第2讲一元二次方程的解法

1、第2讲一元二次方程的解法1.直接开平方法：如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另 一边是一个非负数，或完全平方式，如方程x2 = p(p > 0)和方程(nx + m1 = p(p>0)就可 以直接开平方法求解。如果方程化成/ = p(p > 0)的形式，那么可得x = ±p如果方程化成(nx + m)2 -二/7(#、0)的形式，那么处+加=±j万，再解两个一元一次方程，即可得到%严鞋_皿血二nn如果方程化成(处+加)2=(°兀+方)2的形式，可以两边同时开平方，将其转化成 nx + m. = ax + b和ivc

2、+ m = (ax + b)两个一元一次方程，解出兀即可。注意：等号左边是-个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。 降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 方法是根据平方根的意义开平方，并j1有正、负两个值。【例1】形如兀$ = /?(/?> 0)(1) 2x2-8 = 0;(2) x2-25 = 0变式练习：解下列方程(1)宀 121(2) x2-64 = 0(3) 9x2-25 = 0(4) 7x2-25 = 0【例2】形如(hx +加)2 = p(p > 0)(1) (x + 3)2 =4(2)(兀+ 2尸-25 = 0(3) 4(1 +兀尸=9(4) 2(

3、1-x)2-6 = 0变式练习：(1) (3x + 2)2=4(2)(兀+ 2尸-25 = 0(3) 40 5)2=16 9/ 一 24 + 16 = 11【例3形如：(处+加)2 =(6/x + /?)2(1) (2x-l)2 =4(x + 3)2(2) 4(x 5)2 =9(2% 3)2(3) 9(x-1)2 = 16(x +2)2 2.配方法：将一元二次方程配成(ox + /?)2=m(m>0)的形式，再利用直接开平方法求解，这 种解一元二次方程的方法叫配方法用配方法解一元二次方程的步骤： 把原方程化为一般形式； 方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

4、 方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 如果右边是非负数，即町进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，贝ij判 定此方程无实数解。如：用配方法解方程3x2-4x-2 = 0 将常数移到方程的右边：3x2-4x = 247 将二次项系数化为1： x2-x = -3347? 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2 -x + (-)2 =- + (-)233337 in 配方：(兀一兰)2二出39 直接开平方得：x- = ±33.2 vio 2 vio x = i,=1 3333配方法的理论依据是完全平方公式a2+2ah +

5、b2= (° ± h)2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同吋加上一次项系 数一半的平方。【例4】用配方法解下列方程(1) y2-6y-6 = 0(2) 2兀？+3兀一1 = 0(3) 3x2-2 = 4x(4) x2 +2fnx-n2 - 0变式练习：用配方法解下列方程(1) x2-4x-5 = 0(2) x2 -4x = 96(3) 2x2 +3x-l =0(4) 3x2 +2x-l = 0(5) 一4，一8尤+1 = 0(6) x2 - 2mx- m2 = 0(m > 0)【例5】试用配方法说明%2-2x4-3的值恒大于0, -2

6、x2+3x-4的值恒小于0变式练习：1.求证:(1) x 4x + 5 n 0 ； (2) 3x 6x + 457；2.已知x、y为实数，求代数式%2 + y2 +2x-4y + 7的最小值。3 公式法：将一元二次方程cix2 +bx + c = o(ao)进行配方，当沪-4ac20时的根为 b + lb2 4cic兀=该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法2a称为求根公式法，简称公式法.说明:(1) 一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 + bx + c=0 (aho)；(2) 由求根公式可知，一元二次方程的根是宙系数a、b、c的值

7、决定的；(3) 应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2. 一元二次方程根的判别式b2-4ac叫做一元二次方程ax2 +bx + c = o(ao)的根的判别式，通常用“”來表示，一 元二次方程的根的情况与判别式的关系：(1) 当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；(2) 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 当b2-4ac<0时，方程没有实数根.【例6】用公式解法解下列方程(1) x2-2x-8 = q(2) 4y = l-y22(3) 3)+1 = 2屈变式练习:(1) 2x2 一 5x + l = 0(2) -4

8、x2-8x = -1(3) v2x2-v3x-v2=0(4) (x-3xx + 2)= 6(5)+10 = 0 ；(6)尸+2 = 2尽;总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通 常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为胳数，求出的根要化为最简形式;(2) 用求根公式法解方程按步骤进行.4. 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的 根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法方程特点：左边可以分解

9、为两个一次因式的积，右边为“0”, 探方程形式：如(or + "2)2 =(加 + 兄)2, (x + dxx + b) = (x + dxx + c)， +2ax + ei2 =0分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式，十字相乘法【例7将下列各式进行因式分解(2) -弘3 + 6兀»2_2兀3 (提公因式)(3) (m + n)2 -4(m-n)2 (平方差)(4) a2 +6a + 9 (完全平方式)(5) -12厂+ +36才(完全平方式)(6) (a + b)2+5(a+b)+4 (十字相乘法)(1)心_169，(平方差)(7) p? _ = pq + 2q2

10、 (十字相乘法)【例8】用因式分解法解下列一元二次方程(1) x2 =2%(2) (x + 1)2-(2x-3)2 =0(3) x2 6x 4-8 = 0(4) 4(兀+ 3尸=25(兀一2尸(5) (1 + v2)x2 -(l-v2)x = 0(6) (2-3x) + (3x-2)2 =0变式练习：1. 2x（x- 3）= 5（x-3）的根为（）1).2方程x2 + x - 6 = 0的解为（）a.兀=3，x = 2d. xl =2, x = 23.已知2x2-3xy-2/ =0,则二丄的值为x y4. 若(4x + y)2 + 3(4x + y) - 4 = 0 ,则 4x+y 的值为。5

11、. 解下列方程(1)(2x + l)2 -25 = 0(2) 4(x-3)2 +x(x-3)= 0(3) 5m2 - 17m +14=0(4) (x + 1)2-3(x + 1) + 2 = 0(5)3x + (9d 1)兀3q 0(6) (x?+% + 1)(兀2+兀+12)= 42(7) 处？ 一(a+ /?)兀+ /? = 0(。工 0)5. 换元法:把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。 一般它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方 程屮有广泛的应用。2 2例9用换元法解方程丄5(x?- = 4时，令y,于是原

12、方程变为()x-3 对乳一3a. y2-5y+4=0 b. y2-5y-4=0 c. y 2-4y5=0 d. y 2 +4y-5=0变式练习：i._5（x；3） = 4 时y ,（）x-3 jcx-a. 5y 2 -4y+l二0b. 5y 2 -4yt=0c-5y 2 -4yt=0d-5y 2 -4yt=0乂 $ 13x 12用换元法解分式d-甲一+ 2 = 0,并设y二，那么原方程化为（）x- xa. b_3y + 2 = 0 b. y2+3y-2 = 0 c. /-2y + 3 = 0 d. y2 + 2y-3 = 03. 用换元法解方程x2+- + x-丄=4,设兀-丄=丿，则原方程变

13、形为（）xxa. y2 + y = 4 b. y2 + y = 2 c. y2 + y = 6 d. y2 - y = 4（ 1、2(才、4.用换元法解方程.v（x丿3%-（x）a. y+3j+2=0b. #-3广2二0二-2时,如果设那么原方程町化为xc. b+3广2=0d. /-3尸2二05解方程討+彗弓时'x2-则原方程化成整式方程是6. 若（4x + y） 4- 3（4x + y） - 4 = 0 ,则 4x+y 的值为【例10解方程(x-1) 2-5 (x1) +4二0时，我们可以将x1看成一个整体，设x - 1二y,则原方程可化为y2 - 5y+4=0，解得yi=l, y2

14、=4.当y=l时，即x1=1,解得x=2； 当y二4时，即xl二4,解得x二5,所以原方程的解为：xf2, x2=5.则利用这种方法求得方程(2x4-5) 2-4 (2x+5) +3二0的解为()a、xi=l, x2=3b> xf - 2, x2=3c xf - 3, x2= - 1d. xf - l x2= - 2变式练习：1阅读材料：为解方程(x2i)25(x21) +4=0,我们可以将x'_看作_个整体，然后设x?_l=y，那么原方程可化为y2-5y+4 = 0,解得旳=1, y2=4.八''当 y=l 时，x2-l = l, ax2=2, /.x=

15、7;v2：当y=4时，+1=4,扌=5,x = ±7j,故慷方程的解为x1=v2, x2=_近,&=石， x«=-v5 .解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，利用法达到了解方程的冃的，体现了转化的数学思想：请利用以上知识解方程x1x26 = 0.2.解方程(1)45(右)+ 6 = 0(2)3-兀_5 一 4(2 + x)2 + x3 x(3) ,+ 丄一3课后练习:一. 填空1. 已知关于兀的方程（m2 -m-2）x2 +mr + l = 0是一元二次方程，那么m的取值范围为 o2. 已知关于兀的方程兀2 +加+。= 0的一个根是 d（qho）,贝ul-b =o3. （2010-莆山）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有兀人参加这次聚会，则列出方程是。a°ci b4. a - 5ab + 6b = 0,则一+二.二. 解方程4x2-0.3 = 0©x2-4x-221 = 02兀2 + 4兀一1 = 0三. 解答题教材或资料会岀现这样的题目：把方程丄x2-x