考研数学真题答案(数一)

1、20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题 :1 8 小题，每小题4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .1、设函数f ( x)在连续，其 2 阶导函数f (x)的图形如下图所示，则曲线y f ( x)的（- ,+）拐点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】 (C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f (x) 的图形可知，曲线 yf ( x) 存在两个拐点，故选(C).2、设 y1e2xx

2、1ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程y ayby cex 的一个特解，23则（）（ A） a3, b1,c1.（ B） a3,b2, c1.（ C） a3,b2, c1.（ D） a3, b2, c 1.【答案】 (A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】【详解】1 e2 x ,1 ex为齐次方程的解，所以2、 1 为特征方程2 +ab 0 的根，从而23a123,b1 2 2, 再将特解 yxex 代入方程 y 3y2 ycex 得： c 1.3、若级数an 条件收敛，则 x3 与 x3依次为幂级数nan x 1n 的：n 1n 1（ A）收敛点，收敛点（ B）收敛点，发散点（

3、 C）发散点，收敛点（ D）发散点，发散点【答案】 (B)【考点】级数的敛散性【难易度】【详解】因为an 条 件 收 敛 ， 故 x2为幂级数anx 1 n 的 条 件 收 敛 点 ， 进 而 得n 1n 1anxn的收敛半径为 1，收敛区间为0,21，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故n 1nanx1n0,2 ，因而 x3与 x3依次为幂级数n的收敛区间仍为nan x 1 的收敛n 1n 1点、发散点 .4、设 D 是第一象限中曲线2xy1,4xy 1与直线 yx, y3x 围成的平面区域， 函数 f ( x, y)在 D 上连续，则( ,)f x y dxdyD1（ A）2dsin 2

4、142sin 21（ C）3dsin 2142sin 21f ( r cos, r sin)rdr（ B）2 dsin 2142sin 21f ( r cos, r sin)dr（ D）3 dsin 2142sin 2f (r cos , r sin)rdrf (r cos , r sin)dr【答案】 (D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】【详解】由 y x 得，4；由 y3x 得，3由 2xy1得， 2r 2 cossin1, r1sin 2由 4xy1得， 4r 2 cossin1, r12sin 21所以f ( x, y)dxdy3dsin 2f (r cos , r sin )

5、rdr1D42sin 211115、设矩阵 A12a， bd ，若集合1,2 ，则线性方程组Ax b 有无穷多个14a2d 2解的充分必要条件为（ A） a, d（ B） a, d（ C） a, d（ D） a, d【答案】 (D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】11111111【详解】A, b12ad01a 1d114a2d 20 0 a 1 a 2d 1 d 2Ax b 有无穷多解R( A)R( A,b)3a 1或 a2 且 d1 或 d 26、设二次型f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换 xPy 下的标准形为2y12y22y32 ，其中P (e1 , e2 , e3 )

6、 ，若 Q( e1 ,e3 ,e2 ) ，则 f ( x1 , x2 , x3) 在正交变换 xQy 下的标准形为（ A） 2y12y22y32（ B） 2y12y22y32（ C） 2y12y22y32（ D） 2y12y22y32【答案】 (A)【考点】二次型【难易度】200【详解】由 xPy ，故 fxT AxyT (PT AP) y 2 y12y22y32 且： PT AP 010001100200Q P 001PC ,QT AQ CT (PT AP)C010010001所以 fxT AxyT (QT AA) y2y12y22y32 ，故选 (A)7、若 A, B 为任意两个随机事件，

7、则（ A） P( AB)P( A)P(B)（ B） P( AB) P( A)P(B)（ C） P(AB)P( A) P(B)（ D） P( AB)P( A) P(B)22【答案】 (C)【考点】【难易度】【详解】P(A)P(AB), P(B)P(AB)P( A)P(B)2P( AB)P(AB)P(A)P(B)故选（ C）28、设随机变量X, Y 不相关，且 EX2, EY 1, DX3,则E XX Y 2（A）-3（B）3（C） -5（D）5【答案】 (D)【考点】【难易度】【详解】EXXY2E X 2XY 2XEX2EXY 2EXDX E2X EXEY 2EX 5二、填空题：9 14 小题

8、, 每小题4 分 , 共 24 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 .ln cos x9、 limx2x 01【答案】2【考点】极限的计算【难易度】ln cosxln(1cos x 1)cos x 11 x21limlim2【详解】 lim2lim222x0xx0xx 0xx 0x22 (sin xx )dx10、 -1cos x22【答案】4【考点】积分的计算【难易度】sin x2【详解】2 (x )dx22 xdx-1cosx04211、若函数 zz(x, y )由方程z+cos2 确定，则 dz (0,1).exyz xx【答案】【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令(,)zcos2，

9、则，Fx y zexyzxxFxyz 1sin xFy xz Fzxy又当 x0, y1时， z0 ，所以zFx1，zFy0，因而 dz (0,1)dxx (0,1)Fzy (0,1)Fz12、设是由平面 xyz1与三个坐标平面所围成的空间区域，则( x2 y3z)dxdydz【答案】14【考点】三重积分的计算【难易度】【详解】 由轮换对称性，得()òòò1dxdy0òòòzdzx + 2y + 3z dxdydz = 6zdx dydz = 6ò òòWWDz其中 Dz 为平面 z= z截空间区域 W所

10、得的截面，其面积为212(1- z).所以òòòòòò11213210 z×(1- z)dz =30z- 2z + z dz =(x + 2y + 3z)dxdydz = 6zdxdydz = 6ò2ò)4WW(2002-1202002213、 n 阶行列式 00-12【答案】 2n 12【考点】行列式的计算【难易度】【详解】 按第一行展开得= 2n+1 - 214、设二维随机变量( X ,Y ) 服从正态分布N (1,0,1,1,0) ，则 P( XYY0).【答案】12【考点】【难易度】【详解】( X

11、 ,Y) N (1,0,1,1,0)X N (1,1),Y N (0,1),且X , Y独立，X 1 N(0,1)， P XY Y0P(X 1)Y 0PX10,Y0 PX10，Y01111122222三、解答题：15 23 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10 分）设函数f (x)xa ln(1x)bx sin x ， g( x)kx3 ，若 f ( x) 与 g ( x) 在 x0 是等价无穷小，求 a ， b ， k 值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】 f (x) xaln(1 x)b

12、x sin xxx2x3x3x3x3a x3bx x23!1af ( x)与g( x)1+a0a b0xab x2a x3x323kx3 是等价无穷小a11b2ak3k21316、（本题满分10 分）设函数在 f (x) 定义域 I 上的导数大于零， 若对任意的 x0I ，曲线 yf ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ) 处的切线与直线 xx0 及 x 轴所围成的区域的面积为4，且 f (0) 2 ，求 f (x) 的表达式.【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：xx0 处的切线方程为l ： yf ( x0 )( xx0 )f ( x0 )l 与 x 轴的交点为： y 0时， x

13、 x0f ( x0 ) ，则 ABf ( x0 )xx0 ，f ( x0 )f (x0 )因 此 ，11f ( x0 ).即满足微分方程：y1S2 ABf (x0 )2f ( x0 ) f (x0 )4y2，解得：81 1 x c .y8又因 y(0)218.，所以 c，故 y24x17、（本题满分10 分）已知函数 f (x, y)x y xy ，曲线 C : x2y2xy 3 ，求 f ( x, y) 在曲线 C 上的最大方向导数 .【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故gradf ( x, y)1y,1

14、 x故 f ( x, y) 在曲线 C 上的最大方向导数为1y 2(1x)2 ，其中 x, y 满足 x 2y2xy 3 ，即就求函数 z(1y) 2(1x) 2 在约束条件x2y 2xy30 下的最值 .构造拉格朗日函数F ( x, y,)(1 y) 2(1x) 2( x2y 2xy 3)F2(1x)2xy0x令F2(1y)2yx0可得 (1,1), (1, 1) , (2,2), (1,2)yFx 2y 2xy30其中 z(1,1)4, z(1,1)0, z(2, 1) 9z(1,2)综上根据题意可知f ( x, y) 在曲线 C 上的最大方向导数为3 .18、（本题满分10 分）( )设

15、函数 u( x), v(x) 可导，利用导数定义证明 u(x)v( x)'= u '( x)v( x)u( x)v(x)'( )设函数 u1 ( x), u2 (x).un ( x) 可导， f ( x)u1( x)u2( x).un (x), 写出 f ( x) 的求导公式 .【考点】导数定义【难易度】【详解】'u xx v xx u x v(x)u x v xlimxx0limu xx u(x) v x x u x v(x x) v( x)0xxu'x v( x) u x v' ( x)'f ' (x) u1 (x) u2 (

16、x) un ( x)u1''(x) u2 (x) un (x) u1( x) u2 ( x) un ( x)u1''(x) u2 ( x) un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 (x) un ( x)u1' (x) u2 ( x) un ( x) u1 ( x) u2' ( x) un (x)u1(x) u2 ( x) un' ( x)19、（本题满分 10 分）已知曲线 L 的方程为z2x2y2 , 起点为 A(0,2,0) ，终点为 B(0,2,0) ，计算曲线积zx,分 I( y z)dx ( z2x2y)dy (x

17、2y2 )dzL【考点】曲线积分的计算【难易度】xcos ,【详解】曲线 L 的参数方程为y2 sin, 从到zcos ,22I( y z)dx ( z2x2y)dy (x2y 2 )dzL2(2 sincos )sin2 sin2cos22sin2)sin d(cos222sin21sin2sinsin3d2222 sin2d222 sin2d22 12202 2220、（本题满分 11 分）设向量组1, 2, 3是 3 维向量空间3的一个基，12 1 2k 3 ， 22 2 ，31( k1) 3。（）证明向量组1 ,2 ,3 是3 的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量在基1,2 ,

18、3 与基1 ,2 ,3 下的坐标相同，并求出所有的。【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】201【详解】（） ( 1,2 ,3 )(1,2, 3)0202k0k12012102040 ，因为2k12k0 k 12k所以1 ,2 ,3 线性无关，1 ,2 ,3 是3 的一个基。201（）设 P020， P为从基1,2,3到基1 ,2,3 的过渡矩阵，又设在基2k0k11, 2, 3下的坐标为x( x1 , x2 , x3 )T ，则在基1,2 ,3 下的坐标为 P 1 x ，由 xP 1x ，得 Pxx ，即 (PE) x010111由 P E0110 ，并解得 xc 0 , c 为任意常数。0k 0 ，得 k2k02kk1k从而c 1c 3, c 为任意常数。21、（本题满分 11 分）02-31-20设矩阵 A-133相似于矩阵 B 0b0.1-2a031（）求 a,b 的值 .（）求可逆矩阵P ，使得 P 1AP为对角阵 .【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】023120【详解】由 A133相似于 B0b012a0310 3a1b1023120则330b, 解得 a 4,b 51012a03123fA ( ) | E A | 133(1)2 (5) 0124123123当 121,( E A)12300012300023特征向量11 , 2