高中数学直线与圆习题精讲精练

1、学习好资料欢迎下载圆与直线一、典型例题例 1、已知定点p（6，4）与定直线1：y=4x，过 p点的直线与1交于第一象限q点，与 x轴正半轴交于点m ，求使 oqm 面积最小的直线方程。分析：直线 是过点 p的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点q （还是 m ）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设 q（x0，4x0） ，m （ m ，0） q，p， m共线 kpq=kpmm64x6x4400解之得：1xx5m00 x00，m0 x0-10 1xx10mx2x4|om|21s02000omq令 x0-1=t ，则 t0 )2t1t (1

2、0t)1t (10s240 当且仅当t=1 ，x0=11 时，等号成立此时 q （11，44） ，直线：x+y-10=0 评注： 本题通过引入参数，建立了关于目标函数soqm的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距 b，角度 ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例 2、已知 abc中， a（2，-1 ） ，b（4，3） ，c（3，-2） ，求：（1）bc边上的高所在直线方程；（2）ab边中垂线方程； （3） a平分线所在直线方程。分析：（1） kbc=5 bc 边上的高ad所在直线斜率k=51学习好资料欢迎下载 ad 所在直线方程y+1=

3、51(x-2)即 x+5y+3=0 （2） ab 中点为（ 3，1） ， kab=2 ab 中垂线方程为x+2y-5=0 （3）设 a平分线为ae ，斜率为k，则直线ac到 ae的角等于ae到ab的角。 kac=-1 ，kab=2 k21k2k11k k2+6k-1=0 k=-3-10 （舍） ，k=-3+10 ae 所在直线方程为(10 -3)x-y-210 +5=0 评注：在求角a平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求ae所在直线方程，设p(x ，y) 为直线 ae上任一点，则 p到 ab 、 ac距离相等，得2|1y

4、x|5|5yx2|，化简即可。还可注意到，ab与 ac关于 ae对称。例 3、 （1）求经过点a（ 5，2） ， b（3，2） ，圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；（2）设圆上的点a （2，3）关于直线x+2y=0 的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0 相交的弦长为22，求圆方程。分析：研究圆的问题， 既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。（1）法一：从数的角度若选用标准式：设圆心p（x，y） ，则由 |pa|=|pb| 得： (x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2又 2x0-y0-3

5、=0 两方程联立得：5y4x00，|pa|=10 圆标准方程为 (x-4)2+(y-5)2=10 若选用一般式：设圆方程x2+y2+dx+ey+f=0 ，则圆心（2e,2d）学习好资料欢迎下载03)2e()2d(20fe2d3230fe2d5252222解之得：31f10e8d法二：从形的角度ab为圆的弦， 由平几知识知， 圆心 p应在 ab中垂线 x=4 上，则由4x03yx2得圆心 p （4，5） 半径 r=|pa|=10显然，充分利用平几知识明显降低了计算量（2）设 a关于直线x+2y=0 的对称点为a由已知 aa 为圆的弦 aa 对称轴 x+2y=0 过圆心设圆心 p（-2a ，a）

6、，半径为r 则 r=|pa|=(-2a-2)2+(a-3)2又弦长22dr222，2|1aa2|d2)1a3(2r22 4(a+1)2+(a-3)2=2+2)1a3(2 a=-7 或 a=-3 当 a=-7 时， r= 52 ；当 a=-3 时， r= 244 所求圆方程为 (x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244 例 4、 已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示一个圆，（1）求实数 m取值范围；（2）求圆半径r 取值范围；（3）求圆心轨迹方程。分析：（1）m满足 -2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)0

7、 ，即 7m2-6m-10 1m71（3）半径 r=716)73m(71m6m722学习好资料欢迎下载1m7173m时，774rmax 0r 774（3）设圆心p（x，y） ，则1m4y3mx2消去 m得： y=4(x-3)2-1 又1m714x720 所求轨迹方程为(x-3)2=41(y+1) （4x720）例 5、如图，过圆o ：x2+y2=4 与 y 轴正半轴交点a作此圆的切线，m为 上任一点，过m作圆o的另一条切线，切点为q ，求 maq 垂心 p的轨迹方程。分析：从寻找点p满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。连 oq ，则由 oq mq ，apmq 得 oq ap 同理， oa

8、 pq 又 oa=oq oapq为菱形 |pa|=|oa|=2 设 p(x，y) ，q(x0，y0) ，则2yyxx00又 x02+y02=4 x2+(y-2)2=4（x0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。学习好资料欢迎下载同步练习（一）选择题1、若直线 (m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是a、-1m21 b、21m 1 c、21m1 d、21m 1 2、已知直线2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为4，则 m值为a、31或-3 b、-3 或3

9、1 c、-3 或 3 d、31或 3 3、点 p在直线 x+y-4=0 上， o为原点，则 |op| 的最小值是a、 2 b、6 c、22 d、104、过点 a（ 1，4） ，且横纵截距的绝对值相等的直线共有a、 1 条 b、 2 条c、3 条 d、4 条5、圆 x2+y2-4x+2y+c=0 与 y 轴交于 a、b两点，圆心为p ，若 apb=900，则 c的值是a、 -3 b、3 c、22 d、 8 6、若圆 (x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r 取值范围是a、 （ 4，6） b、4 ，6） c、 （4，6 d、4 ，6 7、 将直线

10、 x+y-1=0 绕点 （1， 0） 顺时针旋转2后， 再向上平移一个单位， 此时恰与圆x2+(y-1)2=r2相切，则正数r等于a、21 b、22 c、1 d、28、 方程 x2+y2+2ax-2ay=0 所表示的圆a、关于 x 轴对称 b、关于 y 轴对称c、关于直线x-y=0 对称 d、关于直线x+y=0 对称（二）填空题 9、直线 ax+by+c=0 与直线 dx+ey+c=0 的交点为（ 3，-2 ） ，则过点（ a，b） ， （d，e）的直线方程是 _。10、已知 (x ，y)|(m+3)x+y=3m-4(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0=，则直线 (m+3)x+y= 3m+

11、4与坐标轴围成的三角形面积是_。学习好资料欢迎下载11、已知 x，y 满足010y5x206y3x5015y8x3，则 x-y 的最大值为 _，最小值为 _。12、过点 a（2，1） ，且在坐标轴截距相等的直线方程是_。13、已知圆： (x-1)2+y2=1，作弦 oa ，则 oa中点的轨迹方程是_。（三）解答题14、已知 y=2x 是 abc中 c平分线所在直线方程，a （-4 ，2） ，b （ 3，1） ，求点 c坐标，并判断 abc形状。15、已知 n 条直线： x-y+ci=0（i=1 ，2， n） ，其中 c1=2 ， c1c2c32，b2， （ 1）求证： (a-2)(b-2)=2

12、； （2）求线段 ab中点的轨迹方程； （ 3）求aob面积的最小值。17、已知两圆x2+y2=4和 x2+(y-8)2=4， （1）若两圆分别在直线y=25x+b 两侧，求b 取值范围； （ 2）求过点a（0， 5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k 的范围。18、当 0a1 ，y1) （3）322 17、 （1）画图 3b5 （2）k（25,25） 18、21一、选择题1、设2000200120012002101101,101101mn，2000200120012002109109,1010010100pq，则 m 与 n、p与q的大小关系为( ) a.,mn pqb.,mn pqc.,m

13、n pqd.,mn pq解：设点( 1, 1)a、点20012000(10,10)b、点20022001(10,10)c，则 m、n 分别表示直线ab、ac 学习好资料欢迎下载的斜率， bc 的方程为110yx，点 a 在直线的下方，abackk，即 mn；同理，得pq。答案选 b。仔细体会题中4 个代数式的特点和“数形结合”的好处2、已知两圆相交于点(1,3)(, 1)ab m和点，两圆圆心都在直线:0lxyc上，则cm的值等于 ( ) a -1 b2 c 3 d0 解：由题设得：点ba,关于直线0cyx对称 ,41151ablkmmk；线段ab的中点(3,1)在直线0cyx上，23cmc，

14、答案选c。3、三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为( ) a.15 b.30 c.36 d.以上都不对解：设三角形的另外两边长为x,y,则01101111xyxy；注意“ =”号，等于11 的边可以多于一条。点( , )x y应在如右图所示区域内：当 x=1 时， y=11；当 x=2 时， y=10,11；当 x=3 时， y=9,10,11；当x=4 时， y=8,9,10,11；当 x=5 时， y=7,8,9,10,11。以上共有15 个， x,y 对调又有15 个。再加 (6，6） ，(7，7） ， (8，8） ，(9，9） ，(10，10） 、(11， 11） ，共 3

15、6 个，答案选c。4、设0m，则直线2()10 xym与圆22xym的位置关系为（）a. 相切 b.相交 c. 相切或相离 d.相交或相切解：圆心(0,0)到直线的距离为12md，圆半径rm。211(1)022mdrmm，直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选c。5、已知向量(2cos,2sin),(3cos,3sin),mn若m与n的夹角为60，则直线1:cossin02lxy与圆221: (cos)(sin)2cxy的位置关系是（）a相交但不过圆心 b相交过圆心 c 相切 d相离解：06(coscossinsin)1cos()cos602 32| |m nmn，学习好资料欢迎下载圆心(co

16、s,sin)c到直线l的距离rd221|21)cos(|，直线与圆相离，答案选d。复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式6、已知圆22:(3)(5)36oxy和点(2,2),( 1, 2)ab, 若点c在圆上且abc的面积为25, 则满足条件的点c的个数是（）a.1 b.2 c.3 d.4 解: 由题设得：5ab，52abcs，点c到直线ab的距离1d, 直线ab的方程为0234yx, 与直线ab平行且距离为1 的直线为12: 4330: 4370lxylxy得：圆心(3,5)o到直线1l的的距离16dr, 到直线2l的距离为24dr, 圆o与直线1l相切；与直线2l相交 , 满足条件的

17、点c的个数是3，答案选c 7、 若圆2221: ()()1cxaybb始终平分圆222: (1)(1)4cxy的周长 , 则实数ba,应满足的关系是 ( ) a 03222baa b05222baa c 0122222baba d01222322baba解：公共弦所在的直线l方程为：22222(1)(1) -4 - ()() -1 =0 xyxaybb，即：01)1(2)1(22aybxa，圆1c始终平分圆2c的周长，圆2c的圆心1, 1在直线l上, 01)1 (2)1 (22aba，即05222baa，答案选b。8、在平面内 , 与点)2, 1(a距离为 1, 与点)1 ,3(b距离为 2

18、的直线共有 ( ) a.1条 b. 2条 c. 3条 d. 4条解：直线l与点)2, 1(a距离为 1，所以直线l是以 a为圆心 1 为半径的圆的切线，同理直线l也是以 b为圆心 2 为半径的圆的切线，即两圆的公切线，53ab，两圆相交，公切线有2 条，答案选b。想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？二、填空题1、直线 2xy4=0 上有一点 p，它与两定点a(4， 1)，b(3，4)的距离之差最大，则p 点坐标是 _ _. 解： a 关于 l 的对称点 a， ab 与直线 l 的交点即为所求的p 点。得 p(5，6） 。想一想，为什么，ab与直线l的交点即为所求的p点？如果a、b两点在

19、直线的同一边，情况又如何？b abp a pc 学习好资料欢迎下载2、设不等式221(1)xm x对一切满足2m的值均成立，则x的范围为。解：原不等式变换为2(1)(12 )0 xmx，设：2()(1)(12 )f mxmx，( 22)m，按题意得：( 2)0,(2)0ff。即：2222307131222210 xxxxx。3、已知直线:40lxy与圆22:112cxy，则c上各点到l的距离的最大值与最小值之差为。解：圆心1,1c到直线的距离 =1 1 42 221 1r，直线与圆相离，c上各点到l的距离的最大值与最小值之差=r2=22。4、直线122()112xttyt为参数被圆224xy截

20、得的弦长为 _。解：直线方程消去参数t得：10 xy，圆心到直线的距离1222d，弦长的一半为222142()22，得弦长为14。5、已知圆22: (cos )(sin)1mxy，直线:lykx，以下命题成立的有_。对任意实数k与，直线l和圆m相切；对任意实数k与，直线l和圆m有公共点；对任意实数，必存在实数k，使得直线l和圆m相切对任意实数k，必存在实数，使得直线l和圆m相切解：圆心坐标为cos ,sinm222cossin1sinsin()111kkdrkk（ ），所以命题成立。仔细体会命题的区别。6、点 a(3，3)发出的光线l 射到 x 轴上被 x 轴反射， 反射光线与圆22:4470

21、cxyxy相切，则光线l 所在直线方程为_ _。解：光线l 所在的直线与圆c关于 x 轴对称的圆c相切。圆心c坐标为2, 2，半径1r，直线过点a( 3，3)，设l的方程为：3(3)yk x，即：330kxyk圆心c到直线l的距离2223311kkdk，21225120kk学习好资料欢迎下载解得：43k或34k，得直线l的方程：4330 xy或3430 xy。7、 直线xmy2与圆0422nymxyx交于m、n两点，且m、n关于直线0yx对称，则弦mn的长为。解：由直线2myx与直线0yx垂直2m，由圆心在直线0 xy上2n，圆方程为22(1)(1)6xy，圆心为1,1，圆心到直线的距离1 1

22、021 1d，弦mn的长 =2222 624rd8、 过圆224xy内 一 点)1 , 1(a作 一 弦交 圆 于cb、两 点 , 过 点cb、分 别作 圆 的切 线pcpb、，两切线交于点p，则点p的轨迹方程为。解：设00(,)p xy, 根据题设条件，线段bc为点p对应圆上的切点弦，直线bc的方程为400yyxx,a点在bc上，400yx, 即p的轨迹方程为：4yx。注意掌握切点弦的证明方法。三、解答题1、已知过原点o 的一条直线与函数8logyx的图象交于a、 b 两点，分别过点a、b 作 y 轴的平行线与函数2logyx的图象交于c、 d 两点。（1）证明：点c、d 和原点 o 在同一

23、直线上； （2）当 bc 平行于 x 轴时，求点a 的坐标。解： （1）设 a、b 的横坐标分别为12xx、，由题设知1211xx、得点181282(,log)(,log)a xxb xx、，121222(,log)(,log)c xxd xx、，a、b 在过点 o 的直线上，818212loglogxxxx，8182212211223log3logloglogocodxxxxkkxxxx，得：ocodkk，o、c、d 共线。（ 2）由 bc 平行于 x 轴，有3218221loglogxxxx代入818212loglogxxxx，得3181181log3logxxxx，11x,81log0

24、x3113xx，13x，得8( 3,log3)a。2、设数列na的前n项和(1)nsnan nb，(1,2,)n，a、b 是常数且0b。（1）证明：na是等差数列；（2）证明：以,1nnsan为坐标的点np，(1,2,)n落在同一直线上，并求直线方程。（3）设11,2ab，c是以( , )r r为圆心，r为半径的圆(0)r，求使得点p1、p2、p3都落在圆 c 外时， r 的取值范围。学习好资料欢迎下载解： （1）证明：由题设得11asa；当 n2 时，1(1)(1)(1)(2)2(1)nnnassnan nbnannbanb，12(1)2(2)2nnaaanbanbb。所以na是以a为首项，

25、2b为公差的等差数列。证毕；（ 2）证明：0b，对于 n2，111(1)11(1)112(1)2(1)2nnp pnssnan nbanbnakaaanbanb以,1nnsan为坐标的点np，(1,2,)n落在过点1( ,1)p a a，斜率为21的同一直线上，此直线方程为：1(1)()2yaxa，即220 xya。（ 3）解：当11,2ab时，得12311,02,3,12ppp、，都落在圆c 外的条件是222222222(1)1(1)()2(3)(1)rrrrrrrrr222(1)0175048100rrrrr由不等式，得r1 由不等式，得r522或 r52+2由不等式，得r46或 r4+6

26、再注意到r0，125246=25+24+6使 p1、p2、p3都落在圆c 外时， r 的取值范围是 (0，1)(1,252)(4+6,+)。3、已知1a、1b、1c，求证：2abcabc证一：111aa，111bb，111cc11111bbcbcc，设函数( )2()(1)(1)(1)yf aabcabcbcabc，则：( 1)(1)(1)(1)0(1)(1)(1)(1)(1)(1)0fbcbcfbcbcbc当a( 1,1)，即1a时，上述函数( )yf a表示的直线都在a轴上方，即：1a、1b、1c，不等式2abcabc成立，证毕。因为题中变量较多，考虑“固定”某变量（这里是a） ，然后利用

27、一次函数的性质来证明代数不等学习好资料欢迎下载式的方法值得借鉴。证二：1a、1b，(1)(1)10ababab，即：1abab；111aabb、1c1abcabc（将ab看作一个数， 利用的结论 ）由式得1abab，11abcabcabc，即：2abcabc，证毕。仔细体会上述递推证明的方法，你能进一步推广运用吗？如试证明4abcdeabcde，其中, , , ,( 1,1)a b c d e。4、求与圆522yx外切于点)2, 1(p，且半径为52的圆的方程解一：设所求圆的圆心为),(bac，则222(1)(2)(2 5)211abba（ ）63ba，所求圆的方程为20)6()3(22yx。

28、注：因为两圆心及切点共线得（1）式解二：设所求圆的圆心为),(bac，由条件知11( 1,2)( , )33opoca b63ba，所求圆的方程为20)6()3(22yx。仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。5、如图，已知圆心坐标为)1 ,3(m的圆m与x轴及直线xy3均相切，切点分别为a、b，另一圆n与圆m、x轴及直线xy3均相切，切点分别为c、d。（1）求圆m和圆n的方程；（2）过b点作mn的平行线l，求直线l被圆n截得的弦的长度；解： （1）由于圆m与boa的两边相切，故m到oa及ob的距离均为圆m的半径，则m在boa的

29、角平分线上，同理，n也在boa的角平分线上，即nmo、三点共线，且omn为boa的角平分线，m的坐标为) 1 ,3(m，m到x轴的距离为1，即：圆m的半径为1，圆m的方程为1)1()3(22yx；设圆n的半径为r，由ocnrtoamrt，得：ncmaonom:, 即3132rrr，33oc，圆n的方程为：9)3()33(22yx；（2）由对称性可知，所求弦长等于过a点的mn的平行线被圆n截得的弦长，此弦所在直线方程为)3(33xy，即033yx，圆心n到该直线的距离233133333d，则弦长 =33222dro a c b d n x y m 学习好资料欢迎下载注：也可求得b点坐标23,23

30、，得过b点mn的平行线l的方程033yx，再根据圆心n到直线l的距离等于23，求得答案33；还可以直接求a点或b点到直线的距离，进而求得弦长。6、已知两圆4:221yxc；0442:222yxyxc，直线02:yxl，求经过圆21cc 、的交点且和直线l相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为0)4(4422222yxyxyx，即：04442)1 ()1(22yxyx，得：圆心坐标为12,11；半径111614122122r，所求圆与直线l相切，圆心到直线的距离2111614125141122rd，解得1，舍去1所求圆的方程为：0222yxyx要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程（=

31、-1）7、如果实数x、y满足22(2)3xy，求yx的最大值、2yx的最小值。解： （1）问题可转化为求圆22(2)3xy上点到原点的连线的斜率ykx的最大值。设过原点的直线方程为ykx，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。得：22031kk，3k，max3xy（2）, x y满足22(2)3xy，23 cos3 sinxy242 3cos3 sin415 sin()xymin2415xy。注意学习掌握解 （2）中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角的一元函数， 从而方便求解的技巧。8、已知圆22:(1)(2)25cxy，直线:(21)(1)740lmxmym，()mr

32、。（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆c截得的弦长最小时l的方程 . 解： （1）解法 1：l的方程(4)(27)0 xymxy，()mr270,3,40,1,xyxxyy即l恒过定点(3,1)a圆心坐标为(1,2)c，半径5r，5acr，点a在圆c内，从而直线l恒与圆c相交于两点。学习好资料欢迎下载解法 2：圆心到直线l的距离2| 31|562mdmm，0265)34(5222mmmdrd55，所以直线l恒与圆c相交于两点。（2）弦长最小时，lac，1213 12ack，2lk，213214mmm代入(21)(1)740mxmym，得l的方程为250 xy。注

33、意掌握以下几点： （1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。9、已知圆222)5()3( :ryxc和直线0234:yxl，（1）若圆c上有且只有4 个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围；（2）若圆c上有且只有3 个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围；（3）若圆c上有且只有2 个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围；解一：与直线:4320lxy平行且距离为1 的直线有两条，分别为：1: 4330lxy，0734:2yxl，注意掌握平行直线的表

34、示方法及其距离计算。圆心c到直线1l的的距离为61d, 到直线2l的的距离为42d, 则：（ 1）圆c上有且只有4 个点到直线l的的距离等于1466rrr且（ 2）圆c上有且只有3 个点到直线l的的距离等于1466rrr且（ 3）圆c上有且只有2 个点到直线l的的距离等于14646rrr且解二：圆心c到直线l的距离5d，则：（1）圆c上有且只有4 个点到直线l的的距离等于116rdr，（2）圆c上有且只有3 个点到直线l的的距离等于116rdr，（3）圆c上有且只有2 个点到直线l的的距离等于11146rdr解法 1 采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决，具有直观明了的优点，对解决这类问题特别有效；解法2 的着眼点是观察从劣弧的点到直线l 的最大距离 , 请仔细体会。10、已知o为原点，定点(4,0)q，点p是圆224xy上一动点。（1）求线段pq中点的轨迹方程；（2）设poq的平分线交pq于r，求r点的轨迹方程。解： （1）设pq中点( , )m x y，则(24,2)pxy，代入圆的方程得22(2)1xy。（2）设( , )r x y，其中0y，(, )p m n，由2142proprqoq，34232xmyn，代入圆方程224xy并化简得：2241639x