(),(yxQyxPjyxQiyxPA 沿闭曲线L的曲线积分记作第4页/共27页第五页，编辑于星期三：七点 四十四分。物理意义 LyyxQxyxPWd),(d),(jyxQiyxPF),(),( 变力变力sFLd )d,d(dyxs 沿平面曲线L所做的功为类似地, 可定义空间向量函数沿着空间曲线L的第二型曲线积分为kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 其中).d,d,d(ddddzyxkzj yixs 第5页/共27页第六页，编辑于星期三：七点 四十四分。对坐标的曲线积分具有下

4、列性质: ),(),(),(),(11yxQyxPByxQyxPA 沿平面曲线L的第二型曲线积分存在, 则设(1) 线性性质:BkAk21 积分存在, 且沿曲线L的第二型曲线其中 为任意常数.第6页/共27页第七页，编辑于星期三：七点 四十四分。,21LLL和和分分成成如如果果把把 yyxQxyxPd),(d),(LL1L2(2) 可加性: LyQxPdd且它们的方向相应地一致, 则 21ddddLLyQxPyQxP(3) 有向性: 方方向向相相反反的的是是与与LL 有向曲线,则 yyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!Oxy设L是有向曲线,Oxy第7页/共27页第八

5、页，编辑于星期三：七点 四十四分。,)()( tytxL 的参数方程为的参数方程为定理11.2 设),(),(yxQyxPt当当参参数数,时时变变到到由由 ,),(BLALyxM运运动动到到终终点点沿沿的的起起点点从从点点一一阶阶为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有及及在在以以 )(),(tt,连连续续导导数数,d),(d),(存在存在 LyyxQxyxP在有向曲线弧L上连续, 0)()(22 tt 且且且11.2.2 第二型曲线积分的计算则曲线积分第8页/共27页第九页，编辑于星期三：七点 四十四分。)(:)1(xyyL )(:)2(yxxL 则则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.积分下

6、限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.曲线方程的其他情形第9页/共27页第十页，编辑于星期三：七点 四十四分。,)()()(: tztytx (3) 对于空间曲线 第10页/共27页第十一页，编辑于星期三：七点 四十四分。例 计算上从上从为抛物线为抛物线其中其中xyLxxyL 2,d解 Lxxyd xxxd)( 1023d2xx54 AOxxyd OBxxyd xxxd.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到BA (1) 取 x为积分变量Oxy第11页/共27页第十二页，编辑于星期三：七点 四十四分。 112y54 Lxxyd,d2dyyx y yyd2 上上从从为为抛抛物物线线其其中中

7、计计算算xyLxxyL 2,d.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到BA Oxy 114d2yy(2) 取 y为积分变量第12页/共27页第十三页，编辑于星期三：七点 四十四分。).0 , 0()0 , 2()2();0 , 0()1 , 1()0 , 2(),20(11)1(OAxLOBAxxyL到到点点轴轴从从点点为为直直线线沿沿至至点点到到点点从从点点为为折折线线段段 解 (1)35 例 计算,)d(d LyxyxxyI其中Oxy 2 1AB,BOABL A点对应 B点对应.dd,2:xyxyAB AByxyxxy)d(d 12d)1)(2()2(xxxxx第13页/共27页第

8、十四页，编辑于星期三：七点 四十四分。xyxyBOdd,: Oxy 2 1ABB点对应O点对应 BOyxyxxy)d(d 01d)(xxxxx31 LyxyxxyI)d(d BOAByxyxxyyxyxxy)d(d)d(d23135 第14页/共27页第十五页，编辑于星期三：七点 四十四分。(2)Oxy 2 1A.0d,0: yyAOO点对应A点对应 LyxyxxyI)d(d0d002 xx0 问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, 但路径不同, 积分结果也不同.第15页/共27页第十六页，编辑于星期三：七点 四十四分。 LyyxxyxI,d)(d)(解 (1)A点对应 L的参数方程为B点

9、对应其中1 tttttttId cos)sin(cos)sin)(sin(cos20 例 计算).1 , 0()0 , 0()0 , 1(,)2();1 , 0()0 , 1()1(BOAAOBLBAL点点至至到到点点从从点点为为折折线线段段沿沿上上半半单单位位圆圆至至点点为为从从点点xyO11ABtttd)2sin2(cos20 第16页/共27页第十七页，编辑于星期三：七点 四十四分。,上上在在 AO, 01, 0到到从从xy 21 ,上上在在OB, 10, 0到到从从yx 12121 I问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, xyO11AB OBAOyyxxyxyyxxyxId)(d

10、)(d)(d)(2) LyyxxyxId)(d)( 01dd)(d)(xxyyxxyxAO 10dd)(d)(yyyyxxyxOB21 虽然路径不同, 但积分结果相同.第17页/共27页第十八页，编辑于星期三：七点 四十四分。,d)(d)(22 LyxyyxxyxI解L的参数方程为其中L为圆周 2 tatatatatatataIdcos)sincos()sin)(sincos(202 例 计算.)0(222沿沿逆逆时时针针方方向向绕绕行行一一周周 aayxtttd)cos(sin2022 xyOa第18页/共27页第十九页，编辑于星期三：七点 四十四分。 其中是由点A(1,1,1)到点B(2,

11、3,4)的直线段.直线AB的方程为312111 zyx 1013d)146(tt解化成参数式方程为于是,d)1(dd zyxyyxx例 计算A点对应B点对应 zyxyyxxd)1(dd 10d3)31 (d2)21 (d)1 (tttttt第19页/共27页第二十页，编辑于星期三：七点 四十四分。 Lyxyxx,d)(d2计算计算(1) L是上半圆周 反时针方向;,22xay 解A点对应 (2) L是x轴上由点 到点 的线段. )0 ,(aA)0 ,( aB (1)中L的参数方程为B点对应其中原式=23232aa Oxy)cos(dcos202tata )sin(d)cossin(tatata

12、 第20页/共27页第二十一页，编辑于星期三：七点 四十四分。Oxy(2) L的方程为原式=xxaad2 332a Lyxyxx,d)(d2计算计算(2) L是x轴上由点 到点 的线段. )0 ,(aA)0 ,( aB 其中第21页/共27页第二十二页，编辑于星期三：七点 四十四分。11.2.3 两类曲线积分之间的关系设A, B分别是曲线L的起点和终点, L的长度为l. M是曲线上的动点, 取弧长 作参数, sAM 可以表示为以s为参数的参数方程 lssyysxx 0,)()(则曲线L于是 第22页/共27页第二十三页，编辑于星期三：七点 四十四分。其中处处的的切切线线向向量量的的上上点点是是曲曲线线),(cos,cosyxLBA 方向余弦. 即 这就是平面上两类曲线积分之间的关系. 第23页/共27页第二十四页，编辑于星期三：七点 四十四分。类似地,空间曲线 上的两类曲线积分有如下关系其中),()(cos,cos,coszyxBA上点上点是曲线是曲线 处的切线向量的方向余弦. 第24页/共27页第二十五页，编辑于星期三：七点 四十四分。例 把对坐标的曲线积分 LyyxQxyxPd),(d),(2xy 解 sxddcos 2