考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结

1、考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。第一节导数1基本概念（ 1）定义dydf ( x)|x x0yf ( x0x) f (x0 )limf ( x)f (x0 )|x x0(或) f '( x0 ) limlimxxx0dxdxx 0 xx 0x 0注：可导必连续，连续不一定可导.注 : 分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（ 2）左、右导数f ' (x0 ) limf ( x0x) f ( x0

2、)lim f ( x)f ( x0 ) .x 0xx x0xx0f ' (x0 ) limf (x0x) f ( x0 )lim f ( x)f ( x0 ) .x 0xx x0xx0f '(x0 ) 存在f ' ( x0 )f ' (x0 ) .（ 3）导数的几何应用曲线 yf (x) 在点 ( x, f ( x ) 处的切线方程： yf (x)f '(x )( xx ) .000001法线方程：yf ( x0 )(xx0 ) .f '( x0 )2基本公式（1）C' 0（ 2） (xa ) 'axa 1（ 3） (a x )&

3、#39;ax ln a （特例 (ex )'ex ）（4） (log a x)'1(a 0, a 1)x ln a（ 5） (sin x)'cos x（ 6） (cos x)'sin x（ 7） (tan x)'sec2 x（ 8） (cot x)'csc2 x（ 9） (sec x)'secx tan x（10） (csc x)'cscx cot x（ 11） (arcsin x)'11x2（ 12） (arccos x)'11 x2（ 13） (arctan x)'111 x（ 14） (arccot

4、x)'21 x2（ 15 ln( xx2a2 )'x21a23函数的求导法则（ 1）四则运算的求导法则(u v)' u ' v '(uv)' u ' v uv '( u ) 'u ' v uv 'vv2（ 2）复合函数求导法则- 链式法则设 yf (u), u( x) ，则 y f (x) 的导数为： f ( ( x)' f '( ( x) '( x) .sin2 1例 5求函数 yex 的导数 .（ 3）反函数的求导法则设 yf (x) 的反函数为xg ( y) ，两者均可导，且f

5、 '( x)0 ，则11g '( y).f '(x)f '( g( y)（ 4）隐函数求导'设函数 yf ( x) 由方程 F ( x, y)0所确定，求y ' 的方法有两种：直接求导法和公式法y 'Fx .Fy'（ 5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数4高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（ 1） (a x )( n)ax ln n a (a0)特别地， (ex )(n)ex（ 2） (sin kx) (n)k n sin(kxn)2（ 3） (cos kx)( n)kncos(kxn)2（ 4） ln

6、(1 x)(n )(1)n 1 ( n1)!(1x)n（ 5） ( xk )( n)k (k1)(k2)(kn1)xk nn（ 6）莱布尼茨公式： (uv)( n)Cnk u( n k) v(k ) ，其中 u (0)u,v(0)vk0第二节微分1定义背景：函数的增量yf ( xx)f ( x) .定义：如果函数的增量y 可表示为yA xo( x) ，其中 A 是与x 无关的常数，则称函数yf ( x) 在点 x0 可微，并且称A x 为x 的微分，记作dy ，则 dyA x .注：ydy,xdx2可导与可微的关系一元函数f ( x) 在点 x0 可微，微分为dyA x函数 f ( x) 在 x0 可导，且Af '(x0 ) .3微分的几何意义4微分的计算（ 1）基本微分公式 dy f '( x) dx .（ 2）微分运算法则四则运算法则duvvdu udvuvdu udvd (u v) du dvd( v)v2一阶微分形式不变若 u 为自变量，