(浙江专版)高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5

1、1 2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前n项和 预习课本 P5558，思考并完成以下问题 _ 公比是1的等比数列的前n项和如何计算？ (2) 能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前 n项和? (3) 能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前 n项和? 等比数列前n项和的性质有哪些？ 新知初探 1 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a与公比q 首项a1,末项an与公比q 公式 na1 q= 1 , S = a1 1 一 qn 彳 qMi 1 q na1 q= 1 , Si = a1 anq 彳 qMi 1 q 点睛在应用公式求和时，应注意到 $= a1 q 的使用条件为qM 1

2、,而当q= 1 1 q 时应按常数列求和，即 S= n a1. 2等比数列前n项和的性质 s偶 _ a. (1) 等比数列an中，若项数为 2n,则忑=q；若项数为 2n+1,则一 =q. S奇 S禺 (2) 若等比数列an的前 n项和为 S,贝y S, Sn_S, 3 &成等比数列(其中 S, & Sn , S3n S2n均不为 0) (3) 若一个非常数列an的前n项和Sn= Aq_A(AM0, qM0, n N)，则数列an为等 比数列，即Sn= Aqn_ A(AM 0, qM 0, qM 1, n N*)?数列an为等比数列. 小试身手 1.判断下列命题是否正确.(正确

3、的打“V”，错误的打“ x”) 课前自主学习站穗才從楼2 n * 若某数列的前n项和公式为Sn= aq + a（az0, q0且qz 1, n N），则此数列一 定是等比数列（ ） 解析：（1）错误.在求等比数列前 n项和时，首先应看公比 接套用，否则应讨论求和. 正确若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前 n项和为S =na. a1 a1 n a1 $= 1q-1qq (qz0 且qz 1)，右令 a=1q, 则和式可变形为 n Si a aq. 答案：X vV 2设等比数列 an的前n项和为 Sn,已知a1 = 2, a2 4,那么S。等于（ )A. 210+ 2 B .

4、 29 2 C. 210 2 D . 211 2 10 2 1 2 1 2 3.等比数列an中，公比q= 2, S5= 44，则a1的值为（ ） B. 4 C. 2 a1 1 2 解析：选 A 由 S= 二 2 = 44, 得 a1= 4. S 4.设等比数列an的公比q= 2,前n项和为S,则一等于（ ） A. 2 B . 4 （1）求等比数列an的前n项和时可直接套用公式 . n Sn= a1 1 q 来求（ 首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n项和为 S= na( ) q是否为 1,若qz 1,可直 （3）正确.根据等比数列前 n项和公式 a1 S = n 1 q 1q （

5、qzo且qz 1）变形为: 解析：选 D 等比数列的公比 q = 4 4 - - 2 2 = 2 1 a a - - a a 2，所以前 10 项和 ai Sio= 10 1 q i - q =211 2,选 D. A. 4 3 15 17 C. D. 2 2 解析：选 C S a1 1 q4 1 1 q4 15 1 q X 1 2 a2 ag q 4 谍堂讲综设计，举一能轴类题 等比数列的前n项和公式 的基本运算 典例在等比数列an中，公比为q,前n项和为 S. 1 63 + ai= 8, an= 4, S = 4，求 n; 7 63 S3= 2, $= 2，求 an 及 S. (2) 法一

6、：由S6M2S知q1,由题意得 a1 1 - q3 = 7 1-q= 2, a1 1 - q6 63 1-q= 7 十，得 1 + q3 = 9, q3= 8，即 q= 2. 1 n-1 1、，“ n-1 n-2 代入得 a1= 2，二 an= ag = = 2 , n a1 1 q n-1 1 Si= = 2 . 1 - q 2 3 3 3 法：由 S3= a1 + a2+ a3, So= S3+ a4 + a5 + a6= S3+ q (a1 + a2+ a3)= S3+ q S3= (1 + q ) S3. Og 1 + q = = 9,. q = 8，即 q= 2. S3 在等比数列a

7、n的五个量a1, q, an, n, S中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论 间的联系不明显时，均可以用 a1与q表示an与S,从而列方程组求解，在解方程组时经常 用到两式相除达到 1 n-1 1 n-1 n-2 代入得 a1= 2，an= ag = 3x2 = 2 , (1)显然 1,由 1 8 - 4q 1 - q 63 1 - q=仓又 an= a1qn-1，即 8X n-1 1 4，二 n= 6. S= a1 n 1-q 1-q =2n-1 5 整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.6 活学活用 已知 a6 a4= 24, a3 a5= 64,求 5 3 c .

8、aiq aiq = 24, 解：法一：由题意，得 2 4 aiq aiq = 64, 十，得q2 1 = 3,负值舍去, 2 q = 4,A q= 2 或 q= 2. 当q = 2 时，代入得ai = 1. 典例 等比数列an的前n项和S= 48,前 2n项和 &= 60,则前 化简得 aiq3 q2 1 3 |小 aiq = 8, =24, 1 q8 iq =255. 7 当q = 2 时，代入得ai = 1. r . 2 a6 当 a4= 8 时，T a6 a4= 24, a6= 32, q = = 4, a4 q= 2. 当 a4= 8 时，a6 a4= 24, a6= 16.

9、2 a6 - q = = 2，无解.故 q= 2. a4 项和S3n = ai S8 =- 1 q8 iq 255 综上知S8= 255 或 255 可. 法二：由等比数列的性质得 2 a3 a5= a4 = 64,. a4= 8. 当q = 2 时，ai a4 ai q3= 1, S8 =_ 1 q8 i q =255. 当q= 2 时, a4 ai = 3= 1, q ai 1 q8 1 q = 255 3 综上S8= 255 或晋. 题型二 等比数列的前n项和的性质 n 8 ai 1 - q =48, 1-q ， 2n ai 1 - q =60 i-q Sn , S2n- Sn, Sen

10、- & 成等比数列，得(& - S) 2 = Sn ( & Sn)，即(60 48) =48( S3n 60) ? S3n = 63. 答案63 OG3O - 运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件否则会出现失误如 Sn, Sn- S, Sn- S2n成等比数列的前提是 S, Sn Sn, %- $n均不为0. 活学活用 SB S9 1. 设等比数列an的前n项和为S,若 =3，贝y -=( ) 解析：选 B 由等比数列的性质：S3, S6- S, S9- S仍成等比数列，于是，由 S6= 3S, S9 7 可推出 S S6 = 4S3, S9 = 7S3

11、,. g = 3.故选 B. 2个项数为偶数的等比数列 &，全部各项之和为偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积 为 64,求数列的通项公式. 解：设数列an的首项为ai,公比为q,所有奇数项、偶数项之和分别记作 S奇, S偶, 由题意可知， S奇+ $偶=4S偶,即S奇=3S偶. S禺 1 因为数列an的项数为偶数，所以有 q=;. n 1 q = 4, 所以S3n= ai q =64， 3n i q q ai 1 - (qn)3 1 =64X 1 - 64 = 63. 解 法一：设公比为 q，由已知易知 法二：由 n 9 & 3 1 又因为ai aiq aiq2 = 64,所

12、以al q3= 64,即ai = 12,故所求通项公式为 an= 12x 3 n-1翔型三 等比数列及其前n项和的综合应用 10 所以 q= 1，而数列anan+1也为等比数列, 首项 a1 a2= 8,公比 2 1 q = 4, 所以 a1a2 + a2as+ anan+ 1 1 4n 32 = 3(1 1-4 4 n). (2)/ an= S S-1 1 n 1 =(1) an n ( 1) an1 + n 1 1 尹(nA2), 1 n n 1 an = ( 一 1) an ( 一 1) an1 + n. 1 当n为偶数时，an 1 =歹, 1 当n为奇数时，2an+ an1=尹 t 丄

13、 1 1 当 n= 4 时，a3= 4= 16. 根据以上an的关系式及递推式可求得. 1 1 1 a1= 1, a3 =尹 a5= 尹 1 a7= 2, 1 a2= 2, 2 已知an是等比数列，a2= 2, a5 =寸，则 a1a2+ a2a3 + -+ anan+1 =( 典 A. 16(1 4n) B . 16(1 2n) 32 , C.R14 ) D.#(1 2n) n 1 * 设S为数列an的前n项和，S= ( 1) an尹 n N,则 a3 = _ ; Si + S2 + Soo= _ . 3 3 1 解析由a5 = a2q，得q =云， 1 11 1 1 i i i i = 2

14、 + 于+ 2 2+ 牙+ 2100 1 i 1 答案(1)C (2)163 尹1 求解数列综合问题的步骤 (1) 分析题设条件. (2) 分清是an与an+1的关系，还是 an与S的关系. (3) 转化为等差数列或等比数列，特别注意 an= S Si(n2, n为正整数)在an与S 的关系中的应用. (4) 整理求解.a a1 = 2, a4 a3= a6 一 a5= 1 2s， -S + S2 + + Sioo= (a2 ai) + (a4 a3)+ ( aioo a99) 2+ 22+ 1 23 1 + 2TO0 12 ai + a2 = 4, ai = 1, 解：(1)由题意得 则 a

15、2= 2ai+1, a2= 3. 又当 n2 时，由 an+1 an= (2 S+ 1) (2S1+ 1) = 2an，得 an+1= 3an, 所以数列an的通项公式为an= 3n 1, n N*. n 1 * (2)设 bn = |3 n 2| , n N，则 b1= 2, b2= 1. 当 n3 时，由于 31n+2,故 bn= 31 n 2, n3. 设数列 bn的前n项和为Tn,贝U T = 2, T2= 3, r 亠 9 1 3 2 n+ 7 n 2 3 n2 5n+11 当n3时，Tn= 3+ = ，因为当n= 2 1 3 2 2 3n n2 5n+ 11 时，也符合Tn= .

16、2, n= 1, 所以 Tn= 3n n2 5n+ 11 1. 设an是公比为q的等比数列，S是它的前n项和，若 S是等差数列，则q等于( ) A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D . 1 解析：选 A 因为S S1 = an,又Sn是等差数列，所以an为定值，即数列an为常数 列，所以q= = 1. an 1 2. 已知数列an是公比为 3 的等比数列，其前n项和S = 3n + k(n N)，则实数k为( ) A. 0 B . 1 C. 1 D . 2 解析：选 C 由数列an的前n项和 S= 3n+ k(n N), 当 n = 1 时，a1= S = 3 + k； 当n2时， an=

17、 S Si1 = 3 + k一 (3 + k) n 1 =2X3 . 因为数列an是公比为 3 的等比数列，所以 a1 = 2X31一 1= 3 + k,解得k = 1. 13 3.已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10 项和等于( )A. 31 B . 33 C. 35 D . 37 14 Sio S5 5 解析：选 B 根据等比数列性质得 一 = q , 5 5 S 4.已知等比数列an的前n项和为S, ai+ a3=-,且a?+ a4=-，则一=( ) 2 4 an n 1 n “ A. 4 B . 4 1 C. 2n 1 D . 2n 1 解析：选 D 设等比数列

18、an的公比为q, 5.等比数列an的前n项和为Sn, S5= 2, So= 6，贝y a16+如+ a18+ a19+比。等于( ) A. 8 B . 12 C. 16 D. 24 解析：选 C 设等比数列an的公比为q,因为S2n S= qnSn，所以Sw S5= q5S5,所以 5 5 15 15 15 15 15 15z 6 2 = 2q，所以 q = 2，所以 a16+ a17 + a18+ a19 + 比。=ag + a2q + a3q + a4q + a5q = q (a 15 3 + a2 + a3 + a4 + a5)= q S5= 2 X 2= 16. 6.等比数列an共有

19、2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍，则公比 q = 解析：设an的公比为q,则奇数项也构成等比数列，其公比为 q2,首项为a, 偶数项之和与奇数项之和分别为 S偶，S奇， 由题S偶+ S奇=3S奇， 即S偶=2S奇, 因为数列an的项数为偶数， S禺 所以q=s奇=2. 答案：2 7.等比数列&中，若a1 + a3+-+ a99= 150,且公比q= 2,则数列an的前 100 项和 Sl0一 1 5 = 2， So= 33. a1 2 1 + q 5 =2 则 2 5 a 1 + q =4 a1= 2, 解得 1 q = 2, an a1 1 qn 1T n 1 ag =

20、2n 1.故选 D. 15 为 _ .2 16 a2 + a4+ aioo a2+ a4+ aioo r 解析：由 =q, q= 2，得 =2?比+ a4+ aioo = 300,则 ai + a3+ a99 150 数列an的前 100 项的和 Soo= (ai+ a3 + + a99)+ ( a2+ a4 + + aioo) = 150+ 300= 450. 答案：450 1 1 1 &在等比数列an中，a1 + a2+ a6= 10, 丁+才 +： = 5,贝V a1 a2 . a6 = a1 a2 a6 1 1 1 aeq ai a1 a6 q aa6 3 = =5,把 a1

21、aeq= 10(1 q)代入，得 a1a6= 2,又 a a2 . a6= (a ae) 1_1 q1 q =23= 8. 答案：8 9. 设等比数列an的前n项和为 S.已知a2= 6*+ a3= 30, 求 an和 S. aq= 6, 解：设an的公比为q,由题设得 2 6a1+ ag = 30, a1= 3, a1= 2, 解得 或 q= 2 q= 3. 当 a1= 3, q= 2 时，an = 3X2 , Sn= 3(2 1)； n_ 1 n 当 a1= 2, q= 3 时，an = 2X3 , S= 3 1. 10. 已知an为递减的等比数列，且 a1, a2, as 4, 3, 2

22、,0,1,2,3,4. (1) 求数列an的通项公式； n 1 1 16 (2) 当 bn = 2 an 时，求证： b1 + b2 + +十 b2n18 000 , lg 6 n- 5 lg - 4 解：当 n = 1 时，S = a1 = 1. 当n2时， 1, n= 1, 若 a = 0,有 an= 1 ,n2, 2 a1 S1 = 1 q 5 1 qn 400 1- 4 &在数列an中，若 an= an-1 +1, n2, 求数列an的前n项和. 即n年内旅游业总收入为 1 600 n 1 万元. 5 由(1)知 S = 1 600 4 n 1 , 即 1 600 n 1 8

23、000 , 5 n6, ig 4 nig 6 , 8.029 大约第 9 年后，旅游业总收入超过 8 000 万元. 22 1, n= 1, 若 a= 1，有 an= 3 2， n2, 1 2 n 1、 =1 + (n 1) + (a+ a+ a ) n n+ 1 a a 丁+ 1 a 1, n= 1, n+r1, a= 0 且 n2, . n n+ 1 a a + , a0 且a 1 且 n2. 2 1 a 小试身手 1.判断下列命题是否正确.（正确的打“V”，错误的打“ x”） （1）如果数列an为等比数列，且公比不等于 1,则其前n项和S (2)当 n2 时，-21= 2 土 ( ) n

24、 1 2 n 1 n+ 1 求 S= a+ 2a2+ 3a3+门之和时只要把上式等号两边同时乘以 减法求得（ ） 1 2 1 数列 班+ 2n 1 的前n项和为n +刁（ ） （5）若数列a1, a2 a1,，an an 1是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通 项公式是an= 3（） n a1 1 q a1 an+1 解析：（1）正确.公比不等于 1 的等比数列的前-项和 S = - = 4 q 则S= 1 +环门1) 3n 1 则 S= 1+ 1 + a + 1 丄2丄丄 1 丄n 1 2+ a + 2+ a n 1 综上所述，S= 3n, a= 1 且n2, a1 an+1

25、 1 q ( ) a即可根据错位相 23 1 一 q 1 一 q24 (2)正确化简即得. 错误.a 的值不能确定. 1 (4)错误.设数列的通项公式为 an=尹+ 2n 1, 则用分组转化法求和， 1 1 1 2 + 尸+ 2 +(2 + 4 + -+ 2n) n 1 2 1 2 =1 歹 + n + n n = 1 艺 + n. 答案：(1) V (2) V (3) X x (5) V 2.已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1= 1, $ = as，则 So=( ) B. 390 D . 430 解析：选 C 设数列an的公差为 d. S= a3, 2a1+ d= a + 2d,

26、A d= S。= 40 x* 40 X 39 1 + 2x 2= 410. 3.设等比数列an的前n项和为Sn,已知a1= 2,且an+ 2an+1+ an+ 2= 0(n N),则S 016 解析：设等比数列an的公比为 q,贝U 金+ 2an+1 + an+ 2= an(1 + 2q+q3 4) = 0,v an0,A q2 + 2q+ 1 = 0. 解得 q= 1, S 016 = 0. 答案：0 2n一 1 321 4.已知数列 an 的通项公式an=厂，其前n项和S = &，则项数n等于 _ 3 1 1 f 4 2 - Sn = n 2 + 2n _2 n (5)正确.由题意

27、 an= a1 + a2一 at + + an 1 an 2 + an an 1 = 1 3n 1 3 3n A. 290 C. 410 321 1 斎=5+64 25 解析： n 2 1 1 an= 2“ = 1 , 26 n= 6. 答案：6 课堂讲练设计举一能轴类題 分组转化法求和 3寸，试求6的前n项和. 典例已知数列6 : 11, 2：, 解令cn的前n项和为 S, 1 1 1 贝H Sn= 1g+ 24 + 3+ 1 n+ 2 1 + 2+ 4+8+ 1 1 n n+1 2 2+ 1 n 2 1 1 - 2 n n+1 1 n 2+ 1 2 . 2 + 即数列Cn的前n项和为 S=

28、+ 1 1n. _QG3O _ 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成， 则求和时 可用分组转化法，分别求和而后相加减. 活学活用 1. 数列( 1)nn的前n项和为S,则S2 016等于( ) A. 1 008 B . 1 008 C. 2 016 D . 2 016 解析：选 A S2 016 = ( 1 + 2) + ( 3+ 4) + ( 2 015 + 2 016) = 1 008. 2 2 n n 2 n n 2. 数列an的通项an= n cos sin ，其前n项和为Sn,贝U So 为 _ 27 解析： an= n2 cos2 nnsin 2 乎

29、=n2cos S3o= 1 2 2 n 2 4 n -cosT+2 cosT+ 3 cos2n+ 30 cos20 n 1 一 2X1 2- 1x 2 2+ 32 2 X 4 21x 52+ 62+一 2 x 282 fx 292 + 302 1 一 2(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 -2X3 ) + (4 + 5 -2X6 ) + (28 + 29 -2X 30 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -3 ) + (4 - 6 ) + (28 - 30 ) + (2 - 3 ) + (5 - 6 ) + (29 - 30 ) 1 =-0 2(4 + 10+ 1

30、6 + + 58) (5 + 11 + 17+ 59) 1 - 2 X 4+ 58 X 10- 5+ 59 X 10 = 470. 2 2 2 答案：470 题型二 裂项相消法求和 典例 已知等比数列刘的各项均为正数，且 2a1+ 3a2= 1, ai= 9a2a6. (1)求数列an的通项公式； 1 设bn = log 3an，求数列 b茁的前n项和Tn. 2 2 2 2 1 解(1)设数列an的公比为 q,由 a3= 9a2a6得 as= 9a4q = 9. 1 由条件可知q0,故q = 3. , 1 由 2a1 + 3a2= 1 得 2a1 + 3ag= 1, a1= 3. 3 1 故数

31、列 an的通项公式为an= 3 / an = 1 尹 2n, 4n n+ 1 = 4 n n+ 1 1 bnbn+ 1 1 1 1 1 1 2 + 23 + n-荷 28 (1) 把数列的通项拆成两项之差， 在求和时中间的一些项可以相互抵消， 从而求得其和. (2) 裂项求和的几种常见类型： 1 111 - = - ； n n + k k n n+ k 审為n=艮时； 1 111 - = - 2n 1 2n+1 2 2n 1 2n+ 1 活学活用 已知等差数列an的前n项和为S,且S3= 15, as+ a9= 30. (1)求 an及 S； 若数列bn满足bn(S n) = 2(n N*)，

32、数列bn的前n项和为Tn,求证：Tn2. 解：(1)设等差数列 an的公差为d,由题意可得 则 an= 3+ 2( n 1) = 2n+ 1, 2n n 1 2 S= 3n+ = n + 2n. (2)证明：由题意可得 , 2 2 1 1 bn = = 2 = 2 Si n n + n n n+ 1 Tn = b1 + b2 + + bn 1 n+ 1 典例 1 (1)证明：数列 一一 1若an是公差为d的等差数列，则 1 1 1 1 an?b+1 d an an+ 1 a1+ a2+ a3= 15, a5+ a9= 30 3a1 + 3d = 15, 2a1+ 12d= 30 a1 = 3,

33、 d = 2, 1 n+ 1 解证明：由a+1 = an十 1 1 a + 1111 a+1 = 2a = 2+ 2X 和 1 1 2 a- 又a1= 3,所以1 - 1 = 2,所以数列 1 一 1 是以 2 为首项，1为公比的等比数列. 所以 a=2n+n. 、 1 2 3 n 设 Tn= 2+ 2 + 2 + 2， 则 2T=夕+!+n1+洛， 2 2 2 2 2 由一得 n , 1 n 1 = 1 尹2n+1， 1 2 1 n Tn= 2 厂2 n+ 1 2 3 n+n+4 n+ 2 n 2 2 如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an bn的前n项和时，可采用错位 相减法.

34、 在写出“ S”与“ qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写所以 1 a+1 (2)由(1)得1 -1 = 2-1 = 2, 1 1 即 an=2+1, 又 1 + 3 n n+ 1 2 ， 所以数列n的前n项和 sn= 2 31 出“ S qS”的表达式. 活学活用 数列an满足 ai= 1, nan+i = (n+ 1)an+ n(n+ 1), n N*. (1)证明：数列an是等差数列； 设bn = 3n an，求数列b的前n项和S. 所以n是以了= 1 为首项，1 为公差的等差数列. (2)由(1)得 = 1 + ( n 1) 1 = n,所以 an= n2. 从

35、而bn= n3n. S= 1 3 1 + 23?+ 33+ + n，3, 3Sn= 1 l + 2 l + + (n 1) l+ n 3n+1. 一得一 2Sn= 31 + 32+ 3n n 3n+1 n 3 1 3 1 1.已知an= ( 1)n,数列an的前n项和为S,则$与So的值分别是( ) A. 1,1 B. 1, 1 C. 1,0 D . 1,0 解析：选 D S9= 1 + 1 1+ 1 1 + 1 1+ 1 1 = 1 , So= S9 + a10= 1 + 1 = 0. 解：(1)证明：由已知可得 an+ 1 n+ 1 an 討1， 即 an+ 1 n+1 an =1. n

36、n+ 1 n3 1 -3n+1 3 2数列an的通项公式是 1 jn+ .n+1 ，若前n项和为 10,则项数为 2 层级一学业水平达标 32 A. 11 B . 99 C. 120 D . 121 33 Sn = ai + a2 + + an =(、:2 1) + ( ,：3 ：2) + ( n+ 1 - :n) =,n+ 1 1, 令 n+ 1 1 = 10,得 n= 120. 3. 等差数列an中，a1= 1, an, an+1是方程x5 (2 n+ 1)x +1 = 0的两个根，则数列bn Dn 前n项和Sn=( ) 1 1 A. 1 B. 2n+ 1 n+ 1 n n C. D. 2

37、n+ 1 n+ 1 2 1 解析：选 D 因为an, an+1是方程x (2 n+ 1)x+】=0 的两个根，所以an+ an+1 = 2n+ 1, Dn 又因为数列an为等差数列，所以 an+ an+1 = a1 + a2n = 1 + a2n = 2n + 1,所以a2n = 2n,所以an 5 99 2 99 2 为 $9= (2 1) + (2 1) + (2 1) = 2+ 2 +-+ 2 99= =n. a1 =n( n+ 1) = b,所以 bn=n 1 n+l 1+彳，所以数列bn前n项和Sn= 1 1 + n n+1 2 解析：选 C 34 1 1 1 1 1 n 一 +.

38、+ = 1 = 2 3 n n+ 1 n+ 1 n+ 1 4. 在数列an中，已知 S= 1 5+ 9 13+ 17 21 + ( 1)n1(4 n 3)，贝U Ss+ 也 S31的值( ) A. 13 B . 76 C. 46 D . 76 解析：选 B / S15 = ( 4) X 7+ ( 1)14(4 X 15 3) = 29. &= ( 4) X 11 = 44. 30 SB1= ( 4) X 15+ ( 1) (4 X 31 3) = 61. S5+ S22 S31 = 29 44 61 = 76. 5. 数列 1,1 + 2,1 + 2+ 22,，1 + 2+ 22+ 2

39、n：的前 99 项和为( ) 99 B . 2 101 99 D. 2 99 解析：选 A 由数列可知 In 一 2 an= 1 + 2 + 22+ 2 =T= 2n 1，所以，前 1 2 99 项的和 99 1 2 1 2 100 99= 2 101. 100 A. 2 101 100 C. 2 99 1 35 2 3 解析：等比数列an中，a1= 1,3 a3= 2 比+ a4,. 3q = 2q+ q .又T qz 1,.q= 2, n_ 1 1 1 2n_ 1 1 1 1 an = 2 1,A - = 2 2 -：即是首项为2，公比为4的等比数列, anan+1 2-n-n+1 2 4

40、 S6 Q 7.等比数列 an的前n项和为5,若= 3，则点= _ S3 S6 解析：亍3，故qz 1, 即 q3= 2. 3 1-q 1-2 7 x = 2=. a1 1 - q 1 - 2 3 答案：7 &对于数列a，定义数列an+1-an为数列an的“差数列”，若 a= 2, a，的“差 数列”的通项公式为 2n,则数列an的前n项和Sn=_ . 解析：an+ 1 an= 2 , - an = (an an-1)+ (an-1 an-2)+ (a2 a1)+ a1 2- 2n =2n-1+ 2n-2+ 22 + 2+ 2= + 2 = 2n- 2+ 2= 2n. 答案：2n+1-

41、2 9.已知an是递增的等差数列，a1 = 2, a2= a4+ 8. (1) 求数列an的通项公式； 若bn = an + 2an，求数列bn的前门项和S. 解：(1)设数列an的公差为d, d0.由题意得(2 + d)2 = 2+ 3d+ 8,解得d= 2. 故 an= a1 + (n 1) d= 2 + ( n 1) 2= 2n. (2) T bn = an+ 2an= 2n+ 22n,6.已知等比数列an的公比qz 1,且ai= 1,3as= 2 比+ a,则数列 anan+ 1 的前 4 项和为 数1 -n-n+ 1 的前 4 项和为 128 答案: 85 面 a1 1 - q6 1

42、 - q x a1 1-q 1-q3 =1 + q3= 3, a1 1 - q9 1-q 2-2n+1 n+ 1 -2. 36 n+ 1 +1 一 2n 1 F n+1 1+1 Y = 2 1 2 层级二应试能力达标 B. 3 n-1 c 2 n 1 /. Sn = bi + b2 + bn =(2 + 22) + (4 + 24) + + (2n+ 22n) =(2 + 4 + 2n) + (2 2+ 24+ 22n) 2+ 2n n 4 n 1 4 2 1 4 =n( n+ 1) + 4 10.在等差数列an中，as= 4, a7= 8. (1)求数列an的通项公式an； an 令bn =

43、尹，求数列bn的前n项和Tn. 解：(1)因为 d= = 1，所以 an= a3+ ( n 3) d= n+ 1. 7 3 an n + 1 (2) bn= 2 = , Tn= b1+ + bn= 2 + 2+ + + n+i1. /= I + |+-+丹学 1 1 1 1 由一得 2 齐=2+尹戸+ n+ 1 n 2 n + 3 =3- 2n ， 所以Tn= n + 3 6- 2n 1 . 1.已知数列 an的前 n 项和为 Sn, a1 = 1, Sn= 2an+1, 则 Si=( ) n 1 A. 2 1 D.n-1 n+1 -4 37 C. 3 因为 an+1 = S+1 S,所以由

44、S= 2an+1, 得 Sn= 2( Sn+1 S)，整理得 3S = Sn+ 1 2S +1,所以= 3，所以数列S是以S = a1= 1 为首项, 3 3 n 2 为公比的等比数列，故 s= 2 n 解析：选 B 38 1 121231234 1 2已知数列an: 2，3+ 3, &+ 4+4, 5+ 5+ 5+5,，那么数列 斫 荷 前n 项的和为（ ） n n+1 1111 Sn=4 1 2+ 2 4+4 1 n+ 1 3某厂去年的总产值是 a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是 10%则从今年 起到第 5 年年末该厂的总产值是（ ） A. 11X（1.1 1）a 亿元 B

45、. 10X（1.1 1）a 亿元 C. 11X（1.1 4 1）a 亿元 D. 10X（1.1 4 1）a 亿元 解析：选 A 由题意可知，今年年末的总产值为 1.1 a,从今年起每年年末的总产值构成 1) a亿元，故选 A. 4. 已知是an等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn,若a3, a4, a*成等比数列，则 ( ) A. a1d0, dS0 B . a1d0, dS0 C. a1d0, dS0 D. a1d0 解析：选 C .在等差数列an中，a3, a4, a*成等比数列， 2 5 (a1 + 3d) = (a1+ 2d)( a1+ 7d)? a1 = 3d, c , 2, -S

46、 = 2( a1 + a4)= 2( a1 + a1 + 3d) = 3d, 3 5 2 2 2 a1d= 3d 0, dS = 3d 0，故选 C. A. 1n+ B . 4 2- 1 n+ 1 C. 1 - n+ 1 1 1 D. - 2 n+1 解析：选 A .an= 1 + 2+ 31卄 n+ 1 2 n+ 1 n 2, bn = 1 anan + 1 4 n n+ 1 1 n+ 1 1 1 1 4+ + n n+1 一个等比数列，首项为 1.1 a,公比为 1.1.所以其前 5 项和为S5= 1.1 a 5 1 1.1 1 =11X (1.1 39 3 3 5 .求和： 1 1 1

47、1 1 1 1 1 1 s= 1 + 1+2 + 1 + 2+4 + 1 + 2 + 4 + g+ 1+2+4+ 2n-1 40 解析：被求和式的第 k项为: 1 k 1 1 - 2k E =厂=2 1 2 1 1 1 n + 牙+ 23 + + 1 1 1 一 Tn 2 2 n 1 =2 n 1 2n 1 =2n+ 21 2. 1 答案：2n+厂2 6. 已知等比数列an及等差数列bn，其中b1 = 0,公差 0.将这两个数列的对应项 相加，得一新数列 1,1,2，则这个新数列的前 10 项和为 . 解析：设数列an的公比为q,则an的前三项分别为 1, q, q2, bn的前三项分别为 0

48、, q+ d= 1, q= 0, q= 2, d,2d，于是2 解得 (舍去)或 于是新数列的前 10 项和为 q2+ 2d= 2, d= 1 d= 1. 10 1 2 (a1 + b) + (a2 + b2)+ (a10 + b。)= (a1 + &+ aw) + (b + b2 + + b。)= + 10X0 1 2 答案：978 7.已知数列 an的前n项和S,满足 S= n(n 6)，数列bn满足b2 = 3, bn+1= 3bn(n N*) (1) 求数列an , bn的通项公式； a, n为奇数， (2) 记数列 Cn满足 6= 求数列Cn的前n项和Tn. tn, n为偶数

49、， 解：(1)当 n = 1 时，a1 = S1 = 5, 当 n时，an= Sn Si-1 = n 6n (n 1) + 6(n 1) = 2n 7, n= 1 也适合上式， an= 2n 7.10X + 10 1 2 X ( 1) = 978. 41 当n为偶数时, Tn= ci + C2 + + c n n-7 3 3n-1 + 当n为奇数时, Tn= C1 + C2 + Cn n- 1 3 1-9- + 1-9 n+1 n-6 2 n- 1 n+ 1 2 “-6 + 3 3 8- 1 ，n为奇数. * 1 &设数列an的前n项和记为 S,且 S= 2-an, n N，设函数f(

50、x) = log -x，且满足 bn = f ( an) 3. (1) 求出数列an , bn的通项公式； (2) 记Cn = an bn , Cn的前n项和为Tn,求Tn的最小值. 解：(1)当 n = 1 时，S = 2 a1 得 a1 = 1. 当 n时，an= S Sn- 1 = (2 an) (2 an-1 ) = an + an-1 ,可得 an= an-1 , an是首项为 1,公比为 1 的等比数列，-bn + 1= 3bn( Pl N),且匕2工 0 , bn+ 1 bn 3, bn 为等比数列, n 1 b= (2)由(1)得，Cn = 2n-乙n为奇数, 3n1, n为偶

51、数. 2 - 5+ 2n-9 3 卜1-92 1 - 9 n+ 1 2 - 5 + 2n-7 n n 7 3 3n 1 + - ,n为偶数, 8 综上所述：Tn = 42 由题意得 bn= f(an) 3 = log Jan 3= log 1 n 1 由(1)得 Cn = (n 4) 2 一1 1 法一：T Cl= 30, C2= 10, C3= 40. 17 Cn的前n项和Tn的最小值为T3 = T4 =-. 1 1+ 1 2+ 2 n1 (n 4) x 1 2 1 =3+ - n 2 =2歹 n 2 -Tn = 4 Tn+ 1Tn. 17 cn的前n项和Tn的是小值为T3 = T4 =-了

52、 滋阶就质螯检测（二）裁H （时间 120 分钟满分 150 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1 1. 等比数列 an 的公比q=a1= 1 n-1 3= n 4. 法二：Tn= 3x 2 0 2x 11 1x 1 2+.+ (n 4) x 1 n 1 2 ，1 2Tn=- 3x 1 1 2x 2 2.+ (n 5) x 1 + (n4) 1 n 1 2 1 1 2 (n 4) x 1 n I Tn + 1 Tn = n 1 4 2n n2 n3 4一盯=于 当nw2时, 43 2，则数列an是（ ） 4

53、 A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D .摆动数列44 1 _ 解析：选 D 因为等比数列an的公比为q= 4，ai= ,2 故比0,，所以数 列an是摆动数列. 2. 若互不相等的实数 a，b, c成等差数列，a是b, c的等比中项，且 a+ 3b+ c= 10, 则a的值是（ ） A. 1 B . 1 C. 3 D . 4 2b= a+ c, 2 解析：选 D 由题意，得 a = bc, a+ 3b+ c= 10, 解得 a= 4, b= 2, c = 8. 1 n 3. 在数列an中，a1 = 3, & = ( 1)2&1(n2)，贝U a5等于( 3 16 B.

54、y 8 D. 3 1 n 解析：选 B .a1 = 3, an= ( 1)2 an1, 3 2 4 a3= ( 1) X 2X 3= 3, 4 4 8 a4= ( 1) x2X 3 = 3, 6 6 8 16 a5= ( 1) x2x 3 =亍 A. 16 C. a2 = ( 1)、2x 3= 2 3, 4. 在等比数列an中，已知前 n项和 S= 5n+1+ a,则a的值为（ )A. 1 B . 1 C 5 D . 5 a1 1 解析：选 D 因为 S= 5n+1+ a= 5x5 n+ a,由等比数列的前 n项和 45 a 1 -f 可知其常数项与q的系数互为相反数，所以a=-5 2an,

55、n为正奇数， 5. 已知数列an满足a1= 1, an+1= ”心一 则 254 是该数列的（ ） an+ 1, n为正偶数， B .第 10 项A.第 8 项 C.第 12 项 D .第 14 项 46 解析：选 D 当n为正奇数时, an+1 = 2an,贝U a2= 2a1 = 2,当 n 为正偶数时，an+1= an + 1,得a3 = 3,依次类推得 a4=6, a5= 7, a6= 14, a7= 15,，归纳可得数列an的通项公 n+1彳 _ -1 2 2 =2 因 6.已知数列 =( ) A. 2 B- 2 C. 3 D. 1 解析： 选 C a2 1 a2 1 15 = -5

56、, 7.如果数列 an =( )3 A.21 1 n 3 2 C.21 1 3 解析： 选 A 式an 则a2 那么 由题知 a1 +砧 n为正奇数, 2, n为正偶数, 则 2- 2 = 254, n= 14,故选 D. 3 15 5 3 an是等差数列，其前 n项和为 S,若a1a2a3= 15,且卡 + = + =- s=a, S3=3a2, $= 5a3,.訶 1113 + + a2a3 a 5 a2= 3.故选 C. a1, a2 a1, a3 a2,* an an - 1 , 是首项为 a1= 1, q= S S3 S3S5 S5S 5 3 / aa2a3= 15，二二 5 1 1

57、、公比为 3 的等比数列, 3 B.2 2 D.3 an an 1= 1 X 1 n 1 3 设数列a1, a2 a1,，an an-1的前n项和为S, S1 = a1 + (a2 aj + (st a2)+ (an an1) = an. 又 S = 1 1X 1亍 3 1 厂=21 亍, 1 3 _ 1 an 1 n . 2 3 S 007 S2 005 &设Sn为等差数列an的前n项和，a1 = 2 014，齐右 石 2 007 2 005 =2，贝U S 016的值为（ A. 2 016 B . 2 016 C. 2 015 D . 2 015 a3 15 47 解析：选 B 因

58、为s为等差数列an的前n项和，所以数列n是等差数列.设数列n S2 007 S2 005 S2 016 Si 的公差为d,则由2007 2005= 2,得 2d= 2,解得d= 1,所以 2 丽=彳+ 2 oi5d =ai+ 2 015 d= 2 014 + 2 015 = 1，所以 S 0i6 = 2 016. 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分把答案填 在题中横线上） 9. 已知an是等差数列，Sn为其前n项和，n N.若as= 16, 20,则 a= _ d = _ , Si0= _ . 解析：由已知得， a1+ 2d= 16, 20X

59、20 1 解得 a1= 20, d= 2, 20a1 + x d = 20, 答案：20 2 110 10. (浙江高考)设数列刘的前n项和为 Sn.若S2= 4, an+1 = 2S+1, n N*,贝U a = _ , S5= _ . 解析：T an+ 1 = 2S1 + 1 ,. S+ 1 S= 2Sn+ 1 , . S1+1 = 3S+ 1, 1 数列 s+ 2 是公比为 3 的等比数列, =3. 又 S2= 4,. S1 = 1, a1 = 1, S = 121. 答案：1 121 11. 已知数列an的通项公式为 an= 2 015 3n,则使an0 成立的最大正整数 n的值为 2

60、 015 2 解析：由 an= 2 015 3n0,得 n = 67 丐, Si0= 10 x 20+ 10X9 2 X ( 2) = 110. S + s +1 X34 = 2X3 243 2 , 48 又 n N,. n的最大值为 671.49 答案：671 2n+1 102.由于 26= 64,2 7= 128，贝 U n+ 1 7, 即n6. 答案：6 13.- 已知数列an满足an+1-北2n（n N）, a = 3,则* - ,詈的最小值为 解析：T an+1 -an= 2n, 二 a2 a1 = 2 x 1, a3- a2= 2x2, a4 a3= 2x 3, an an-1 = 2（ n 1）, 以上各式相加可得 2 =n n, a1 = 3, an = n n+ 3. an 3 = n+ 1. n n Tf(x)=