特殊一元二次方程解法—知识讲解

1、一元二次方程及其解法(一)特殊的一元二次方程的解法一知识讲解(提高)【学习目标】1. 理解一元二次方稈的概念和一元二次方稈根的意义，会把一元二次方稈化为一般形式;2. 掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3. 理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念:通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元 二次方程.要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：(1)整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次 数是2.不满足其

2、屮任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如«a+ta+c-0(tf0),这种形式叫做 一元二次方程的一般形式.其中才是二次项，。是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项.要点诠释：(1) 只有当 0时，方程* “卄卍=0才是一元二次方程；(2) 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏 掉前面的性质符号.3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4. 一元二次方程根的重要结论

3、(1) 若a+b+c=o,则一元二次方程«a+icr+a -0)必有一根x=l；反之也成立，即若x=l 是一元二次方程的一个根，则a.+b+c=0.(2) 若a-b+c二0,则一元二次方程ajt1 +ax+c - 0(« z 0)必有一根x二-1；反之也成立，即若x=-l是一元二次方程一的一个根，则a-b+c二0.(3) 若一元二次方程tfx1有一个根x=0,则c二0；反之也成立，若c二0,则一元二次方程& 4-ax4-c 一 0(tf zo)必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1. 直接开方法解一元二次方程：（1）直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定

4、义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.（2）直接开平方法的理论依据：平方根的定义.（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程” =a，可直接开平方求解.若4a0,则豪=乐；表示为斗賦 五,有两个不等实数根；若1 = 0,则x=o；表示为| =0,有两个相等的实数根；若a 0.则方程无实数根. 形如关于x的一元二次方程（«+»/ =m（d曲3 0），可直接开平方求解，两根是要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数 的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方

5、程的根.2. 因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 将方程右边化为0； 将方程左边分解为两个一次式的积； 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式屮至少有一个 等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方稈两边不能同

6、吋除 以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1.判定下列方程是否关于x的一元二次方程:【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2) x2+ (a-3) x-a (a+l)=o,其中，由于对任何实数q都有20,于是都有+2>0,由此可知(+2h0,所以可以判定: 对任何实数/它都是一个一元二次方程.(2)经整理，得它的一般形式(m2-l) x2+ (2-2m) x+ (m3+1)=0,其中，当mhl且mht时，有m2-10,它是一个一元二次方程；当m二1时方程不存在， 当沪-1时，方程化为4x=0,它们都不是一元二次方程.【总结升华】对于含有参数的一元二

7、次方程，要十分注意二次项系数的収值范围，在作为一元二次方程 进行 研究讨论时，必须确定对参数的限制条件.如在第(2)题，对参数麻的限定条件是m±l.例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当即mh4时，才是一元 二次方程(显然，当m二4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0).又如，当我们说：“关于x的一元二次 方程(a-l)x2+(2a+l)x+a2-l=0”时，实际上就给出了条件“a-lho”,也就是存在一个条件“ahl”.由 于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”.值范围.类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的

8、确定 己知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y (8y-l) +1,求出它各项的系数，并指出参数m的収【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-l)y+m:1-l=0,由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-80,即川工土2无可知它的各项系数分别是a=m2-8 (mh 土 2返)， b=-(3m-l), c=m-l.参数m的取值范围是不等于土 22的一切实数.【总结升华】在含参数的方程屮，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的 问题.举一反三：【变式】关于x的方程+=l的一次项系数是1,则"【答案】原

9、方程化简为x2-ax+l=0,则-a=-l, a二1.类型三、一元二次方程的解(根)已知 m, n 是方程 x2-2x-1 = 0 的两根，且(7m2-14m+a) (3n2-6n-7) =8,则 a 的值等于()a. -5 b. 5 c. -9 d. 9【答案】c；【解析】根据方程根的定义,m, n是方程x2-2x-1 = 0的两根，：m2-2m-l=0, n2-2n-l=0.变形可得：7m2-14m=7, 3n2-6n = 3.将变形后的式子代入已知等式中可得：(7+a) (3-7) =8, 解得a=-9.【总结升华】当看到式子很复杂，别着急，注意与已知条件联系，运用根的定义，注意观察已知

10、等式的 特点，将7m2-14m与36n看作整体，运用整体代入法求解.举一反三：【变式】(1)x=l是用监+7 = 0的根，则a=.(2)已知关于x的一元二次方程(加一 1)/ + 2兀+加2_1 =()有一个根是0,求m的值.【答案】(1)当x二1吋，la+7=0,解得a二&(2)由题意得 2所以丄“所以1尸一1-1 = 0 =±1类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. 解方程(x-3)'=49.【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7 或 x-3二-7.由 x-3=7,得 x=10.由 x-3=-7,得 x=-4.所以原方程的根为x=10或x=

11、-4.【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+ni)=n(n&0)的方程就可看作形如xk 的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就 nj用直接开平方法求出这个方程的根.所以，(x+m)n可成为任何一元二次方程变形的目标.举一反三:【变式】解方程： !(3x+l)7；(2) 9x2-24x+16=11.【答案】解：(3x+1)2=7x -(3x+l)2二573x+l二土虧(注意不要丢解)原方程的解为xl 土虫，x2二土更.33(2)解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=11.*.3x-4=±3原方程的解

12、为也，x2二土1应33类型五、因式分解法解一元二次方程5. 解方程：(x+1)2-2 (x+1) (2-x) + (2-x)2 = 0【答案与解析】设x+l=m, 2-x = n,则原方程可变形为：nr 一 2mn + 斥=0 .i (m-n)" = 0,：m=n,即 x+1 =2-x. x兀。【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐.观察题目结构，可将x+1 看作m,将(2-x)看作n,则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解.举一反三：【变式】方程(x-1) (x+2)=2(x+2)的根是【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解.即(x-1) (x+2)-2 (x+2) =0, (x+2) (x-l)-2=0./.(x+2) (x-3) =0, /.x+2 = 0 或 x3 = 0.xi=-2x2=3.紗6.如果(x2 + y2)(x2 + /-2) = 3,请你求出x2 + /的值.【答案与解析】® x2 + y2 = z ,z(z-2) =3.整理得：z2-2z-3 = 0,(z-3) (z+l)=o.zi = 3, z2=-l.z = x2 + y2 > o ,z = -1(不合题意，舍去)z 3.即f+y2的值