线性代数试题及答案2

1、一 . 单项选择题（每小题3 分，本题共15 分）a1a2a3a1a2a31. 如果 b1b2b3m ，则2b12b22b3 =().c1c2c33c13c23c3A. 6m ；B.6m ；C. 2333 m ；D.2333 m 。2. 设 A、 B 是 m n 矩 阵 ， 则 ()成立.A. R(A B)R( A)；B.R(A B) R(B) ；C. R(A B)R( A)R( B)；D.R(A B)R( A)R(B) 。3. 设 A 是 s n 矩 阵 ， 则 齐 次 线 性 方 程 组 Ax0有非零解的充分必要条件是().A. A的行向量组线性无关B.A的列向量组线性无关C. A的行向量

2、组线性相关D. A的列向量组线性相关ab35235，则 a, b 分别等于（）4. 设1a b2142A.1, 2B.1,3 C.3,15.若 x1 是方程 AXB 的解， x2 是方程 AX任意常数） .A. xcxB.cxcxC.1212二 . 填空题（每小题3 分，共15 分）1. 设 A, B 均为 n 阶方阵，且Aa, Bb ，则112.1.0=13.若对任意的 3维列向量 x( x1 , x2 , x3 )T , Ax144设 a0, b2, c 与 a 正交，且 b2 35. 设向量组 1 (1, 0,0)T , 2 ( 1,3, 0)T , 3D.6, 2O 的解，则（）是方程

3、 AXB 的解（ c 为cx1cx2D.cx1x2(2A)BT =.x1x2，则 A=2 x1x3ac 则=， c =(1,2, 1)T 线性关.三 . 计算行列式（ 10 分）214131211232506213451,a24122 , a3 , a4 的秩和一个最大无关四 . （ 10 分）设 a1, a3, a4. 求向量组 a1, a11232231组 .130120五.（10 分）已知矩阵满足XAB ，其中 A261 ， B，求 X .013011六 . （8 分）设方阵A 满足 A2A2E0, 证明 A 可逆，并求 A 的逆矩阵 .七 .(8分）已知向量组a1 , a2 , a3

4、线性无关，b12a1a2 ， b23a2a3 ， b3a14a3 ，证明向量组b1, b2 ,b3 线性无关 .110八 . （ 12 分）求矩阵A430 的特征值和对应于特征值的所有特征向量。102x1x22x31九. （12 分）取何值时，下列非齐次线性方程组x1x2x325 x15x24 x31(1)无解，（ 2）有唯一解，（ 3）有无穷多解？并在有无穷多解时写出通解。一、填空题（共 5 小题，每题3 分，共计 15分）1. 2n ab ;2.113. A110; 4 .2 , c ( 2,2, 1)T ; 5. 无关01201二、选择题 （共5 小题，每题3 分，共计 15分1. (B

5、);2. (D) ;3. (D);4(C);5. (A).三、（10 分）214 1cc214 0解：31 2 14231 2 2123 2123 0506 2506 2rr214 04231 2 2123 0214 0rr214 041312 20123 0000 0四 （10 分）解： A10，所以 A 可逆，有XBA 1，3 分3 分4 分4 分A153321121053311201113 分XBA012112131420五 . （10 分）13451345解：( 1, 2, 314120153, 4 )1230222 分122231081111134513451340153015301

6、53011100640016 分1081 11 100330002向量组的秩为 4，1,2 ,3 , 4 为最大无关组。2 分六、 证明：恒等变形A2A2E ， A(A E)2E ，3 分A1 (A E) E，所以 A可逆，且 A 11 ( AE) 。3 分22七、证法一 ：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式201b1, b , b3a , a , a130,记B AK，3分2123014设 BX0，以 BAK 代入得A( Kx) 0 ，因为矩阵 A 的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知Kx0 ，3 分又因 K25 0 ，知方程 Kx 0只有零解 x0。所以矩阵 B 的列向量组 b

7、1 , b2, b3 线性无关。4 分201证法二： 把已知条件合写成b1 ,b2 , b3a1, a2 ,a3130,记BAK，3014分因K250 ，知 K 可逆， 根据上章矩阵性质4知R AR B3 分因矩阵 A 的列向量组线性无关，根据定理4知 R A3，从而 R B3 ，再由定理 4 知矩阵 B 的三个列向量组 b1 , b2, b3线性无关。4 分八（12 分）110解:A的特征多项式为AE430(2)(1 )2102所以 A的特征值为 1 2,231.4 分310100当 12时,解方程 ( A 2E) x0.由 A2E4100101000000得基础解系p 1 0,1所以 k p1( k0) 是对应于12的全部特征向量 .4 分210101当 23 1.时,解方程 ( A1E)x0.由A E420012,1010001得基础解系p 22,1所以 k p2 ( k0)是对应于231的全部特征 向量 。4 分九（12 分）121121解： ( Ab)112r2r10123r35r1554105566121r35r2012300549（1） 当4时， R(A)2, R( Ab）=3 ，方程组无解；5（ 2）当4 , 且1时， R( A)