复数三角形式的运算PPT

1、1、复数代数形式的、复数代数形式的基本基本运算：运算：加加：(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(d+d)i减减：(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i乘乘：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i dicbia除：idcadbcdcbdacdicdicdicbia2222)()( 2、运算性质：、运算性质：zz=|z|2=|z|2i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(nN)3、复数加法的几何意义：、复数加法的几何意义：平行四边形法则平行四边形法则减法的几何意义：减法的几何意义：三角形法则三角形法则复习引入复习引入一、乘法

2、11112222cossincossinzrizri设复数，22211121sincossincosirirzz21212121212coscossinsinsincoscossinr riii1212121212coscossinsinsincoscossinr ri（）（）121212cossinr ri。111222121212cossincossincossinririrri两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和。也就是说，两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角。新课讲授新课讲授。求，：已知复数例21216sin6co

3、s332sin32cos21zziziz65sin65cos6632sin632cos3221iizz解：111122223333cossincossincossincossinnnnnnnzrizrizrizri复数的相乘可以推广到个复数相乘。若设个复数为nnnnirrrzzz21212121sincos例题讲解例题讲解23 cos20sin202 cos50sin5010 cos80sin80iii 例 ：计算：: 3 cos20sin202 cos50sin5010 cos80sin8032 10 cos 205080sin 205080iiii 解60 cos150sin150i316

4、030 33022ii 。若遇到复数的代数式与三角式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数式或三角式，然后进行复数的代数式相乘或三角式相乘。37713 cossin44ii 例 ：计算：222rab解：，34。33772 cossin3 cossin4444ii原式373723 cossin4444i25sin25cos6i2sin2cos6i。i 612sin22br，12cos22ar ，二、除法，且，设复数0sincossincos222221111zirzirz22211121sincossincosirirzz2222222111sincossincossincossincosiiri

5、ir22222212121211sincossincossinsinsinsincoscosrir。212121sincosirr。212121222111sincossincossincosirririr新课讲授新课讲授 复数三角形式除法的运算法则为：两个复数相除（除复数三角形式除法的运算法则为：两个复数相除（除数不为数不为0），其），其商还是一个复数商还是一个复数，它的模等于被除数的模除，它的模等于被除数的模除以除数的模所提的商，它的辐角等于被誉为除数的辐角减以除数的模所提的商，它的辐角等于被誉为除数的辐角减去除数的辐角所得的差。去除数的辐角所得的差。也就是说，两个复数相除（除数也就是说，

6、两个复数相除（除数不为不为0），是把），是把模相除模相除作为商的模，作为商的模，辐角相减辐角相减作为商的辐角作为商的辐角。cos80sin80 ) 2(cos320sin320 ).ii例4 计算4(cos80sin80 )2(cos320sin320 )ii解4(cos(80320 )sin(80320 )2i4=2cos( 240 )sin(240 )i=132()22i13 i 15cossin0zrirz例 ：已知复数，求 的三角形式。cos0sin01cossinizri解：1cos(0)sin(0)ir1cos()sin()ir 由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来复数的

7、模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数。31(cos120sin120 )2ii例6 计算31(cos120sin120 )2ii解1(cos120sin120 )2ii 1(cos270sin270 )(cos120sin120 )2ii1cos(270120 )sin(270120 )12i2(cos150sin150 )i3.i 312()22i三、乘方（棣莫弗定理）在复数三角形式的乘法运算法则12121212Z ZZcos()sin()nnnnr rri中，1212nnrrr取 ，且 ，12ZZZcossin ),nri即（*Zcossin )cossin)()nnnrirninnN则

8、有（*()nnN这是复数三角形式的次幂的运算法则，这个法则叫做棣莫弗定理。 它表明：复数 次幂的模等于这个复数的模的 次幂，它们辐角等于这个复数的辐角的 倍。也就是说，复数的 次幂 ，是把模的 次幂作为幂的模，把辐角的 倍作为幂的辐角。nn*()nNnnnn例7 用棣模弗定理计算：10(1)2 (cossin)44i522(2)2(cossin)1515i2013(3)(3 )22ii10(1)2 (cossin)44i解1055( 2 ) (cossin)22i32(cossin)22i32i522(2)2(cossin)1515i5222 (cossin)33i1332()22i16 16

9、 3 i 2013(3)(3 )22ii20(cos()sin()3(cossin)3322ii2020(cos()sin()3(cossin)3322ii144cos()sin()33232i155(cossin)366i131()322i3166i 44(cossin)3(cossin)3322ii解法二：201(cos()sin()()333ii12020() (cos()sin()333ii 14(cossin)33ii 113()322ii 3166i 2013(3 )22ii22443712( 37 ) ( 12 )(86 )86iiiiii 解 24( 37 ) ( 1 2 )8(86 )iii 例计算22222422( 3)( 7)( 1)( 2)8( 6) 10 51000051000*9cossin )cossin.nnNinin例 已知，求证：（cossin()ni证明左边=（- ）cossin()nin=（）cossinnn 右边例题讲解例题讲解376(cos3sin3 ) (cos2sin2 )10cossin .(cos4sin4 )iiii例求证：(cos9sin9 ) (cos14sin14 )(cos24sin24 )iii证明左边=(cos23sin23 )(cos24sin24 )ii=cos()sin()icossini右边2