040201向量概念线性运算

1、§2.1平面向量的概念及线性运算101.向量的有关概念名称定义备注既有_又有的量；向平面向量是自由向量，向量不能向量量的大小叫做向量的 （或比大小。称)零向量长度为_ 意的的向量；其方向是任记作单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为|a|平行向量方向一或的非零向量零向量与任一向量_或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度_且方向的向量两向量只有相等或/、等 较大小s不能比相反向量长度_且方向的向量零向重的相反向里为零向重减法求a与b的相反向量一b 的和运算叫做a与b的差法则a b= a+ ( b)数乘求实数入与向量a的积的 运算（1）|白=；（2）当0时，后的方向与a

2、的方向;当K0时，后 的方向与a的方向;当入=0时，后头旧尸；(入+ 4a=；Xa+ b)=3 .向量共线定理：a是一个非零向量，若存在一个实数力使得b=包 则向量b与非零向量a共线.1,化简OP QP + MS- MQ的结果为 . . 7 , 一4 .在平行四边形 ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a, AD=b,则BE =2.向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向里和的运算(1)交换律：a + b =.(2)结合律：(a+ b)+ c=.5 .下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线.其中不正确命题的

3、序号是uuu uuu uuu r6 .已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足AP BP CP 0 ,AP=商，则实数入的值为. .一 二t r7 .。是 ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA + OB+OC=0,那么（）A. AO= ODB.AO = 2ODC.AO = 3OD D. 2AO = OD题型一平面向量的概念辨析1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;(2)若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|=|b|,且a与b方向相同，则 a=b;(4)若向量a与向量b平行，则向量a

4、与b的方向相同或相反；-> ,-> -, ， (5)若向量AB与向量CD是共线向量，则 A, B, C, D四点在一条直线上；(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(7)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算题型三平面向量的共线问题2 如图，在 ABC中，D、E设两个非零向量a与b不共分另IJ为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE,-> _ (1)若AB=a+b, BC = 2a+8b, CD = 3(ab),求证：A、B、D 二点共线;、-> -> 、，_ -> ->设 AB = a, AC = b,试用

5、 a, b 表小 AD , AG.1.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.三、解答题、选择题课时规范训练7 .如图，以向量OA = a, OB = b为边作？OADB ,bMbc, CN=CD,用 a、b表示oM、oN、MN. 33给出下列命题，其中错误命题的个数为两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小;后=0 (入为实数)，则入必为零；N科为实数，若后=©,则a与b共线.A. 18 . 2C. 3D. 48.a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,1tb, q(a + b)二向重的终点在同一条直线上?

6、 32.设P是 ABC所在平面内的一点，BC+BA = 2BP,则A. PA + PB = 0B. PC + PA =03.C.PB+PC = 0D.PA+PB + PC = 0已知向量a, b不共线，A . k= 1且c与d同向C. k= 1且c与d同向、填空题c= ka+ b (kC R), d=ab.如果B. k= 1且c与d反向D. k= 1且c与d反向c / d,那么AB =2a+ pb,的值为BC= a+b, CD = a-2b,若 A、4.设a、b是两个不共线向量,B、D三点共线，则实数5.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点，若AC =混则入+6.如图，在 A

7、BC 中，AN =1NC, P 是 32 .BN 上的一点，若 AP=mAB+/AC,则实数m的值为§2.2平面向量的数量积1 .平面向量的数量积已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为 2则数量 叫做a和b的数 量积(或内积)，记作.规定：零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ,两个非零向量a与b平行 的充要条件是.2 .平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积.3 .平面向量数量积的重要性质e a= ae=;(2)非零向量 a, b, a±b?；当a与b同向时，a b =;当 a 与 b 反向时，a

8、b=, a a =, |a|=;(4)cos 0=;(5)|ab|a|b|.4 .平面向量数量积满足的运算律(1)ab=(交换律)；(2)(治)b =(入为实数)；(3)(a+b) c=.5 .平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a=(xi, yi), b=(x2, y2),则 a b=,由此得到(1)若 a=(x, y),则 |a|2=或1a|=.、一 _(2)设 A(xi, yi), B(x2, y2),则 A、B 两点间白距离 |AB|=|AB|=.(3)设两个非零向量 a, b, a= (xi, yi), b=(x2, y2),则 a,b? .两个向量的数量积是一个数量，这个数量的

9、大小与两个向量的长度及其夹 角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的 范围.2.数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间 的结合律，即(a b)c不一定等于a(b c).这是由于(a b)c表示一个与c共线 的向量，而a(b c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.1 .已知向量 a和向量b的夹角为i35°, |a|=2, |b|=3,则向量a和向量b的 数量积a b=.2 .已知a，b,|a|=2,|b|= 3,且3a+ 2b与？ab垂直，则实数 入的值为.3 .已知a= (2,3), b=(-4,7),则a在b方向上的投影为

10、 .4 .设a, b, c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有 . (a b)c (c a)b= 0; |a|一|b|<|a b|;(b c)a- (a c)b不与c垂直；(3a+4b) (3a 4b) = 9|a|2i6|b|2.5.已知向量 a=(2,1), b=(1, k), a (2a-b) = 0,则 k 等于 ()A . 12B. - 6C. 6D. 12题型一平面向量的数量积的运算1 .向量的数量积是一个实数(2)如图，在 ABC 中，ADXAB,1已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足(a c) (bc)=0,则|c|的最大值是(1)若向

11、量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|=|b|=1,则(一3a) (a + b) =.|AD |= 1 ,则 AC AD 等于A . 273B.乎题型二向量的夹角与向量的模(1)已知平面向量 a, 3, |a|=1,3= (2,0), a± (a- 2 3),求 |2a十 日(2)已知三个向量 a、b、c两两所夹的角都为120°, |a|=1, |b|=2, |c|=3,求向量a+b + c与向量a的夹角.题型三平面向量的垂直问题2 已知 |a| = 4, |b| = 3, (2a-3b) (2a+b) = 61,(1)求a与b的夹角0; (2)求|a+b|

12、;(3)若AB = a, BC=b,求 ABC 的面积.已知平面向量a = (V3,131), b= 3 2 .(1)证明：a±b;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使c= a+(t2-3)b,d=- ka+tb,且c±d,试求函数关系式k=f(t).3已知 a= (cos a, sin 力，b=(cos 3, sin 3)(0< a< 华 nt )(1)求证：a+b与ab互相垂直；(2)若ka+ b与a kb的模相等，求3(其中k为非零实数)课时规范训练11 .设向量 a, b满足 |a|=|b|= 1, a b=-",则 |a+2b|等于()A.

13、 12B. 3C. , 5D. 72 .已知向量 a= (1,2), b=(2, 3).若向量 c满足(c+ a) / b, c±(a+ b),则c等于()7 7A. 9' 3B. -7, -7 397 7C. 3' 9D. -7, -7 933.在 ABC 中,a. 2AB=3, AC = 22B-3BC=#0,则 AB AC 等于 （）C.3D.3k为实数，若向量a+b与向量4 .已知a与b为两个不共线的单位向量, kab 垂直，贝U k=. .一 兀5 .已知两个单位向重ei, e2的夹角为三,3右向重 bi=ei 2e2, b2=3ei+4e2,贝U bi b2=6 . a=(2, i), b=(% 3),若a与b的夹角为钝角，则入的取