(完整版)2013湖南理科数学高考试题(含解析与答案)

1、2013 年全国统一考试数学理工农医类 （湖南卷） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. （2013 湖南，理 1）复数 z= i （ + i）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 解析：z= i + i2=- 1+ i,对应点为（1,1），故在第二象限，选 B. 2. （2013 湖南，理 2）某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业 余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的

2、抽样 方法是（ ） A .抽签法 B .随机数法 C系统抽样法 D 分层抽样法 答案：D 解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采 用分层抽样. 3. （2013 湖南，理 3）在锐角 ABC 中，角 A, B 所对的边长分别为 a, b.若 2asin B = . 3 b, 则角 A 等于（ ) n n n n A . B.- C. D .- 12 6 4 3 答案：D解析: 由 2asin B= b 得 2si n As in B= 3 sin B，故 sin A = n ABC 为锐角三角形，故 A=. 3 4. （2013 湖南，理 4）若变量 x,

3、 y 满足约束条件 y 2x, x y 1,则 x+ 2y 的最大值是( y 1- 5 A. 2 B . 0 5 C.- 3 5 D.- 2 答案：C 解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分. 令 x+ 2y= d,即 y1 2 14 5 由线性规划知识可得最优点为 ，一，所以 dmax= . 3 3 3 3 3 5. (2013 湖南，理 5)函数 f(x) = 2ln x 的图象与函数 g(x)= x2- 4x+ 5 的图象的交点个数为 ( ). A . 3 B. 2 C. 1 D. 0 答案：B 解析：设 f(x)与 g(x)图象的交点坐标为(x, y), 贝 V y= 2ln x,

4、y= x2- 4x+ 5,联立得 2ln x= x2- 4x+ 5,令 h(x)= x2- 4x+ 5 2ln x(x 0), 2 由 h(x) = 2x-4=0 得 x1= 1 、Q , x2= 1 舍). x 当 h(x) v 0 时，即 x (0,1 、2)时，h(x)单调递减； 当 h(x)0，即 x (1 .2 ,+s)时，h(x)单调递增. 又 vh(1) = 2 0, h(2) = 1- 2ln 2 v 0, h(4) = 5- 2ln 4 0, h(x)与 x 轴必有两个交点，故答案为 B. 6. (2013 湖南，理 6)已知 a, b 是单位向量，a b = 0,若向量 c

5、 满足|c-a b|= 1，则|c| 的取值范围是( ). A. .2 1, .2 1 B. p.2 1 , 2 2 C. 1 , 2 1 D . 1，-、2 2 答案：A 由题意，不妨令 a= (0,1), b= (1,0), c= (x, y),由 |c- a b|= 1 得(x- 1)2+ (y- 1)2 =1, |c= , x2 y2可看做(x, y)到原点的距离，而点(x, y)在以(1,1)为圆心，以 1 为半径的 圆上.如图所示，当点(x, y)在位置 P 时到原点的距离最近，在位置 P 时最远，而 PO = 、2 1 , PO= 2 1，故选 A. 方体的正视图的面积不可能等于

6、 ( ). A. 1 B. 一 2 答案：C解析: 7. (2013 湖南，理 7)已知棱长为 42 cos 0,如图所示. 1 的正方形，则该正 解析: /jn 故正视图的面积为 S= 2 cos 0(0 -), 4 1 w Sw J2 , 2 1 2 1 而 (a + 2b+ 3c)2, 即 a2 + 4b2+ 9c2 12,当 a= 2b = 3c = 2 时等号成立，所以 a2+ 4b2+ 9c2的最小值为 12. 11. （2013 湖南，理 11）如图，在半径为 7 的e O 中，弦 AB, CD 相交于点 P, PA= PB =2, PD = 1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为

7、 _ 答案: 解析：如图所示，取 CD 中点 E,连结 OE, OC. 由圆内相交弦定理知 PD PC= PA PB, 2 所以 O 到 CD 距离为 OE = J J7 2 . V 2 2 （二）必做题（1216 题） 12. （2013 湖南，理 12）若 T x2dx= 9，则常数 T 的值为 答案：3 所以 PC= 4, CD = 5，贝 V CE = , OC =诗7 . =x2, 解析： lx3 3 答案：9 解析：输入 a= 1，b= 2,不满足 a8,故 a= 3; a= 3 不满足 a 8，故 a= 5; a= 5 不满足 a 8，故 a= 7; a= 7 不满足 a 8，故

8、 a= 9，满足 a8，终止循环.输出 a = 9. 2 2 x y 14. (2013 湖南，理 14)设 F1, F2是双曲线 C:二 2 1(a0, b0)的两个焦点，P a b 是 C 上一点.若|PF1|+ |PF2|= 6a，且 PF1F2的最小内角为 30 则 C 的离心率为 _ . 答案：,3 | PF1 | | PF2 | 6a, 解析：不妨设|PF1| |PF2|,由 可得 |PF1| |PF2| 2a |PFj 4a, |PF2| 2a. 2av 2C,.ZPF1F2= 30 2 2 2 O 2C 4a 2a cos 30 = - , 2 2 4a 整理得，C2+ 3a2

9、 - 2. 3ac= 0，即 e2- 23e+ 3 = 0,e 3 . 1 15. (2013 湖南，理 15)设 Sn 为数列an的前 n 项和，Sn= (- 1)nan，n N*，则 T x2dx= 1x3|T 3 1 T3-0= 9,. T = 3. 3 13. (2013 湖南， 理 的值为_ . 13)执行如图所示的程序框图，如果输入 a= 1, b= 2,则输出的 a 26 (1) a3 = _ ； (2) Si + S2+-+ Sioo= _ . 1 1 1 答案：(1) 16 (2)3 尹 1 16. (2013 湖南，理 16)设函数 f(x)= ax+ bx-疋，其中 ca

10、0, cb0. (1) 记集合 M = (a, b, c)|a, b, c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a= b，则(a, b, c) M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为 _ ； (2) 若 a，b, c 是厶 ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 _ .(写出所有正确 结论的序号) x ( a, 1), f(x)0; x R，使 ax, bx, cx不能构成一个三角形的三条边长； 若 ABC 为钝角三角形，则 x (1,2)，使 f(x) = 0. 答案：(1)x|0v x w 1 (2) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1

11、7. (2013 湖南，理 17)(本小题满分 12 分)已知函数f(x) sin .2 x g(x) = 2 sin - =151 .3 sin x 1 cos x, 即 73sin x+ cos x 1. 于是sin x 2kn+ 5, k Z , 6 6 2 n 即 2k nW xW 2 k n+ , k Z. 3 故使 f(x) g(x)成立的 x的取值集合为n cos X , 3 (1)若a是第一象限角，且 求使 f(x) g(x)成立的 f(a = 313，求 g( a 的值; 5 x 的取值集合. 解：f(x) sin x cos 1 = sin x cos x+ cos x+

12、2 2 2 =3 sin x, n x 3 ,3 sin x 2 2 x g(x)= 2 sin = 1 cos x. 2 , 3/3 . (1)由 f( a = 得 sin a= 5 又a是第一象限角, 所以 cos a 0. 从而 g( a = 1 cos a= 1 . 1 sin2 (2) f(x) g(x)等价于 , n 从而 2k n+ w x + x|2kn x 2k n 2n,k Z 3 18. (2013 湖南，理 18)(本小题满分 12 分)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地 块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点 )处都种了一株相同品种的作物.根 据

13、历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间 的关系如下表所示： 4K X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； 从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望. 解：所种作物总株数 N= 1 + 2+ 3+ 4 + 5= 15,其中三角形地块内部的作物株数为 3, 边界上的作物株数为 12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 1 1 C3C12 = 36 种，选取的两

14、株作物恰好 “相近”的不同结果有 3 + 3+ 2= 8 种. 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好 “相近”的概率为 8 2 36 9. (2) 先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列. 因为 P(Y= 51)= P(X= 1), P(Y= 48) = P(X= 2), P(Y= 45) = P(X= 3), P(Y= 42)= P(X= 4), 所以只需求出 P(X= k)( k= 1,2,3,4)即可. 记 nk为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k= 1,2,3,4)，则 n1 = 2, n2= 4, n3= 6, n4= 3. 由 P(X

15、 = k) = 得 N 2 4 6 2 3 1 P(X = 1) = , P(X = 2) = , P(X = 3) = , P(X = 4)= . 15 15 15 5 15 5 故所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P 2 4 2 1 15 15 5 5 所求的数学期望为 2 4 2 1 34 64 90 42 E（Y）= 51 X + 48 X + 45 X + 42 X = = 46. 15 15 5 5 5 19. （2013 湖南，理 19）（本小题满分 12 分）如图，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AD / BC , / BAD = 90 AC 丄 BD, BC

16、 = 1 , AD = AA匸 3. (1)证明：AC 丄 BiD; (2)求直线 BiCi与平面 ACDi所成角的正弦值. 解法 1: (1)如图，因为 BBi丄平面 ABCD , AC 平面 ABCD，所以 AC 丄 BBi. 又 AC 丄 BD，所以 AC 丄平面 BBiD . 而 BiD 平面 BBiD，所以 AC 丄 BiD. 的角(记为0). ABCD AiBiCiDi 是直棱柱，且/ BiAiDi = ZBAD = 90 所 以 AiBi丄平面 ADD iAi. 从而 AiBi丄 ADi. 又 AD = AAi= 3，所以四边形 ADDiAi是正方形，于是 AiD 丄 ADi.

17、故 ADi丄平面 Ai BiD，于是 ADi丄 BiD . 由 知，AC 丄 BiD，所以 BiD 丄平面 ACDi.故/ADBi = 90 0 在直角梯形 ABCD 中，因为 AC 丄 BD，所以/ BAC = ZADB .从而 RtKBCRt ADAB , AB BC - - 故 即 AB= DA BC 、3 . DA AB 连结 ABi，易知 ABiD 是直角三角形， 且 BiD2= BBi2+ BD2= BBi2+ AB2 + AD2= 2i, 即 BiD = 2i . D、因为 BiCi/AD ,所以直线 BiCi与平面 ACDi所成的角等于直线 AD 与平面 ACDi所成 如图，连

18、结 AiD,因为棱柱 在 RtAABiD 中, AD cos/ADB i = - BiD 3 2i ；2i ，即 cos(90 解法 2: (i)易知，AB, AD , AAi两两垂直.如图，以 A 为坐标原点，AB, AD , AAi所 在直线分别为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB = t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0), B(t,O,O), Bi(t,0,3), C(t,1,0), Ci (t,1,3), D(0,3,0), Di (0,3,3).即直线 BiCi与平面 ACDi所成角的正弦值为 2i 7 从而 sin 0= 由题设，k1 + k2= 2, k1

19、0, k2 0, k1 工 k2, D Di A uuun uuur uuu B1D = (-1,3, 3), AC = (t, 1,0), BD = (- t,3,0). uur uur AC 丄 BD，所以 AC -BD =- t2+ 3+ 0= 0解得 t , 3 或 t 3 (舍去). umu uuur - BQ = ( 、3 , 3,- 3), AC = (、3 , 1,0). uuur uuu uur uuLur AC BD =- 3 + 3+ 0= 0，所以 AC 丄 B1D，即 AC 丄 B1D. uuur uuur 厂 uuju 从而 因为 因为 由(1)知，AD1 = (0

20、,3,3), AC = (、3 , 1,0), B1C1 = (0,1,0). 设 n = (x, uuur n AC uuiur n AD1 y, z)是平面 ACD1的一个法向量, 即 3x y , 0, 3y 3z 0. 则 n = (1, .3 , .3). 令 x= 1 , 设直线B1C1与平面ACD1所成角为 0则 uuuu 山山 n BG n IB1C1 sin 0= |cos n, BCi1= -21 7 即直线 BiCi与平面 ACDi所成角的正弦值为 7 20)(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿 20. (2013 湖南，理 纵、横方向

21、到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“ L路径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径MNiN都是M到N的“ L路径”.某地有三个新建的居民区， 分别位于平面xOy内三 点A(3,20), B(- 10,0), C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一 个文化中心. M2 (1) 写出点 P 到居民区 A 的“ L 路径”长度最小值的表达式 (不要求证明)： (2) 若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，“ L 路径”不能进入保护区，请 确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小. 解：设点 P 的坐

22、标为(x, y). (1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为 |x- 3|+ |y- 20|, x R, y 0 ,+). (2)由题意知，点 P 到三个居民区的“ L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民 区的“L 路径”长度最小值之和(记为 d)的最小值. 当 y1 时，d= |x+ 10|+ |x 14|+ |x 3|+ 2|y|+ |y 20|, 因为 di(x)= |x+ 10|+ |x 14|+ |x 3| |x + 10|+ |x 14|, (*) 当且仅当 x= 3 时，不等式(*)中的等号成立， 又因为 |x+ 10|+ |x 14| 24, (*)

23、当且仅当 x 10,14时，不等式(*)中的等号成立. 所以 d1(x)24,当且仅当 x = 3 时，等号成立. d2(y) = 2y+ |y 2021，当且仅当 y= 1 时，等号成立. 故点 P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的 “L 路径”长度之和最小，且最小值为 45. 当 0W y 21. 由知，d1(x)24,故 d1(x) + d2(y)45，当且仅当 x= 3，y = 1 时等号成立. 综上所述，在点 P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的 “L 路径”长 度之和最小. 21. (2013 湖南，理 21)(本小题满分 13 分)过抛物线 E: /=

24、 2py(p 0)的焦点 F 作斜率分 别为 k1, k2的两条不同直线 11，12，且 k1 + k2= 2, 11与 E 相交于点 A，B，12与 E 相交于点 C， D，以 AB, CD 为直径的圆 M,圆詁址叫为圆心)的公共弦所在直线记为 I. (1) 若 k1 0, k2 0,证明：FM -FN v 2p2; 7X/5 (2) 若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ，求抛物线 E 的方程. 5 解：(1)由题意，抛物线 E 的焦点为 F 0,卫，直线 2 l1的方程为 y = k1x+卫， 2 E 由丿 1 2,得 x2 2pk1x p2= 0. 2 小 x 2py 设 A, B

25、两点的坐标分别为(x1, y1), 则 X1, X2是上述方程的两个实数根. 从而 X1 + x2= 2pk1, 2 y1 + y2= k1(x1 + X2)+ p = 2pk1 + p. 所以点 M 的坐标为 pk1, pk12卫 (X2, y2), uuuu ,FM =(pk1, 2 pk1). 由题设，k1 + k2= 2, k1 0, k2 0, k1 工 k2, 2 同理可得点 N 的坐标为 pk2, pk2 uuur uuur 于是 FM FN = 2+ 22. uuur 2 FN = (pk2, pk2). uuuu uuir 故 FM FN 0, 所以点 M 到直线 I的距离 2 d |2pk1 pk1 p | d 5 _ p|2k12 k1 1| = 1 P2 k1 1 = :5 故所求的抛物线 E 的方程为 x2= 16y. 22. (2013 湖南，理 22)(本小题满分 13 分)已知 a0,函数 f(x)= (1) 记 f(x)在区间0,4上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式； (2) 是否存在 a,使函数 y= f(x)在区间