2019-2020学年湖南省常德市高一下学期期末数学试题(解析版)

1、2019-2020学年湖南省常德市高一下学期期末数学试题一、单选题1 .已知集合A = M 2v/<5, B = .rl-3<x<l,则4门8=()A. a1-2<x<1b. M_3cxe-2C. a1-3<x<5d. .rll<x<5【答案】A【解析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合 A = M-2cxe5, B = .rl-3<x<l,所以 405 = 巾一 2cx<1.故选:A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2 .已知。为第四象限的角，且cosg = W，则tan

2、。的值为()551212A. B. C. D.121255【答案】D12【解析】由同角三角函数的平方关系可得sina =-二，再由同角三角函数的商数关系13即可得解.【详解】因为a为第四象限的角，且cosa = ±,13所以 sin a = -71-00<« =-,1312"sin a 八 12所以 tan a = =一-.cos a513故选：D.【点睛】 本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.3 .等差数列%中，%=8,即)=29,则生=()A. 14B. 17C. 20D. 23【答案】B【解析】根据等差数列的性质“+,“=

3、，“+/结合已知条件，求公差4进而求出生的值【详解】由等差数列"”中， = 8，0 = 29 ,令公差为4,则= % + 748+74 = 29,解得d = 3而% = % + 3d = 8 + 3x3 = 17故选：B【点睛】本题考查了等差数列，由等差数列的性质6+”,=/+以求项，属于简单题4 .若直线，优+,，+ 1 =。与x + (2a + l)，+ 2 = 0平行，则。的值为()A. yB. -1C.；或1 D. -J或 1【答案】B【解析】根据直线平行与系数之间的关系，列出等式，求解即可.【详解】因为直线，0+ )，+ 1=0与x + (2 + l)y + 2 = 0平行

4、故可得4(2 + 1) = 1,且2工2+ 1,解得。=一1.故选：B.【点睛】本题考查由直线的位置关系求参数值，属简单题.5 .已知y = /(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x) = 2'+2-x,贝!)/(-1)=()【答案】D【解析】根据函数是奇函数，结合已知函数解析式，即可容易代值求得结果.【详解】因为/(X)是奇函数，故可得=+=2故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属简单题：另，本题也可利用奇偶性求出函数在x<0时 的解析式，再代值求解.6 .若圆G： / + 丁+2工=0与圆C” / +),2_4.8)，+6=0相外切，则?等于 ()A. 1

5、6B. 14C. 4D. -1【答案】C【解析】由圆的方程先确定两圆的圆心和半径，再由两圆外切的性质列方程即可得解.【详解】由题意，圆G： / +),2 + 2%=0可化为(x+iy+y2 = ,圆心为(t,o),半径为1： 圆 C? ： a2 + y2 -4x-8y + ？ = 0 可-化为(x-2) + (y-4) =< 20),圆心为(2,4),半径为同二百：由两圆外切可得,(2 + 1+可=1 + J20二/即,20-? =4.解得m=4.故选：C.【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7 .明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学命题

6、叫“宝塔装灯”， 内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，”(“倍加增”指灯的数 量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)，根据此诗，可以得出塔的第四层灯 的数量为()A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】由等比数列前项和公式可构造方程求得第四项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列色“，首项修为顶层灯的盏数，公比(/ = 2,"/-）=4（2,1） = 381，解得：4=3,l-qaA = 3 x 2? = 24,，塔的第四层灯的数量为24.故选：B.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.8 .若函数、

7、，= /-"' （。0且4。1）是减函数，则函数log. U -II的图象大致 是（）【答案】A【解析】由），=1奥"工一11的对称性可排除仄。选项，再根据y = /e（。0且"W1）是减函数可得41,即可知了 = 1。81工一11的区间单调性，进而可得其大致图象【详解】函数y = log"x -II关于X=1对称，即可排除夙D.函数），=。2-6（。0且4工1）是减函数，即复合函数为单调减函数若令/ = 2-奴，则y ="1、当0。1时，y ="单调递减，那么/ = 2ar单调递增，即,0出现矛盾2、当“>1时，），=

8、 "单调递增，那么，=2一女单调递减，即。>0即可，故有“>1综上，有”>1 则，y = log°lx II在（一）单调递减，（1,2）单调递增故选：A【点睛】本题考查了函数图象的识别，由已知条件确定目标函数的图象性质，进而确定其大致图 象：综合考查了复合函数，对数函数、指数函数的单调性，并由此求参数范围，进而确 定目标函数的图象（1 yl,9.设” = lgl5, 8 =，c = tan430,则（）A. c<b<a B. u<c<b C. c<a<b D. b<a<c【答案】c【解析】求出”,从c在整数区

9、间的范围，即可判断.【详解】vlgl0<lgl5 <lglOO, ：.<a<2,即 8>2,第1页共6页<, tan 43 < tan 45 = 1,即 c V1,：.c<a<b.故选：C.【点睛】本题考查对数式，指数式，正切值的大小的判断，求出各自范围判断是解决问题的关键, 属于基础题.10.设。为3c所在平面内一点，6方=2£>二，M为AO的中点，则砺=（）A. -AB-AC63C. -AB + -AC63B. -AB-AC361 5一D. -AB + -AC36【答案】A【解析】画出图形，由平面向量的线性运算法则结合图

10、形即可得解.【详解】由题意画出图形，如图,因为5 = 2£>1, M为40的中点，2i所以8。= 8C, MA = -AD.32所以砺=苏+砺=一而+荏=-1（荏+而）+而=L而一！x?前22、722 3= Lab-L（ac-ab = -ab-ac.23、 f 63故选：A.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则的应用及用基底表示向量，考查了运算求解能力，属 于基础题./ 1L函数f（x） = sin（0x + 8）口>0,1。1<1的最小正周期为江，其图象向右平移？个2 ；6 单位长度后关于原点对称，则函数"X）在一"，。上的最大值为（）1 .

11、 -B.9C. 1D.正2222【答案】D【解析】根据函数周期以及平移后函数是奇函数，求得参数以0：再求函数在区间上 的值域即可.【详解】/、2乃因为/（X）的最小正周期为江，故可得闷=汗，又0>0,解得切=2：故/（x） = sin（2x + 0）,将其向右平移三个单位，可得y = sin； 2工+0一£ 63又因为其是奇函数，故可得e一三二丘,keZ,又闽<g，故可得W=2.综上所述，/(x) = sin 2x + |,又x e 一不,。,则 2x +w e -， D'LDD故/（X）在区间3，°乙上的最大值为sin2 =正. 32故选：D.【点睛】

12、本题考查由正弦型三角函数的性质求参数值，以及求正弦型函数在区间上的值域，属综 合基础题.12 .如图，从长方体A8C。-44G2的顶点a发出的一束光线，经平面AMGA反射后到达顶点C,记光线与平面44Gol的交点为M ,若A3 = AQ = 2, 44,=，爹,则三棱锥B - AMC的外接球表面积为（A. 8万B. 104C. 16乃D.哈【答案】A【解析】由题意确定点M的位置，连接AC,取AC的中点。，由长方体的几何特征 结合平而几何的知识可得QA = OB = OC = OM=J?，进而可得外接球的半径，再由 球的表而积公式即可得解.【详解】作点a关于平面AMG2的对称点a',连接

13、4C与4a的交点即为M，可得M为4G的中点，连接M4、MC、连接4C,取AC的中点。，连接OM、0B ,如图,由长方体的性质可得OM / /AA且。加=44)=，又 A3 = A£> = 2,所以 AC = "b? + BC? = 2也,所以OAuOBmOCu:ACma/J ,所以QA = OB = OC = OM =近， 所以点。即为三棱锥3 A/WC的外接球的球心，半径厂=应，所以三棱锥B - AMC的外接球表面积S = 4%产=4x( x/2)2 = 8万.故选:A.【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及几何体外接球的表而积的求解，考查了空间思维能 力与运算求

14、解能力，属于中档题.二、填空题13 .已知不=(3,4), B = (1,2),则n与B夹角的余弦值为.【解析】由cos,六芾,直接计算即可得解.【答案】鼻【详解】因为不= (3,4), b =(-1,2),所以万石=一3 + 8 = 5，同=6+42 = 5,忸卜J(-l+22 =卡,5x6 "T故答案为【点睛】本题考查了平而向量夹角的求解，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.14 .小船A和小船3在中午12时离开起点C ,两展小船的航行方向之间的夹角为120。, 小船A的航行速度是2.5”加/e/，小船3的航行速度是15?波/力，下午2时两船 之间的距离是nniile.【答案

15、】7【解析】由小船A和小船3的航行速度、时间及方向夹角，可得它们的航行示意图， 结合余弦定理即可求得下午2时两船之间的距离【详解】由题意知，截止下午2时小船A、5的航行距离分别为5万成/e、3nniile又两艘小船的航行方向之间的夹角为120。，有如下图下午2时，小船A沿CE方向航行5 nmile到E点，小船B沿CD方向航行3 mnile到D点:.由余弦定理知：DE2 = CD2 + CE2 - 2CD CE - cos ZDCE即可得：DE = 7nmile故答案为：7【点睛】本题考查了余弦定理的实际应用，由题意画出实际问题的几何示意图，结合余弦定理求 距离，属于简单题15 .已知三棱柱AB

16、C-48cl的侧棱垂直于底面，且 A3c是边长为1的正三角形,9=6，E、/分别为8C、CG的中点，则异面直线A4与政所成的角为【答案】7O【解析】由正三棱柱的几何特征可得NC庄或其补角即为异面直线44与EE所成的角，进而可得tanNCFE =正，即可得解. 3【详解】 由题意画出图形,如图,在正三棱柱 ABC A4G 中，A4J/CG，CG，平而 ABC,则CG_L8C,所以NC正或其补角即为异而直线AA与EF所成的角，又E、尸分别为8C、CG的中点，BC=1, cg=/V=",1CE 7 J3tanZCFE = -= = T，T由 NCF£w(O,;r)可得 NCbE

17、= £, 6所以异而直线明与EF所成的角为.故答案为：6【点睛】本题考查了正三棱柱几何特征的应用及异而直线所成角的求解，考查了空间思维能力,属于基础题.16 .已知等差数列q的前项和为S“，为整数，4=13, S”之&,则数列q的通项公式为勺=.【答案】2/7-17【解析】设等差数列与的公差为4,由等差数列的性质及前项和公式可得1=!2-13+¥，再由二次函数的图象与性质可得”4-求得4后再由等差数列的通项公式即可得解.【详解】设等差数列q的公差为4,则6=。2" = -13 - "，4为整数,(1)2(一 1) , :所以s=卬? + -cl

18、= (-13 -+2由SNS8,结合二次函数的图象与性质可得d0,解得二W"二，76所以d = 2，所以i一”=-15, 所以 =q +(一 l)d = 15 + 2(-1) = 2-17.故答案为：2n-17.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性 质解决等差数列前项和最值的问题，属于中档题.三、解答题17 .已知向量之=（3也2%8§2人），B =（I）若1.坂，求此时X的取值集合；（H）若函数/（x） = 7/； + 4cos2x,求函数/（X）的单调递减区间. 、l一【答案】（I） X x = - + yk &Z

19、： （ II ） ，+ &4,三 + 女江（k eZ）.212_ 63_【解析】（I ）根据得7B = o,解出方程即可：/ （H）根据二倍角公式和辅助角公式可将/"）化为2sin 2x + f +2,令一o- + 2k<2x + -< + 2k7r 9 解出x 范围即可.262【详解】(I),/ a l.b(/Q：.a-b = y3 sin 2x cos 2x = 0» 得 2sin 2x- - =0,即 sin| 2工一7=0 ,6 J16/.2x- = kji k eZ ,解得x = ± +=(A eZ),62 12v7x的取值集合为,

20、x x 1、k e z；I 2 12 J(II) f(x) = a b + 4cos2 x = /3 sin 2x-cos2x + 2( 1 +cos2x)=y/3 sin lx + cos 2x + 2(71=2sin 2x + +2,令二+ 2k;r «2x + £< 包+ 2A/r , keZ,262贝|J + k<x< + k9 keZ. 63, 一即函数X)的单调递减区间为- + k + k ,keZ. L6 3 J【点睛】本题考查三角函数得化简求值，以及二倍角、辅助角公式的应用，属于基础题.18.在3c中，内角A, B, C所对的边分别为。，b

21、, c,已知。+ » = 2c cos A.(I)求角。；(II)若ABC的面积S = J?, a+b = 5t求边('的大小.【答案】(I)C =； (2) C = y/?A【解析】(1)由正弦定理及411(4+ 0)=0也从(：0$0 + <：004$也0得到80。=-1, 2即可求得内角C的值：(2)由已知及三角形而积公式可求得出? = 4,又由。+ = 5两式即可得解，再由余弦定理得到J【详解】由正弦定理得，sin A + 2sin 5 = 2sin Ceos Asin A + 2 sin( A + C) = sin A + 2 sin A cos C + 2

22、cos A sin C = 2sinCcos Asin A + 2 sin A cos C = sin A(1 + 2cos C) = 0,在3c中，0<A</r,得sinA>0/.l + 2cosC = 0> cosC = -2vO<C<, .C = 3(2) /46。的面积5少8<?=：46由。=>/1,1/J,/ cosC =，O<c<- A sinC = 22SmA8C = ab = W，得而=4又因为a+ = 5,所以 = 4* = 1或者 =1力=4由余弦定理得 c? =(1+1 2abcosC = 1 + 16 2xlx

23、4x( ) = 212C = y/2【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用.19.已知圆C过点(2,6)且与1轴相切，圆心C在线段y = 2x(0 W4)上，过点4(1,0)的直线/与圆C相交于M, N两点.(I)求圆C的方程；(II)若lNI=2",求直线/的方程.【答案】(I) (x 2+(y4f=4； (H) x = 1 或 15x 8y 15 =0.【解析】(【)设圆心。几2砌,(。<加工4),由直线与圆相切可得圆的半径二机，再由点在圆上代入解方程即可得解；(II)按照直线/斜率是否存在分类，将弦长转化为圆心到直线的距离，结合点到直线 的距离的公式

24、即可得解.【详解】(I )由题意设圆心C(?,27),(OW7<4),因为圆。与3'轴相切，所以该圆的半径=，所以圆C：(X ?+()，-2?)2=72, 又圆C过点(2,6),所以(2-"+(6 2帆)2=/岛 解得7 = 2或7 = 5 (舍去)， 所以圆C的方程为(x2+()，4=4：(II)由(I )得圆C的圆心(2,4),半径/* = 2，当直线/的斜率不存在时，直线/:x = l,此时圆心到直线的距离d = 2 1 = 1, I MN 1=2,户/=20,符合题意：=1，当直线/的斜率存在时，设直线/：y = %(x-l)即依一 y-k=0,若要使MN 1=

25、 26,则圆心(2,4)到直线/的距离d = 所以""号高解得所以直线/的方程为y= x-1即15X一8)，-15 = 0： 8综上，直线/的方程为大=1或15工一8)，-15=0.【点睛】本题考查了圆的方程的确定及直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化 归思想，属于中档题.20.如图，在四棱锥。一 A3C。中，四边形A8CQ是正方形，尸Z)_L平面A3CD,点 E为线段P4的中点.(I)求证：尸C平面8OE；(ID若AO = 2, PC与平面A8CD所成角为45。，求三棱锥PE3C的体积.2【答案】(【)证明见解析；(II)【解析】(【)连接AC交80于。，连

26、接。石，由平而几何的知识可得OEPC,再由线而平行的判定即可得证：(II)由线而角的概念可得NPCO = 45'，进而可得产。=2,再由Vp-ebc = %一咏一匕-.，结合棱锥的体枳公式即可得解.【详解】(I)证明：连接AC交8。于0,连接OE，如图，因为底而A8CQ是正方形，所以。为AC的中点，又点E为线段24的中点，所以OE/PC,因为OEu平面BDf,尸Ccz平面所以尸C 平面3£)£：(II)因为PQ_L平而A3CO，所以乙PCD即为PC与平面ABCD所成的角，即/PCD = 45 '又AD = 2,四边形A3CZ)是正方形，所以PD = CQ =

27、 AO = 2,因为点E为线段P4的中点，所以点E到平面A8CD的距离为!。= 1,2所以-,WC = VP-ABC »乙所以 Vp_EBc = VP-ABC E-ABC =彳=TXTX S ABC PD = -X -X2x22 =-.22 36 23【点睛】本题考查了线面平行的判定及几何体体积的求解，考查了空间思维能力与运算求解能 力，属于中档题.21.正项数列也的前项和为S“，且8sL(4+2)7 eN")(I )求 %的值及数列%的通项公式；(II)记。”=票，数列%前的和为了.，求证：4<2.【答案】（I）6=2，g=6，勺=4-2： （II）证明见解析.【解

28、析】（1）分别代入 =1," = 2即可求出1,松，再利用”“=S“-Si可以得出“"4i=4,从而判断4是等差数列，即可求出通项公式；（2）写出与，用错位相减法求出q=2-二即可得证.(I) = 1 时，8a = I =2时，8 2 + %=之2时，a“=S"-S"一整理得“一i=4,，数列0是首项为2,=2+ - 1 x4 = ,(11) % =* =(4-nV mV( = 2x - +6x -3 )、)i(iY(i-rj = 2x i +6x - 3 (3两式相减得：22(1V二7>+ 4x - +4:334 L fiY"r293)=+：31-13整理得7；=2 二翼,Z+2),解得 =2,a2 +20 解得出=-2 (舍)或。2 =6,-1 =：(勺+2)一:(41+2), OO公差