弹性力学平面问题

1、会计学1弹性力学平面问题弹性力学平面问题第1页/共31页22021-12-6第2页/共31页第3页/共31页2021-12-6ZS第4页/共31页2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程2-3 2-3 斜面上的应力斜面上的应力 主应力主应力2-4 2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 2-5 2-5 物理方程物理方程2-6 2-6 边界条件边界条件2-7 2-7 圣维南原理圣维南原理2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2-10 2-10

2、 常体力情况下的简化常体力情况下的简化斜方向的应变及位移斜方向的应变及位移第5页/共31页62021-12-6第6页/共31页72021-12-6第7页/共31页xyyztba(1)平面应力问题平面应力问题如图选取坐标系，以板的中面如图选取坐标系，以板的中面为为xy 平面，垂直于中面的任一直线平面，垂直于中面的任一直线为为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力沿因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。轴方向不变。0z0zx可认为可认为整个薄板的各整个薄板的各点点都有：都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0

3、xzzx第8页/共31页平面应力问题只有三个应力分量平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。第9页/共31页2、平面应变问题、平面应变问题(1) 几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。形状和尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面外力（

4、体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度作用，且沿长度 z 方向不变化。方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。第10页/共31页2.、 平面应变问题平面应变问题水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒(3) 变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则, u v, x y, x y沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。 任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面第11页/共31页水坝水坝因为任一横截面均可视为对称

5、面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平面位移问题0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。第12页/共31页

6、如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？非平面问题非平面问题第13页/共31页3、平面问题的求解、平面问题的求解问题：问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变

7、与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；第14页/共31页两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征受力特征受力特征应力应力特征特征几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变应变特征。特征。yxxyyx,yxxyyx,第15页/共31页162021-12-6第16页/共31页xyxyxyBACPxyO取微元体取微元体PABC（P点附近点附近），），dxPAdyPB Dfxfydyyyxyxdxx

8、xyxydxxxxdyyyyZ 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：yxxyyx,体力：体力：fx ，fyPP第17页/共31页xyxyxyPBACxyO取微元体取微元体PABC（P点附近点附近），），dxPAdyPB DfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：yxxyyx,体力：体力：fx ，fyAC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdyyyxyx222)(! 21dxxdxxxyxyxydxxxxBC面：面：dxxxyxydyyyy 注：注： 这里两次用了小变形假定，以变形

9、前这里两次用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸，并且？的尺寸代替变形后尺寸，并且？第18页/共31页xyxyxyPBACxyODfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得 0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyx整理得：整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy当当0, 0dydx时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理第19页/共31页0 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dydxfx两边同除以两边同除以dx dy，并整理得

10、：，并整理得：0 xyxxfyx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dydxfdyyxy两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0yxyyfxyxyxyxyPBACxyODfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy第20页/共31页平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平

11、衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。，包括边界。xyxyxyPBACxyODfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy第21页/共31页2021-12-6ZS第22页/共31页2021-12-6ZS第23页/共31页2021-12-6ZS第24页/共31页2021-12-6ZS第25页/共31页下一讲再

12、见！第26页/共31页2、平面应变问题、平面应变问题(1) 几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。形状和尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度作用，且沿长度 z 方向不变化。方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。第27页/共31页282021-12-6第28页/共31页xyxyxyBACPxyO取微元体取微元体PABC（P点

13、附近点附近），），dxPAdyPB DfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：yxxyyx,体力：体力：fx ，fyPP第29页/共31页0 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dydxfx两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0 xyxxfyx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dydxfdyyxy两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0yxyyfxyxyxyxyPBACxyODfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy第30页/共31页平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方